Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. On met les deux fractions au même dénominateur, 21, qui est un multiple de 7 : \(\dfrac{4}{7} = \dfrac{4 \times 3}{7 \times 3} = \dfrac{12}{21}\). Donc \(\dfrac{4}{7} + \dfrac{5}{21} = \dfrac{12}{21} + \dfrac{5}{21} = \dfrac{17}{21}\). Réponse C.
2. L’urne contient \(3 + 2 + 4 = 9\) boules, dont 4 vertes. Les tirages étant équiprobables, la probabilité de tirer une boule verte est \(\dfrac{4}{9}\). Réponse B.
3. Une rotation de centre O et d’angle 90° fait « pivoter » la flèche d’un quart de tour autour de O : sa direction doit tourner de 90°. Sur la figure A, la flèche a fait un demi-tour (angle de 180°, c’est une symétrie centrale) ; sur la figure C, elle n’a tourné que de 45°. Sur la figure B, la flèche horizontale devient verticale et reste à la même distance de O : c’est bien un quart de tour. Réponse B.
4. On divise par les nombres premiers successifs : \(117 = 3 \times 39 = 3 \times 3 \times 13\), et 13 est premier. La réponse B, \(9 \times 13\), n’est pas une décomposition en facteurs premiers car 9 n’est pas premier ; la réponse C vaut \(147\). Réponse A.
5. Le dénominateur est \((-2) \times (-2) \times (-2) = (-2)^3\), donc \(\dfrac{1}{(-2)^3} = (-2)^{-3}\) par définition d’une puissance d’exposant négatif. Attention : \(2^{-3} = \dfrac{1}{8}\) est positif alors que \((-2)^{-3} = -\dfrac{1}{8}\). Réponse A.
Exercice 2 :
1. L’étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur de la série. La tortue la plus lourde pèse 125 kg et la plus légère 87 kg, donc l’étendue vaut \(125 – 87 = 38\). L’étendue de la série est 38 kg.
2. On additionne les sept masses puis on divise par 7 :
\[\overline{m} = \dfrac{113 + 96 + 125 + 87 + 117 + 104 + 101}{7} = \dfrac{743}{7} \approx 106{,}14\]
La masse moyenne de ces tortues est d’environ 106 kg.
3. On range les masses dans l’ordre croissant : 87 ; 96 ; 101 ; 104 ; 113 ; 117 ; 125. Il y a 7 valeurs (nombre impair), la médiane est donc la 4e valeur : la médiane vaut 104 kg. Interprétation : au moins la moitié des tortues pèsent 104 kg ou moins, et au moins la moitié pèsent 104 kg ou plus.
4. Il y a 2 mâles (A-001 et A-005) sur 7 tortues. Leur proportion est \(\dfrac{2}{7} \approx 0{,}286\), soit environ 28,6 %. Comme \(28{,}6\ \% \gt 20\ \%\), l’affirmation est fausse : les mâles représentent plus de 20 % de l’échantillon. (Pour être sous les 20 %, il aurait fallu au plus 1 mâle, car \(\dfrac{1}{7} \approx 14{,}3\ \%\).)
5. La latitude 20° Sud se lit sur le deuxième parallèle rouge sous l’équateur (celui marqué 20° à gauche de la carte). La longitude 45° Est se situe entre les méridiens 30° et 60° Est, exactement au milieu (un méridien est tracé tous les 15°, c’est le troisième méridien à droite du méridien 0). La croix se place à l’intersection de ces deux lignes : on tombe sur l’île de Madagascar, à l’est de l’Afrique australe, à l’endroit du point jaune situé dans l’océan Indien.
Exercice 3 :
1. a. On applique le programme au nombre 2 : \(2 + 2 = 4\), puis \(4^2 = 16\), puis \(16 – 2^2 = 16 – 4 = 12\). On obtient bien 12.
b. Avec \(-8\) : \(-8 + 2 = -6\), puis \((-6)^2 = 36\), puis \(36 – (-8)^2 = 36 – 64 = -28\). Le résultat est \(-28\).
2. La cellule B5 correspond à la dernière étape : on part du résultat de l’étape précédente (cellule B4) et on lui retire le carré du nombre de départ (cellule B2 multipliée par elle-même). La formule est donc =B4 − B2 * B2. Les deux autres formules correspondent aux cellules B3 (=B2 + 2) et B4 (=B3 * B3).
3. a. En partant de \(x\) : on obtient \(x + 2\), puis \((x + 2)^2\), puis on soustrait \(x^2\). Le résultat final est \((x + 2)^2 – x^2\).
b. On développe le carré avec l’identité remarquable \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\) :
\[(x + 2)^2 – x^2 = x^2 + 2 \times x \times 2 + 2^2 – x^2 = x^2 + 4x + 4 – x^2 = 4x + 4\]
On a bien \((x + 2)^2 – x^2 = 4x + 4\). On peut vérifier avec \(x = 5\) : \(4 \times 5 + 4 = 24\), comme dans la feuille de calcul.
4. D’après la question 3, le résultat est \(4x + 4\). On factorise par 4 : \(4x + 4 = 4 \times (x + 1)\). Si \(x\) est un nombre entier, alors \(x + 1\) est aussi un entier, et le résultat s’écrit \(4 \times k\) avec \(k = x + 1\) entier. C’est exact : le résultat est toujours un multiple de 4 (par exemple 12 pour 2, \(-28 = 4 \times (-7)\) pour \(-8\)).
Exercice 4 :
1. a. Dans la première boucle, le lutin avance 3 fois de 100 pas en tournant chaque fois de 120° : il trace un triangle dont les trois côtés mesurent 100 pas, le triangle est équilatéral. Dans la seconde boucle, il trace 4 côtés de même longueur en tournant de 90° à chaque fois, donc 4 angles droits : le quadrilatère est un carré. C’est le cas pour les trois figures.
b. L’énoncé précise que les triangles et les quadrilatères sont identiques ; sur les figures, le côté du carré a la même longueur que le côté du triangle. La valeur manquante est 100 : « avancer de 100 pas ».
c. Après le triangle, le lutin est revenu à son point de départ, le sommet gauche de la base, orienté vers la droite.
Programme 1 : il avance de 50 pas, soit la moitié de la base ; le carré commence donc au milieu de la base du triangle et le chevauche : c’est la figure B.
Programme 2 : il avance de 100 pas, il se retrouve au sommet droit de la base ; le carré démarre à cet endroit, à côté du triangle : c’est la figure C.
Programme 3 : il tourne de 60° vers la gauche sans avancer ; il se retrouve dirigé le long du côté gauche du triangle, et le carré est construit sur ce côté, à l’extérieur du triangle : c’est la figure A.
2. a. Le triangle équilatéral de côté 100 pas a pour périmètre \(3 \times 100 = 300\) pas. Si le carré a pour côté \(c\), son périmètre est \(4c\). On veut \(4c = 300\), donc \(c = \dfrac{300}{4} = 75\). Il faut écrire « avancer de 75 pas » à la ligne 8.
b. Avec l’échelle 1 cm pour 25 pas, le côté du triangle mesure \(100 : 25 = 4\) cm et celui du carré \(75 : 25 = 3\) cm. Construction : on trace un triangle équilatéral de 4 cm de côté, base horizontale. Depuis le sommet gauche de la base, on trace un carré de 3 cm de côté dont un côté est porté par le côté gauche du triangle (il en recouvre les 3 premiers centimètres), le carré étant placé à l’extérieur du triangle, du côté gauche. On obtient la figure suivante (réduite).
Exercice 5 :
1. Prendre 10 % d’un prix revient à le multiplier par \(\dfrac{10}{100} = 0{,}1\) : \(139{,}90 \times 0{,}1 = 13{,}99\). La réduction est de 13,99 € (l’étagère a donc été payée \(139{,}90 – 13{,}99 = 125{,}91\) €).
2. Lorsqu’on relève l’étagère, elle tourne autour du point A. Le point de l’étagère le plus éloigné de A est le sommet C, et c’est lui qui décrit l’arc de cercle en pointillés : au moment où il passe à la verticale de A (point E), la hauteur atteinte est égale à la longueur AC. Il suffit donc de comparer AC à la hauteur sous plafond, 2,40 m.
Le triangle ABC est rectangle en B, donc d’après le théorème de Pythagore :
\[\text{AC}^2 = \text{AB}^2 + \text{BC}^2 = 0{,}80^2 + 2{,}25^2 = 0{,}64 + 5{,}0625 = 5{,}7025\]
\[\text{AC} = \sqrt{5{,}7025} \approx 2{,}388\ \text{m}\]
Comme \(2{,}388 \lt 2{,}40\), l’étagère ne touchera pas le plafond ; il reste toutefois à peine plus d’un centimètre de marge.
3. a. Les points E, G, I et K partagent [B’C’] en 5 segments de même longueur (les codages le montrent). Donc \(\text{C^{\prime}E} = \dfrac{\text{B^{\prime}C^{\prime}}}{5} = \dfrac{2{,}25}{5} = 0{,}45\). C’E = 0,45 m.
b. Les tablettes sont horizontales et le sol aussi : les droites (DE) et (AB’) sont perpendiculaires à la même droite (B’C’), elles sont donc parallèles. Les points C’, D, A d’une part et C’, E, B’ d’autre part sont alignés. D’après le théorème de Thalès dans les triangles C’DE et C’AB’ :
\[\dfrac{\text{C^{\prime}E}}{\text{C^{\prime}B^{\prime}}} = \dfrac{\text{C^{\prime}D}}{\text{C^{\prime}A}} = \dfrac{\text{DE}}{\text{AB^{\prime}}}\]
Donc \(\dfrac{\text{DE}}{0{,}80} = \dfrac{0{,}45}{2{,}25} = 0{,}2\), d’où \(\text{DE} = 0{,}80 \times 0{,}2 = 0{,}16\). La tablette [DE] mesure 0,16 m, soit 16 cm.
c. Le point I est situé à trois intervalles de C’ : \(\text{C^{\prime}I} = 3 \times 0{,}45 = 1{,}35\) m. Pour les mêmes raisons, (HI) est parallèle à (AB’) et le théorème de Thalès dans les triangles C’HI et C’AB’ donne :
\[\dfrac{\text{HI}}{\text{AB^{\prime}}} = \dfrac{\text{C^{\prime}I}}{\text{C^{\prime}B^{\prime}}} = \dfrac{1{,}35}{2{,}25} = 0{,}6\]
D’où \(\text{HI} = 0{,}80 \times 0{,}6 = 0{,}48\). La tablette [HI] mesure 0,48 m, soit 48 cm.
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