Voici le corrigé du contrôle de maths de 5ème sur le thème : multiples, diviseurs, divisibilité par 3 et 9.
Tu trouveras ici la correction détaillée du sujet sur les multiples et diviseurs. Chaque division euclidienne est vérifiée par l’égalité complète, chaque critère de divisibilité est justifié par le dernier chiffre ou par la somme des chiffres.
Pour les problèmes de rangement et de sachets, observe comment on passe de la situation à la recherche d’un diviseur commun, puis comment on rédige une phrase-réponse. Le barème détaillé te permet de noter ta copie, et les remarques « Erreur fréquente » t’aident à repérer les confusions entre multiple et diviseur.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 5ème : multiples, diviseurs, divisibilité par 3 et 9.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : La division euclidienne | 4 points |
| Exercice 2 : Multiples et diviseurs | 4 points |
| Exercice 3 : Les critères de divisibilité | 5 points |
| Exercice 4 : Ranger des photos | 3 points |
| Exercice 5 : Les sachets de la confiserie | 4 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : La division euclidienne (4 points)
- Dans 187, il y a 15 fois 12, car \(12 \times 15 = 180\) et \(12 \times 16 = 192\) dépasse 187. Le reste est \(187 – 180 = 7\), et \(7 < 12\).
\(187 = 12 \times 15 + 7\) : le quotient est 15 et le reste est 7.
- \(9 \times 225 = 2\,025\) et \(9 \times 226 = 2\,034\) dépasse 2 026. Le reste est \(2\,026 – 2\,025 = 1\), et \(1 < 9\).
\(2\,026 = 9 \times 225 + 1\) : le quotient est 225 et le reste est 1.
- Dans une division euclidienne, le reste doit être strictement inférieur au diviseur.
Pour la division par 7 : le reste 9 n’est pas inférieur à 7 (on pourrait encore mettre une fois 7 dans 9). Ce n’est pas la division euclidienne de 100 par 7 ; celle-ci est \(100 = 7 \times 14 + 2\).
Pour la division par 13 : l’égalité s’écrit \(100 = 13 \times 7 + 9\) et \(9 < 13\). C’est bien la division euclidienne de 100 par 13 (quotient 7, reste 9).
Erreur fréquente : oublier de vérifier que le reste est plus petit que le diviseur. Une égalité juste ne suffit donc pas.
Barème : a) et b) 1,5 point chacun : 0,5 point pour le quotient, 0,5 point pour le reste, 0,5 point pour l’égalité complète ; c) 0,5 point pour chaque réponse justifiée par la comparaison du reste et du diviseur.
Exercice 2 : Multiples et diviseurs (4 points)
- « 72 est un multiple de 8 » est vrai, car \(72 = 8 \times 9\).
« 6 est un diviseur de 45 » est faux, car \(45 = 6 \times 7 + 3\) : le reste n’est pas nul (45 est d’ailleurs impair, il n’est pas divisible par 2, donc pas par 6).
« 91 est divisible par 7 » est vrai, car \(91 = 7 \times 13\).
- On cherche les produits égaux à 36 : \(1 \times 36\) ; \(2 \times 18\) ; \(3 \times 12\) ; \(4 \times 9\) ; \(6 \times 6\). 5, 7 et 8 ne divisent pas 36, et après 6 on retrouve les mêmes facteurs.
Les diviseurs de 36 sont : 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 et 36.
- \(48 = 1 \times 48 = 2 \times 24 = 3 \times 16 = 4 \times 12 = 6 \times 8\). Il y a 5 façons (5 et 7 ne divisent pas 48).
Barème : a) 0,5 point par affirmation (0,25 point sans justification) ; b) 1,5 point : on retire 0,5 point par diviseur oublié ou en trop ; c) 1 point : 0,25 point retiré par produit oublié.
Exercice 3 : Les critères de divisibilité (5 points)
- Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8 ; par 5 s’il se termine par 0 ou 5 ; par 10 s’il se termine par 0 ; par 3 (ou par 9) si la somme de ses chiffres est divisible par 3 (ou par 9).
Sommes des chiffres : 135 : \(1 + 3 + 5 = 9\) ; 240 : \(2 + 4 + 0 = 6\) ; 1 071 : \(1 + 0 + 7 + 1 = 9\) ; 4 518 : \(4 + 5 + 1 + 8 = 18\) ; 3 316 : \(3 + 3 + 1 + 6 = 13\).
Le nombre est-il divisible par… 2 3 5 9 10 135 non oui oui oui non 240 oui oui oui non oui 1 071 non oui non oui non 4 518 oui oui non oui non 3 316 oui non non non non
Questions b et c : trouver le chiffre manquant
- La somme des chiffres de 4■7 est 4 + 7 + ■, soit 11 + ■. Cette somme doit donc valoir un multiple de 9. Or ■ est un chiffre, alors la somme est comprise entre 11 et 20 : le seul multiple de 9 possible est 18, donc ■ vaut 7. Le nombre est 477 (et \(477 = 9 \times 53\)).
- Pour être divisible par 5, le nombre doit se terminer par 0 ou 5.
520 : \(5 + 2 + 0 = 7\), qui n’est pas divisible par 3. 525 : \(5 + 2 + 5 = 12\), divisible par 3.
Il faut écrire 5 : le nombre 525 est divisible par 3 et par 5.
Erreur fréquente : croire qu’un nombre qui se termine par 3 ou 9 est divisible par 3 ou 9. Pour 3 et 9, on regarde la somme de tous les chiffres, pas le dernier.
Barème : a) 3 points : on retire 0,25 point par case fausse (sans descendre sous 0) ; b) 1 point : 0,5 point pour la somme des chiffres, 0,5 point pour la réponse ; c) 1 point : 0,5 point pour le dernier chiffre 0 ou 5, 0,5 point pour la réponse justifiée.
Exercice 4 : Ranger des photos (3 points)
- Le nombre de photos par page divise 60 et se situe entre 5 et 15. Or les diviseurs de 60 sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 et 60. On garde donc 5, 6, 10, 12 et 15.
\(60 = 5 \times 12 = 6 \times 10 = 10 \times 6 = 12 \times 5 = 15 \times 4\).
Lucas peut mettre 5 photos par page sur 12 pages, 6 photos sur 10 pages, 10 photos sur 6 pages, 12 photos sur 5 pages ou 15 photos sur 4 pages.
- D’abord, 61 est impair (pas divisible par 2, 6, 8, 10, 12, 14). Ensuite, la somme de ses chiffres vaut 7 (pas divisible par 3, 9, 15). De plus, il ne se termine ni par 0 ni par 5 (pas divisible par 5). Enfin \(61 = 7 \times 8 + 5\), \(61 = 11 \times 5 + 6\) et \(61 = 13 \times 4 + 9\). Ainsi, aucun nombre de 5 à 15 ne divise 61 : ses seuls diviseurs sont 1 et 61. Ce n’est pas possible pour Jade.
Barème : a) 2 points : 0,4 point par possibilité complète (photos par page et nombre de pages) ; b) 1 point : 0,5 point pour la réponse, 0,5 point pour la justification.
Exercice 5 : Les sachets de la confiserie (4 points)
- \(126 = 9 \times 14\) et \(90 = 9 \times 10\) : 9 divise 126 et 90. Oui, elle peut préparer 9 sachets contenant chacun 14 caramels et 10 chocolats.
- \(126 = 12 \times 10 + 6\) : le reste n’est pas nul, donc 12 ne divise pas 126. Non, elle ne peut pas préparer 12 sachets : il resterait 6 caramels.
- Le nombre de sachets doit diviser à la fois 126 et 90.
Diviseurs de 126 : 1, 2, 3, 6, 7, 9, 14, 18, 21, 42, 63, 126.
Diviseurs de 90 : 1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90.
Les diviseurs communs sont donc 1, 2, 3, 6, 9 et 18. Le plus grand est 18. Alors \(126 : 18 = 7\), \(90 : 18 = 5\).
Elle peut préparer au maximum 18 sachets, contenant chacun 7 caramels et 5 chocolats.
Barème : a) 1,5 point : 0,5 point pour chaque division, 0,5 point pour la composition ; b) 1 point : 0,5 point pour le calcul, 0,5 point pour la conclusion ; c) 1,5 point : 0,5 point pour l’idée de diviseur commun, 0,5 point pour 18, 0,5 point pour la composition.
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Après le corrigé du contrôle : multiples, diviseurs, divisibilité par 3 et 9
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