Exercices maths terminale S et ES

Problèmes du bac sur une équation et une transformation en terminale S

Une série d’exercices sur les nombres complexes en terminale S afin d’assimiler les définitions et propriétés ainsi que l’écriture arithmétique et géométrique puis les formules de Moivre et d’Euler.Les corrections sont entièrement détaillées avec de nombreuses explications.

Nombres complexes Bac S Pondichéry

Cet exercice contient une restitution organisée de connaissances.

 Partie A
On suppose connus les résultats suivants :
1. Dans le plan complexe, on donne par leurs affixes z_Az_B et z_C trois points A, B et C.
Alors  |\frac{z_B-z_C}{z_A-z_C} |=\frac{CB}{CA}\,et\,arg ( \frac{z_B-z_C}{z_A-z_C} )=(\vec{CA},\vec{CB})\,\,[2\pi]
2. Soit z un nombre complexe et \alpha un réel : z=e^{i\theta }
si et seulement si |z| = 1 et arg(z) = θ + 2kπ, où
k est un entier relatif.
Démonstration de cours :
Démontrer que la rotation r d’angle α et de centre Ω d’affixe ω est la
transformation du plan qui à tout point M d’affixe z associe le point M′ d’affixe z′
tel que     z'-w=e^{i\alpha }(z-w)
Partie B
Dans un repère orthonormal direct du plan complexe (O,\vec{u},\vec{v}) d’unité graphique 2 cm,
on considère les points A, B, C et D d’affixes respectives :
z_A=-\sqrt{3}-i\,;\,z_B=1-i\sqrt{3},z_C= \sqrt{3}-i,z_D=-1+i \sqrt{3}
3.
1. a. Donner le module et un argument pour chacun des quatre nombres complexes z_Az_B , z_C et z_D.
b. Comment construire à la règle et au compas les points A, B, C et D dans le repère (O,\vec{u},\vec{v}) ?
c. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
2. On considère la rotation r de centre B et d’angle -\frac{\pi}{3} .
Soient E et F les points du plan  définis par : E = r(A) et F = r(C).
a. Comment construire à la règle et au compas les points E et F dans le repère précédent ?
b. Donner l’écriture complexe de r.
c. Déterminer l’affixe du point E.

Corrigé de cet exercice

Equations complexes Bac S France

 Le plan complexe est rapporté au repère orthonormal (O,\vec{u},\vec{v}); l’unité graphique est 1 cm.
1) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexes, l’équation :
z^2+4z+8=0
On donnera les solutions sous forme algébrique, puis sous forme trigonométrique.
2) On note A et B les points du plan d’affixes respectives :
a = 2 − 2i et b = −a.
a) Déterminer l’affixe c du point C, image du point B par la rotation de centre O et d’angle \frac{\pi}{2}.
b) On note D l’image de C par la rotation de centre A et d’angle \frac{\pi}{2}.
Démontrer que l’affixe d du point D est d = 2 − 6i.
c) Placer les points C et D sur le graphique.
Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ?
3) \alpha étant un nombre réel non nul, on désigne par G_\alpha le barycentre du système :
{(A, 1),(B, −1),(C,\alpha)}.
a) Exprimer le vecteur \vec{CG_\alpha }  en fonction du vecteur \vec{BA} .
b) En déduire l’ensemble des points G_\alpha lorsque \alpha décrit l’ensemble des réels non nuls.
Construire cet ensemble.
c) Pour quelle valeur de \alpha a-t-on G_\alpha = D ?
4) On suppose dans cette question que \alpha= 2.
Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative non fructueuse, sera
prise en compte dans l’évaluation.
Déterminer et construire l’ensemble des points M du plan tels que :
 \| \vec{MA}-\vec{MB}+2\vec{MC} \|=4\sqrt{2}

Corrigé de cet exercice


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