Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. Pour 20 m² :
- avec le carreleur A, on paie 80 € par m² : \(20 \times 80 = 1\,600\) € ;
- avec le carreleur B, on paie 60 € par m² plus 970 € fixes : \(20 \times 60 + 970 = 1\,200 + 970 = 2\,170\) €.
On retrouve bien 1 600 € avec A et 2 170 € avec B.
2. Pour 60 m² :
- carreleur A : \(60 \times 80 = 4\,800\) € ;
- carreleur B : \(60 \times 60 + 970 = 3\,600 + 970 = 4\,570\) €.
Pour 60 m², on paie 4 800 € avec A et 4 570 € avec B : cette fois, B est moins cher.
3. a. On remplace \(x\) par 70 : \(f(70) = 80 \times 70 = 5\,600\). L’image de 70 par \(f\) est 5 600 (carreler 70 m² avec A coûte 5 600 €).
b. On cherche \(x\) tel que \(f(x) = 2\,400\), c’est-à-dire \(80x = 2\,400\), donc \(x = \dfrac{2\,400}{80} = 30\). L’antécédent de 2 400 par \(f\) est 30.
c. \(f(x) = 80x\) : \(f\) est une fonction linéaire, sa représentation graphique est une droite qui passe par l’origine du repère. Il suffit d’un second point, par exemple \((30 \,;\, 2\,400)\) trouvé à la question précédente, ou \((70 \,;\, 5\,600)\). On trace la droite qui passe par \((0 \,;\, 0)\) et \((70 \,;\, 5\,600)\) : c’est la droite bleue \(\mathcal{C}_f\) ci-dessous.
4. On part de 2 800 € sur l’axe des ordonnées, on rejoint horizontalement la droite \(\mathcal{C}_g\), puis on descend verticalement sur l’axe des abscisses. On lit un peu plus de 30 m². Avec 2 800 € et le carreleur B, on peut carreler environ 30 m².
Par le calcul, on vérifie : \(60x + 970 = 2\,800\) donne \(60x = 1\,830\), soit \(x = 30{,}5\) m².
5. Le prix est le même lorsque \(f(x) = g(x)\) :
\[80x = 60x + 970\]
\[80x – 60x = 970\]
\[20x = 970\]
\[x = \dfrac{970}{20} = 48{,}5\]
Vérification : \(80 \times 48{,}5 = 3\,880\) et \(60 \times 48{,}5 + 970 = 2\,910 + 970 = 3\,880\). Pour une aire de 48,5 m², on paie le même prix (3 880 €) avec les deux carreleurs. C’est l’abscisse du point d’intersection des deux droites.
Exercice 2 :
Question 1 : réponse D (39). On remplace \(L\) par 25 dans la formule : \(p = 1{,}5 \times (25 + 1) = 1{,}5 \times 26 = 39\).
Question 2 : réponse C (48°). Dans le triangle MUR rectangle en U, l’hypoténuse est [MR] et le côté opposé à l’angle \(\widehat{\text{RMU}}\) est [UR]. Donc \(\sin(\widehat{\text{RMU}}) = \dfrac{\text{UR}}{\text{MR}} = \dfrac{7{,}2}{9{,}7} \approx 0{,}742\). La calculatrice (touche \(\sin^{-1}\)) donne \(\widehat{\text{RMU}} \approx 47{,}9^\circ\), soit 48° au degré près.
Question 3 : réponse B (36 km/h). Le coureur parcourt 100 m en 10 s, soit 10 m par seconde. En une heure (3 600 s), il parcourrait \(10 \times 3\,600 = 36\,000\) m, c’est-à-dire 36 km. Sa vitesse moyenne est donc 36 km/h.
Question 4 : réponse D (140 cm). À l’échelle \(\dfrac{1}{20}\), les longueurs réelles sont 20 fois plus grandes que sur le modèle : \(7 \times 20 = 140\) cm.
Question 5 : réponse A. Le point A est sur le parallèle 65° de l’hémisphère Nord (au-dessus de l’équateur) et sur le méridien 30° situé du côté Ouest (à gauche du méridien 0°) : ses coordonnées sont (65° N ; 30° O). Le point C est à 30° E et le point B dans l’hémisphère Sud.
Exercice 3 :
Partie 1
1. Losange ⑦. La symétrie de centre A envoie chaque point de l’autre côté de A, à la même distance : le losange ①, en haut à droite de A, a pour image le losange diamétralement opposé, en bas à gauche, qui est le losange ⑦.
2. Losange ⑤. La droite (AF) est un côté commun aux losanges ③ et ⑤ ; ces deux losanges sont placés de part et d’autre de cet axe, comme dans un miroir.
3. Losange ③. Les six losanges intérieurs ①, ③, ⑤, ⑦, ⑨, ⑪ sont séparés de 60° autour de A. Passer de ③ à ⑪, c’est tourner de 120° dans le sens des aiguilles d’une montre (③ → ① → ⑪). En appliquant la même rotation à ⑦ : ⑦ → ⑤ → ③.
4. Losange ⑤. Le vecteur de A vers E monte verticalement de la longueur AE. Le losange ⑧ a son sommet du bas au point situé sous A à la même distance AE ; la translation l’amène donc en A, et le losange ⑧ vient se placer entre A, F et le côté gauche du motif : c’est le losange ⑤.
Partie 2
1. L’hexagone ABCDEF est régulier : 6 côtés de 5 cm, soit \(5 \times 10 = 50\) pas. Le lutin part de A vers B ; à chaque sommet, il doit tourner vers la gauche de l’angle extérieur de l’hexagone, qui vaut \(180^\circ – 120^\circ = 60^\circ\) (on vérifie : \(6 \times 60^\circ = 360^\circ\), un tour complet). Le bloc complété est :
1 définir [hexagone ABCDEF] 2 stylo en position d'écriture 3 répéter (6) fois 4 avancer de (50) pas 5 tourner à gauche de (60) degrés 6 relever le stylo
2. Script C. Le motif contient six hexagones identiques à ABCDEF qui tournent autour de A : l’hexagone ABCDEF contient les losanges ①, ② et ③, et chaque rotation de 60° autour de A le décale d’un losange intérieur (①, ② et ③ ; puis ③, ④ et ⑤ ; etc.). Il faut donc tracer l’hexagone 6 fois en tournant de 60° entre deux tracés (\(6 \times 60° = 360°\)). Le script A n’en trace que deux (il manquerait les losanges ⑦ à ⑫), et le script B tourne de 90°, angle qui ne correspond pas aux angles du motif.
Exercice 4 :
Partie 1
1. a. On convertit les données dans les unités de la formule : \(S = 1\) ha \(= 10\,000\) m² et \(h = 30\) cm \(= 0{,}3\) m.
\[V = S \times h = 10\,000 \times 0{,}3 = 3\,000\ \text{m}^3\]
Il faut bien prévoir 3 000 m³ de neige.
b. D’après l’information 1, le volume d’eau est 2,5 fois plus petit que le volume de neige :
\[\dfrac{3\,000}{2{,}5} = 1\,200\ \text{m}^3\]
Il faut donc 1 200 m³ d’eau.
c. D’après l’information 2, chaque m³ d’eau coûte 4,30 € : \(1\,200 \times 4{,}30 = 5\,160\). Le coût de l’eau est bien 5 160 €.
2. a. Chaque hectare coûte 5 160 € d’eau ; pour 25 000 hectares :
\[25\,000 \times 5\,160 = 129\,000\,000\]
Le coût serait de 129 000 000 €, soit 129 millions d’euros.
b. On divise la surface enneigée artificiellement par la surface totale :
\[\dfrac{9\,250}{25\,000} = 0{,}37 = \dfrac{37}{100}\]
Les canons à neige sont utilisés sur 37 % de la surface totale des pistes.
Partie 2
1. F, E et D sont alignés dans cet ordre et FE = ED = 300 m, donc \(\text{FD} = \text{FE} + \text{ED} = 300 + 300 = 600\). Le segment [FD] mesure 600 m.
2. Dans le triangle ACF rectangle en C, pour l’angle \(\widehat{\text{CAF}}\), le côté [AC] est adjacent et [AF] est l’hypoténuse. On utilise le cosinus :
\[\cos(\widehat{\text{CAF}}) = \dfrac{\text{AC}}{\text{AF}} \quad \text{donc} \quad \cos(30^\circ) = \dfrac{400}{\text{AF}}\]
\[\text{AF} = \dfrac{400}{\cos(30^\circ)} \approx 461{,}88\]
Arrondie au mètre, AF ≈ 462 m.
3. a. Le triangle BED est rectangle en D, d’hypoténuse [EB]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{EB}^2 = \text{ED}^2 + \text{BD}^2 = 300^2 + 400^2 = 90\,000 + 160\,000 = 250\,000\]
\[\text{EB} = \sqrt{250\,000} = 500\]
Le segment [EB] mesure bien 500 m.
b. Dans le triangle HEB : D est sur [HE], K est sur [HB] et les droites (DK) et (EB) sont parallèles. Le théorème de Thalès donne :
\[\dfrac{\text{HD}}{\text{HE}} = \dfrac{\text{HK}}{\text{HB}} = \dfrac{\text{DK}}{\text{EB}}\]
Avec HD = 300 m et HE = HD + DE = 300 + 300 = 600 m :
\[\dfrac{300}{600} = \dfrac{\text{DK}}{500} \quad \text{donc} \quad \text{DK} = \dfrac{300 \times 500}{600} = 250\]
Le segment [DK] mesure 250 m.
4. Le parcours A → F → E → D → K mesure :
\[\text{AF} + \text{FE} + \text{ED} + \text{DK} \approx 462 + 300 + 300 + 250 = 1\,312\]
Le parcours mesure environ 1 312 m.
Exercice 5 :
1. Prendre 70 %, c’est multiplier par \(\dfrac{70}{100} = 0{,}7\) : \(20 \times 0{,}7 = 14\). Inès va donner 14 tee-shirts.
2. a. On additionne les cellules B2 à G2 : =SOMME(B2:G2) (ou =B2+C2+D2+E2+F2+G2).
b. Le nombre total de tee-shirts est \(14 + 6 + 9 + 11 + 12 + 8 = 60\). Chaque tee-shirt a la même chance d’être choisi, et 12 d’entre eux appartiennent à Yuna :
\[P = \dfrac{12}{60} = \dfrac{1}{5} = 0{,}2\]
La probabilité que le tee-shirt appartienne à Yuna est \(\dfrac{1}{5}\).
c. On partage les 60 tee-shirts entre les 6 amis : \(\dfrac{60}{6} = 10\). En moyenne, chaque ami donne 10 tee-shirts.
d. On range les six valeurs dans l’ordre croissant : 6 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 14. L’effectif est pair, la médiane se situe entre la 3e et la 4e valeur, 9 et 11 : on prend leur moyenne \(\dfrac{9 + 11}{2} = 10\). La médiane vaut 10 : la moitié des amis donnent 10 tee-shirts ou moins, l’autre moitié 10 ou plus.
3. a. Pour faire des lots identiques avec tous les vêtements, le nombre de lots doit diviser à la fois 168 et 63.
- 4 lots : 63 est impair, il n’est pas divisible par 4. 4 lots sont impossibles.
- 3 lots : \(168 = 3 \times 56\) et \(63 = 3 \times 21\). 3 lots sont possibles, chacun avec 56 tee-shirts et 21 pantalons.
b. On divise par les nombres premiers successifs :
\[168 = 2 \times 84 = 2 \times 2 \times 42 = 2 \times 2 \times 2 \times 21 = 2^3 \times 3 \times 7\]
\[63 = 3 \times 21 = 3 \times 3 \times 7 = 3^2 \times 7\]
\(168 = 2^3 \times 3 \times 7\) et \(63 = 3^2 \times 7\).
c. Le nombre de lots est un diviseur commun à 168 et 63 ; le plus grand s’obtient en prenant les facteurs premiers communs aux deux décompositions, avec la plus petite puissance : \(3 \times 7 = 21\). Chaque lot contiendra alors \(168 : 21 = 8\) tee-shirts et \(63 : 21 = 3\) pantalons. L’association pourra réaliser au maximum 21 lots.
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