Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. Les chants de Noël et les comptines représentent \(9 + 6 = 15\) chansons. Les autres sont des berceuses : \(22 – 15 = 7\). La liste contient 7 berceuses.
2. La durée moyenne est la durée totale divisée par le nombre de chansons :
\[\dfrac{55}{22} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5\ \text{min}\]
Or 0,5 min = \(0{,}5 \times 60 = 30\) s. Une chanson dure en moyenne 2 min 30 s.
3. a. La chanson est choisie au hasard : les 22 chansons ont la même probabilité d’être écoutées (situation d’équiprobabilité). Il y a 6 comptines, donc la probabilité est \(\dfrac{6}{22}\). En simplifiant par 2 : \(\dfrac{6}{22} = \dfrac{3}{11}\).
b. Ne pas être une berceuse, c’est être un chant de Noël ou une comptine : 15 chansons sur 22. La probabilité cherchée est \(\dfrac{15}{22}\). (On peut aussi passer par l’évènement contraire : \(1 – \dfrac{7}{22} = \dfrac{15}{22}\).)
c. Entre 1 et 22, les nombres premiers sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19 (rappel : 1 n’est pas premier). Il y en a 8, donc la probabilité de l’évènement vaut \(\dfrac{8}{22} = \dfrac{4}{11}\).
Pour comparer avec \(\dfrac{1}{3}\), on met au même dénominateur 33 : \(\dfrac{4}{11} = \dfrac{12}{33}\) et \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{11}{33}\). Comme \(12 \gt 11\), on a \(\dfrac{4}{11} \gt \dfrac{1}{3}\). Oui, la probabilité est supérieure à \(\dfrac{1}{3}\).
Exercice 2 :
1. L’étendue est l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur : \(14 – 2 = 12\). Réponse C.
2. Un litre est le volume d’un cube de 1 dm d’arête : 1 L = 1 dm³. Réponse C.
3. Multiplier par \(10^{-4}\) revient à décaler la virgule de 4 rangs vers la gauche : \(8{,}6 \times 10^{-4} = 0{,}000\,86\). Réponse B.
4. Le ratio 3 : 2 signifie que la longueur correspond à 3 parts et la largeur à 2 parts. Ici une part vaut \(90 : 3 = 30\) cm, donc la largeur vaut \(2 \times 30 = 60\) cm. Réponse D.
5. La baisse est de \(75 – 60 = 15\) €. Rapportée au prix de départ : \(\dfrac{15}{75} = \dfrac{1}{5} = 0{,}20\), soit 20 %. Réponse D.
6. On reconnaît une différence de deux carrés : \(4x^2 – 25 = (2x)^2 – 5^2\). L’identité \(a^2 – b^2 = (a – b)(a + b)\) donne \((2x – 5)(2x + 5)\). Réponse B.
Exercice 3 :
1. a. Le point E est sur le segment [BC], donc \(\text{BC} = \text{BE} + \text{EC}\). D’où \(\text{CE} = 7{,}5 – 3 = 4{,}5\). CE = 4,5 cm.
b. Les points C, E, B sont alignés, les points C, F, D sont alignés, et les droites (EF) et (BD) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès dans les triangles CEF et CBD :
\[\dfrac{\text{CE}}{\text{CB}} = \dfrac{\text{CF}}{\text{CD}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{BD}} \quad \text{soit} \quad \dfrac{4{,}5}{7{,}5} = \dfrac{\text{EF}}{6}\]
\[\text{EF} = \dfrac{6 \times 4{,}5}{7{,}5} = \dfrac{27}{7{,}5} = 3{,}6\]
EF = 3,6 cm.
2. Dans le triangle CEF, le plus long côté est [CE]. On compare le carré de sa longueur à la somme des carrés des deux autres côtés :
\[\text{CE}^2 = 4{,}5^2 = 20{,}25 \qquad \text{CF}^2 + \text{EF}^2 = 2{,}7^2 + 3{,}6^2 = 7{,}29 + 12{,}96 = 20{,}25\]
On a \(\text{CE}^2 = \text{CF}^2 + \text{EF}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle CEF est rectangle en F (le sommet opposé au plus grand côté).
3. a. Dans le triangle ABC rectangle en B, pour l’angle \(\widehat{\text{BCA}}\), [AB] est le côté opposé et [BC] le côté adjacent :
\[\tan \widehat{\text{BCA}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}} = \dfrac{10}{7{,}5} = \dfrac{4}{3}\]
La calculatrice (touche \(\arctan\) ou \(\tan^{-1}\)) donne \(\widehat{\text{BCA}} \approx 53{,}13^\circ\), soit environ 53° au degré près.
b. Le triangle ABC est rectangle en B et le triangle CEF est rectangle en F. De plus, les points B, E, C d’une part et A, F, C d’autre part étant alignés, l’angle \(\widehat{\text{ECF}}\) est le même que l’angle \(\widehat{\text{BCA}}\). Les deux triangles ont donc deux angles égaux deux à deux (un angle droit et l’angle en C) ; le troisième angle est alors égal aussi, puisque la somme des angles vaut 180°. Les triangles ABC et CEF sont semblables (B correspond à F, C à C et A à E).
Exercice 4 :
1. Avec 26 °C : \(26 + 4 = 30\), puis \(30 \times 0{,}5 = 15\). On retrouve bien 15 h de filtration.
2. Avec une température \(x\) : on ajoute 4, ce qui donne \(x + 4\), puis on multiplie par 0,5 : \(0{,}5(x + 4) = 0{,}5x + 0{,}5 \times 4\), soit \(0{,}5x + 2\).
3. a. Une situation de proportionnalité est représentée par une droite passant par l’origine du repère. Ici la droite passe par le point de coordonnées (0 ; 2), pas par l’origine (on a d’ailleurs \(f(0) = 2 \neq 0\)). Le temps de filtration n’est pas proportionnel à la température. On peut le vérifier : \(f(2) = 3\) mais \(f(4) = 4\), qui n’est pas le double de 3.
b. Graphiquement, le point de la droite d’abscisse 10 a pour ordonnée 7 ; par le calcul, \(0{,}5 \times 10 + 2 = 7\). L’image de 10 est 7.
4. On résout l’équation :
\[0{,}5x + 2 = 17 \quad \Longleftrightarrow \quad 0{,}5x = 15 \quad \Longleftrightarrow \quad x = \dfrac{15}{0{,}5} = 30\]
La solution est 30. Interprétation : lorsque l’eau est à 30 °C, il faut faire fonctionner la filtration 17 h par jour.
5. Du 1er juillet au 31 août inclus, il y a \(31 + 31 = 62\) jours. D’après le document 3, la consommation de la pompe est :
\[0{,}8 \times 16 \times 62 = 793{,}6\ \text{kWh}\]
Chaque kWh coûte 0,23 € (document 2), donc la dépense est :
\[793{,}6 \times 0{,}23 = 182{,}528\]
soit 182,528 €. La filtration coûte environ 182,53 € sur l’été.
Exercice 5 :
1. Le dessus de la table est un carré de 80 cm de côté (on retrouve bien \(60 + 20 = 80\) sur chaque bord). Son aire vaut \(80^2 = 80 \times 80 = 6\,400\). L’aire du dessus de la table est 6 400 cm².
2. Sur chaque côté de la plaque en verre, on retire la largeur d’une plaque en bois à la longueur d’une autre : son côté mesure \(60 – 20 = 40\) cm. Son aire vaut donc \(40^2 = 1\,600\) cm². On calcule la proportion :
\[\dfrac{1\,600}{6\,400} = \dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100}\]
La plaque en verre représente bien 25 % de l’aire du dessus. (Autre méthode : les quatre plaques en bois couvrent \(4 \times 60 \times 20 = 4\,800\) cm², et \(6\,400 – 4\,800 = 1\,600\) cm².)
3. On passe du rectangle n° 1 au rectangle n° 2 par une rotation, de centre le centre de la table et d’angle 90°, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre (le rectangle du bas vient se placer sur le côté droit).
4. a. Le rectangle n° 1 mesure 60 pas sur 20 pas. Le lutin avance de 60 pas (une longueur), tourne d’un quart de tour à gauche, avance de 20 pas (une largeur), tourne encore d’un quart de tour : il a tracé deux côtés. Il faut répéter ce motif 2 fois pour fermer le rectangle. Le bloc complété :
1 définir Rectangle 2 stylo en position d'écriture 3 répéter 2 fois 4 avancer de 60 pas 5 tourner à gauche de 90 degrés 6 avancer de 20 pas 7 tourner à gauche de 90 degrés fin de la boucle 8 relever le stylo
Ligne 3 : 2 ; ligne 5 : 90 ; ligne 6 : 20. À la fin du bloc, le lutin est revenu à son point de départ, orienté vers la droite.
b. Chaque bloc Rectangle commence au coin inférieur gauche (par rapport à la direction du lutin) et y ramène le lutin. Pour passer d’une plaque à la suivante, il faut donc parcourir un côté entier de la table, soit 80 pas, puis tourner de 90° à gauche :
- programme A : le lutin tourne sur place, les quatre rectangles partent tous du même point et forment un moulinet serré autour de ce point, sans carré central : ce n’est pas la table ;
- programme B : après 60 pas, le deuxième rectangle est tracé à l’intérieur de la table, il chevauche le premier ;
- programme C : après 80 pas, le lutin est au coin inférieur droit de la table, tourné vers le haut, et trace le rectangle n° 2 ; il continue ainsi pour les deux autres plaques.
C’est le programme C qui trace la vue du dessus de la table.
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