Le fabuleux nombre Pi

Ce que désigne exactement Pi

Pi est le rapport entre le périmètre d'un cercle et son diamètre. Ce rapport ne dépend pas du cercle choisi : petit ou grand, il vaut toujours la même chose, environ 3,14159. C'est cette invariance qui en fait une constante, et non une simple mesure.

Irrationnel, puis transcendant

Pi est irrationnel : on ne peut l'écrire comme le quotient de deux entiers, donc son écriture décimale ne s'arrête jamais et ne devient jamais périodique. Lambert le démontre en 1761. Il est de plus transcendant, ce que Lindemann établit en 1882 : il n'est solution d'aucune équation polynomiale à coefficients entiers. C'est ce dernier résultat qui rend la quadrature du cercle impossible à la règle et au compas.

Les formules qui l'utilisent

Périmètre d'un cercle : P = 2 × π × r. Aire d'un disque : A = π × r². Volume d'un cylindre : V = π × r² × h. Volume d'une boule : V = 4 ÷ 3 × π × r³. Toutes sont au programme du collège.

Valeur exacte ou valeur approchée

Un énoncé qui demande la valeur exacte attend une réponse écrite en fonction de π, comme 10π cm. Une valeur approchée s'obtient avec la touche π de la calculatrice, puis un arrondi au rang demandé. L'approximation 22/7, connue depuis Archimède, donne 3,142 : suffisante pour un ordre de grandeur, pas pour un calcul précis.