Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. Le plus grand côté du triangle EFG est [EG]. On calcule séparément le carré de ce côté et la somme des carrés des deux autres : \(\text{EG}^2 = 30^2 = 900\) et \(\text{EF}^2 + \text{FG}^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900\). Les deux résultats sont égaux, donc \(\text{EG}^2 = \text{EF}^2 + \text{FG}^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F (le sommet opposé à [EG]).
2. Dans le triangle EFG rectangle en F, pour l’angle \(\widehat{\text{EGF}}\), le côté [EF] est opposé et le côté [FG] est adjacent. On peut utiliser la tangente : \(\tan \widehat{\text{EGF}} = \dfrac{\text{EF}}{\text{FG}} = \dfrac{18}{24} = 0{,}75\). La calculatrice donne \(\widehat{\text{EGF}} = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87^\circ\). Arrondi au degré : \(\widehat{\text{EGF}} \approx 37^\circ\). (On obtient le même résultat avec \(\cos \widehat{\text{EGF}} = \dfrac{24}{30} = 0{,}8\) ou \(\sin \widehat{\text{EGF}} = \dfrac{18}{30} = 0{,}6\).)
3. Deux triangles sont semblables dès qu’ils ont deux angles de mêmes mesures deux à deux. Ici, le triangle EGF est rectangle en F (question 1) et le triangle LGH est rectangle en H puisque (LH) est perpendiculaire à (FH) : \(\widehat{\text{EFG}} = \widehat{\text{LHG}} = 90^\circ\). De plus, l’énoncé indique \(\widehat{\text{EGF}} = \widehat{\text{LGH}}\). Les deux triangles ont donc deux paires d’angles égaux, et leurs troisièmes angles sont aussi égaux (la somme des angles vaut 180°). Les triangles EGF et LGH sont semblables.
4. Dans ces triangles semblables, les sommets se correspondent ainsi : F ↔ H (angles droits), G ↔ G (angles égaux) et E ↔ L. Le côté [FG] du petit triangle correspond donc au côté [HG] du grand triangle, car tous deux joignent le sommet de l’angle droit au sommet G. Le coefficient d’agrandissement est le quotient de deux longueurs correspondantes : \(k = \dfrac{\text{HG}}{\text{FG}} = \dfrac{38{,}4}{24} = 1{,}6\). Le coefficient cherché est 1,6. On peut éliminer les autres propositions : 0,625 est inférieur à 1 (ce serait une réduction, c’est d’ailleurs \(\dfrac{1}{1{,}6}\)), et 1,28 ou 2,6 ne transforment pas 24 en 38,4.
5. Dans un agrandissement de coefficient \(k\), toutes les longueurs sont multipliées par \(k\), donc le périmètre aussi. Périmètre du triangle EFG : \(18 + 24 + 30 = 72\) cm. Périmètre du triangle LGH : \(72 \times 1{,}6 = 115{,}2\) cm. Vérification côté par côté : \(\text{LH} = 18 \times 1{,}6 = 28{,}8\) cm, \(\text{LG} = 30 \times 1{,}6 = 48\) cm et \(\text{GH} = 38{,}4\) cm, soit \(28{,}8 + 48 + 38{,}4 = 115{,}2\) cm. Le périmètre du triangle LGH est 115,2 cm.
Exercice 2 :
Première partie
1. Le triangle AEF est rectangle isocèle en A (A est un coin du rectangle), donc AF = AE = 3 cm. Son aire est la moitié du produit des deux côtés de l’angle droit : \(\dfrac{3 \times 3}{2} = 4{,}5\). L’aire du triangle AEF est 4,5 cm².
2. Le polygone FELKJIHG, c’est la feuille entière moins les quatre coins, qui sont quatre triangles identiques à AEF. Aire de la feuille : \(10 \times 8 = 80\) cm². Aire des quatre coins : \(4 \times 4{,}5 = 18\) cm². L’aire du polygone FELKJIHG est \(80 – 18 = 62\) cm².
Deuxième partie
3. a. On reprend le raisonnement précédent avec AE = AF = \(x\) : l’aire du triangle AEF vaut \(\dfrac{x \times x}{2}\), soit \(\dfrac{x^2}{2}\) cm².
b. On retire à la feuille de 80 cm² les quatre triangles d’aire \(\dfrac{x^2}{2}\) : \(80 – 4 \times \dfrac{x^2}{2} = 80 – \dfrac{4x^2}{2} = 80 – 2x^2\). L’aire du polygone est bien \(80 – 2x^2\) cm².
4. La cellule B2 doit calculer \(f\) de la valeur de \(x\) écrite juste au-dessus, en B1. Une formule possible : =80-2*B1^2 (ou =80-2*B1*B1). En l’étirant vers la droite, B1 devient C1, D1, etc.
Remarque : la valeur 45,5 affichée en E2 est une coquille du sujet. Avec \(x = 1{,}5\), on trouve \(f(1{,}5) = 80 – 2 \times 2{,}25 = 75{,}5\), ce qui est d’ailleurs cohérent avec la courbe de la question 5.
5. a. La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Ici la courbe n’est pas une droite (elle s’incurve vers le bas) ; d’ailleurs l’expression \(80 – 2x^2\) contient un \(x^2\) et ne s’écrit pas sous la forme \(ax + b\). La fonction \(f\) n’est pas affine.
b. On cherche l’abscisse du point de la courbe d’ordonnée 60 : on part de 60 sur l’axe vertical, on rejoint horizontalement la courbe, puis on descend verticalement sur l’axe des abscisses. On lit une valeur un peu supérieure à 3. AE ≈ 3,2 cm.
c. On résout l’équation \(f(x) = 60\) :
\[80 – 2x^2 = 60\]
\[80 – 60 = 2x^2\]
\[20 = 2x^2\]
\[x^2 = 10\]
L’équation \(x^2 = 10\) a deux solutions, \(\sqrt{10}\) et \(-\sqrt{10}\), mais une longueur est positive, donc \(x = \sqrt{10}\). La longueur doit aussi rester inférieure à 4 cm (moitié du côté de 8 cm), ce qui est le cas. La valeur exacte est AE = \(\sqrt{10}\) cm, soit environ 3,16 cm, ce qui confirme la lecture graphique.
Exercice 3 :
1. Affirmation 1 : fausse. Si le prix était proportionnel, chaque prix s’obtiendrait en multipliant le nombre de baguettes par le même coefficient. Le prix d’une baguette est 1,10 € et on a bien \(2 \times 1{,}10 = 2{,}20\) et \(3 \times 1{,}10 = 3{,}30\), mais \(4 \times 1{,}10 = 4{,}40 \neq 4\). Les quotients \(\dfrac{1{,}10}{1} = 1{,}10\) et \(\dfrac{4}{4} = 1\) sont différents : le tableau n’est pas un tableau de proportionnalité.
2. Affirmation 2 : vraie. Entre 1 et 2, l’unité est partagée en 8 intervalles égaux ; chaque graduation vaut donc \(\dfrac{1}{8} = 0{,}125\). Le point A se trouve deux graduations après 2, donc son abscisse est \(2 + 2 \times 0{,}125 = 2{,}25\) (autrement dit \(2 + \dfrac{2}{8} = \dfrac{9}{4}\)). Le nombre 2,25 s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule : c’est un nombre décimal.
3. Affirmation 3 : vraie. Les deux roues retrouvent leur position de départ en même temps lorsque le même nombre de dents est passé au point de contact, et que ce nombre est un nombre entier de tours pour chacune. En 6 tours, la roue A fait passer \(6 \times 8 = 48\) dents ; en 4 tours, la roue B fait passer \(4 \times 12 = 48\) dents. Les deux nombres sont égaux et correspondent à des tours complets : l’engrenage est bien revenu à sa position initiale. (La première fois que cela arrive, c’est même plus tôt, au bout de 24 dents, soit 3 tours de A et 2 tours de B, puisque 24 est le plus petit multiple commun de 8 et 12 ; mais au bout de 48 dents la position est de nouveau la même.)
4. Affirmation 4 : vraie. On développe chaque membre séparément. À gauche, par double distributivité : \((x + 8)(2x – 1) = 2x^2 – x + 16x – 8 = 2x^2 + 15x – 8\). À droite, on supprime les parenthèses précédées d’un signe moins en changeant les signes : \(2x^2 – (8 – 15x) = 2x^2 – 8 + 15x = 2x^2 + 15x – 8\). Les deux expressions développées sont identiques, donc l’égalité est vraie pour tout nombre \(x\).
Exercice 4 :
1. a. La base de la bougie est un disque de rayon 3 cm, d’aire \(3^2 \times \pi = 9\pi\) cm². Le volume du cylindre est l’aire de la base multipliée par la hauteur : \(V = 9\pi \times 12 = 108\pi \approx 339{,}3\) cm³. Le volume d’une bougie est d’environ 339 cm³.
b. La cire représente les \(\dfrac{9}{10}\) du volume : \(\dfrac{9}{10} \times 108\pi = 97{,}2\pi \approx 305{,}4\) cm³. Chaque cm³ de cire pèse 0,7 g, donc la masse de cire est \(97{,}2\pi \times 0{,}7 = 68{,}04\pi \approx 213{,}8\) g. Il faut environ 214 g de cire pour une bougie.
2. Dans un diagramme circulaire, le pourcentage d’une catégorie est proportionnel à l’angle de son secteur, le tour complet (360°) correspondant à 100 %. Le secteur de la vanille a un angle droit, soit 90°, c’est-à-dire le quart de 360° : la vanille représente 25 % de la production. Le miel représente 22 %. Il reste \(100 – 25 – 22 = 53\) % pour la lavande et le jasmin, dont les secteurs ont des angles codés égaux : ils se partagent ce reste à parts égales, soit \(53 : 2 = 26{,}5\) %. Les bougies à la lavande représentent 26,5 % de la production de novembre.
3. Pour avoir une moyenne de 7 900 bougies sur trois mois, il faut fabriquer au total \(3 \times 7\,900 = 23\,700\) bougies. En janvier et février, l’usine en a fabriqué \(6\,500 + 8\,000 = 14\,500\). Il reste donc \(23\,700 – 14\,500 = 9\,200\) bougies. L’usine doit produire 9 200 bougies en mars. Vérification : \(\dfrac{6\,500 + 8\,000 + 9\,200}{3} = \dfrac{23\,700}{3} = 7\,900\).
Exercice 5 :
1. Le chiffre des dizaines peut valoir 1, 2, 3 ou 4 et le chiffre des unités 2, 3 ou 4, ce qui fait \(4 \times 3 = 12\) combinaisons. Les issues sont : 12, 13, 14, 22, 23, 24, 32, 33, 34, 42, 43, 44. Les secteurs de la roue ont la même aire et les boules sont indiscernables, donc ces 12 issues sont équiprobables.
2. Un nombre est impair quand son chiffre des unités est impair, ici quand la boule tirée porte le 3. Les issues favorables sont 13, 23, 33 et 43, soit 4 issues sur 12. La probabilité d’obtenir un nombre impair est \(\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\).
3. a. Les issues inférieures à 30 sont 12, 13, 14, 22, 23 et 24. Parmi elles, 12, 14, 22 et 24 sont pairs, donc divisibles par 2 : ils ne sont pas premiers. En revanche 13 et 23 n’ont que deux diviseurs, 1 et eux-mêmes : ils sont premiers. (43 est premier aussi, mais il n’est pas inférieur à 30.) L’évènement \(A\) est réalisé par 2 issues sur 12. \(P(A) = \dfrac{2}{12} = \dfrac{1}{6}\).
b. La probabilité de l’évènement contraire \(\overline{A}\) s’obtient en retranchant à 1 : \(P(\overline{A}) = 1 – \dfrac{1}{6} = \dfrac{5}{6}\).
4. Les multiples de 11 compris entre 12 et 44 sont 22, 33 et 44. Tous les trois figurent dans la liste des issues : \(22 = 2 \times 11\), \(33 = 3 \times 11\) et \(44 = 4 \times 11\). Il y a donc 3 issues favorables sur 12 : \(\dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} = 0{,}25\). La probabilité d’obtenir un multiple de 11 est bien 0,25.
5. a. Le chiffre des unités est le numéro d’une boule, donc un nombre au hasard parmi 2, 3 et 4. Ligne 5 : nombre aléatoire entre 2 et 4.
b. Les issues 22, 33 et 44 sont exactement celles dont les deux chiffres sont identiques : le joueur gagne quand le chiffre des dizaines est égal au chiffre des unités. Ligne 6 : si Chiffre des dizaines = Chiffre des unités alors.
Le script complet se lit ainsi :
quand le drapeau vert est cliqué
mettre Gagné à 0
répéter 100 fois
mettre Chiffre des dizaines à nombre aléatoire entre 1 et 4
mettre Chiffre des unités à nombre aléatoire entre 2 et 4
si Chiffre des dizaines = Chiffre des unités alors
ajouter 1 à Gagné
dire regrouper « La fréquence d'apparition d'un multiple de 11 est de : » et Gagné / 100 pendant 2 secondes
c. Le programme ne calcule pas une probabilité mais une fréquence observée sur seulement 100 parties simulées au hasard : il y a eu ici 23 parties gagnantes au lieu des 25 « attendues ». Une fréquence obtenue par simulation varie d’une série de tirages à l’autre (c’est la fluctuation d’échantillonnage) ; elle se rapproche de la probabilité 0,25 quand le nombre de parties devient très grand, mais n’a aucune raison de lui être exactement égale. L’écart entre 0,23 et 0,25 est donc normal.
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