Homothétie d'un point et d'un triangle

La définition

Une homothétie est définie par un centre O et un nombre appelé rapport, noté k. L'image d'un point A est le point A' aligné avec O et A, tel que la longueur OA' vaille k fois la longueur OA.

Le rôle du signe et de la valeur de k

Si k est positif, A' se trouve du même côté que A par rapport à O. Si k est négatif, il passe de l'autre côté. Si la valeur absolue de k est supérieure à 1, la figure est agrandie ; si elle est comprise entre 0 et 1, la figure est réduite. Pour k = 1, rien ne bouge ; pour k = −1, on retrouve la symétrie centrale de centre O.

Effet sur les longueurs, les aires et les volumes

Les longueurs sont multipliées par la valeur absolue de k, les aires par k² et les volumes par k³. Un agrandissement de rapport 3 multiplie donc les aires par 9 et les volumes par 27 : c'est le point que les exercices vérifient le plus souvent.

Ce qui est conservé

L'homothétie conserve les angles, l'alignement, le parallélisme et les milieux. Elle ne conserve pas les longueurs, sauf si k vaut 1 ou −1. L'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle, ce qui relie l'homothétie au théorème de Thalès.