Le nombre d'or
Un nombre qui vérifie une équation toute simple, et qu'on retrouve dans un pentagone, dans une coquille et dans la suite de Fibonacci.
Le nombre d'or est la solution positive de l'équation x au carré égale x plus un. Sa valeur approchée est 1,618. Cette définition tient en une ligne, mais elle entraîne une suite de propriétés remarquables : un rectangle dont les côtés sont dans ce rapport se reproduit indéfiniment, les quotients de termes consécutifs de la suite de Fibonacci s'en approchent, et les diagonales d'un pentagone régulier le font apparaître naturellement.
Sa définition
Le nombre d'or, noté φ, est la solution positive de l'équation x² = x + 1. Sa valeur exacte est (1 + racine de 5) divisé par 2, soit environ 1,618. Il apparaît dès qu'un segment est partagé en deux parties telles que le rapport du tout à la plus grande soit égal au rapport de la plus grande à la plus petite.
Le lien avec la suite de Fibonacci
Dans la suite 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34…, chaque terme est la somme des deux précédents. Les quotients de deux termes consécutifs — 3/2, 5/3, 8/5, 13/8 — se rapprochent de plus en plus du nombre d'or. Plus on avance dans la suite, meilleure est l'approximation.
Le rectangle d'or
Un rectangle dont le rapport de la longueur à la largeur vaut φ possède une propriété rare : si l'on en retire un carré, le rectangle restant a exactement les mêmes proportions. On peut donc recommencer indéfiniment, ce qui engendre la spirale que l'on retrouve dans certaines coquilles.
Ce qu'il faut relativiser
On prête au nombre d'or une présence universelle dans l'art et la nature. La réalité est plus sobre : il apparaît bel et bien dans le pentagone régulier, où le rapport de la diagonale au côté vaut exactement φ, et dans certaines dispositions végétales. Beaucoup d'autres exemples relèvent d'une lecture après coup plutôt que d'une intention. C'est un bon exercice d'esprit critique.
✨ Le Nombre d'Or c'est quoi ?
Un nombre magique !
$$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} = 1,618033988749895...$$
Cette valeur vérifie l'équation :
$$\phi^2 = \phi + 1$$
📐 La Construction
Construction Géométrique
Soit un segment AB de longueur L, on trouve le point C tel que :
$$\frac{AB}{AC} = \frac{AC}{CB}$$
Ce qui donne :
$$\phi = \frac{AB}{AC} = \frac{AC}{CB}$$
🔢 Suite de Fibonacci
La Suite Magique
$$1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...$$
Pour tout n : $$F_{n+1} = F_n + F_{n-1}$$
Le rapport de deux termes consécutifs tend vers φ :
$$\lim_{n \to \infty} \frac{F_{n+1}}{F_n} = \phi$$
🌿 Dans la Nature
La Spirale Logarithmique
Équation en coordonnées polaires :
$$r = ae^{b\theta}$$
où le rapport de croissance est lié à φ
- 🐚 Coquillage nautile
- 🌻 Disposition des graines de tournesol
- 🌀 Bras des galaxies
- 🍍 Écailles d'ananas
🎨 Le Rectangle d'Or
Proportions Parfaites
Pour un rectangle de largeur \(a\) et de longueur \(b\) :
$$\frac{a}{b} = \frac{b}{a+b} = \frac{1}{\phi}$$
- 🖼️ Le Parthénon
- 🎭 La Joconde
- 📱 Les cartes bancaires
📐 Pentagone Régulier
Relations Dorées
Dans un pentagone régulier :
$$\frac{\text{diagonale}}{\text{côté}} = \phi$$
🧮 Fraction Continue
Représentation Infinie
$$\phi = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \dots}}}$$
🎵 Harmonies
Gamme et Fréquences
Rapport des fréquences dans une gamme :
$$f_2 = f_1 \times \phi^n$$
où n est l'intervalle musical