Sinus : définition, propriété et exemple

Sommaire

Au programme de 3ème 1ère

Définition

Dans un triangle rectangle, le sinus d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé à cet angle par la longueur de l’hypoténuse.

Notation : \(\sin(\widehat{B}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}\).

En clair

Comme le cosinus, c’est un rapport de longueurs qui ne dépend que de l’angle, mais il utilise le côté d’en face.

Ce qu’il faut retenir

Le sinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1.
\(\sin(0°) = 0\), \(\sin(30°) = 0{,}5\), \(\sin(90°) = 1\).
\(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\) pour tout angle \(x\).
Sur le cercle trigonométrique, le sinus est l’ordonnée du point associé à l’angle.
L’aire d’un triangle vaut \(\dfrac12\,ab\sin(\widehat{C})\).

Exemple

Triangle rectangle en \(A\) avec \(\widehat{B} = 40°\) et \(BC = 12\) cm : \(\sin(40°) = \dfrac{AC}{12}\), donc \(AC = 12\sin(40°) \approx 7{,}7\) cm.