Tangente d'un angle : définition, propriété et exemple

Sommaire

Au programme de 3ème 1ère

Définition

Dans un triangle rectangle, la tangente d’un angle aigu est le quotient de la longueur du côté opposé par la longueur du côté adjacent.

Notation : \(\tan(\widehat{B}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \dfrac{\sin(\widehat B)}{\cos(\widehat B)}\).

En clair

C’est le rapport entre « ce qui monte » et « ce qui avance » : c’est la pente associée à l’angle.

La tangente d’un angle aigu peut prendre n’importe quelle valeur positive, elle n’est pas bornée par 1.
\(\tan(45°) = 1\) : le triangle est alors isocèle rectangle.
La tangente n’est pas définie pour 90°, car le cosinus y est nul.
Le coefficient directeur d’une droite est la tangente de l’angle qu’elle forme avec l’axe des abscisses.
Une pente de 10 % correspond à une tangente de 0,10.

Une route monte de 6 m sur 100 m à l’horizontale : \(\tan(\alpha) = \dfrac{6}{100} = 0{,}06\), donc \(\alpha \approx 3{,}4°\).

Tangente à un cercle — la tangente à un cercle est une droite.
Tangente à une courbe — la tangente à une courbe est la droite qui l’épouse en un point.

Tangente = côté opposé ÷ côté adjacent, ou encore sinus divisé par cosinus.

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