Corrigé du contrôle de maths 4ème : construire des images par translation

Exercice 1 : Reconnaître une translation (3 points)

1. Une translation fait glisser la figure sans la tourner ni la retourner. Donc l’image doit avoir, comme \(F\), le fanion en haut du mât et tourné vers la droite.
   D’abord, \(F_1\) et \(F_3\) ont exactement la même orientation que \(F\). Ce sont donc des images de \(F\) par une translation.
   En revanche, \(F_2\) a son fanion tourné vers la gauche. Il a été retourné (c’est une image par une symétrie axiale).
   Enfin, \(F_4\) a son fanion en bas du mât, tourné vers la gauche. Il a ainsi fait un demi-tour (c’est une image par une symétrie centrale).
   Seuls \(F_1\) et \(F_3\) sont des images de \(F\) par une translation.
2. Le pied du mât de \(F\) passe au pied du mât de \(F_1\). Pour cela, il se déplace de 6 carreaux horizontalement et de 2 carreaux verticalement. La translation fait glisser \(F\) de 6 carreaux vers la droite et de 2 carreaux vers le haut.

Barème : a) 0,5 point par drapeau correctement classé, avec justification pour \(F_2\) et \(F_4\) ; b) 0,5 point par déplacement (horizontal et vertical).

Exercice 2 : Image de points et d’un segment (4 points)

Pour aller de \(A\) à \(B\), on se déplace de 4 carreaux vers la droite, puis de 3 vers le haut. Ensuite, on applique ce même déplacement à chaque point.

1. D’abord, à partir de \(C\), on compte 4 carreaux vers la droite et 3 vers le haut. On obtient le point \(C^{\prime}\).
2. L’image d’un segment par une translation est un segment de même longueur. Ainsi, on construit les images \(D^{\prime}\) de \(D\) et \(E^{\prime}\) de \(E\) avec le même déplacement, puis on les relie. Le segment \([D^{\prime}E^{\prime}]\) est l’image de \([DE]\).
3. La translation qui transforme \(A\) en \(B\) transforme \(C\) en \(C^{\prime}\). Or, si une translation transforme \(A\) en \(B\) et \(C\) en \(C^{\prime}\), alors \(ABC^{\prime}C\) est un parallélogramme. Donc \(ABC^{\prime}C\) est un parallélogramme.

Erreur fréquente : nommer le quadrilatère \(ABCC^{\prime}\). En effet, dans cet ordre, les côtés se croisent. Par conséquent, l’ordre des sommets doit suivre le tour de la figure.

Barème : a) 1 point ; b) 0,5 point pour chaque extrémité, 0,5 point pour le segment tracé ; c) 0,5 point pour « parallélogramme », 1 point pour la justification.

Exercice 3 : Image d’un triangle rectangle (4 points)

1. Pour aller de \(M\) à \(N\), on se déplace de 3 carreaux vers la droite, puis de 4 vers le haut. Ensuite, on applique ce déplacement aux trois sommets \(R\), \(S\) et \(T\), puis on relie les images.

   

   Le triangle \(R^{\prime}S^{\prime}T^{\prime}\) est construit.

2. Une translation conserve les angles. Or l’angle \(\widehat{SRT}\) est droit, donc \(\widehat{S^{\prime}R^{\prime}T^{\prime}}\) est droit aussi. Le triangle \(R^{\prime}S^{\prime}T^{\prime}\) est rectangle en \(R^{\prime}\).
3. \(RS = 4\) carreaux et \(RT = 3\) carreaux, donc l’aire de \(RST\) vaut \(\frac{4 \times 3}{2} = 6\) carreaux. De plus, une translation conserve les aires. L’aire de \(RST\) et celle de \(R^{\prime}S^{\prime}T^{\prime}\) valent toutes les deux 6 carreaux.

Barème : a) 0,5 point par sommet bien placé, 0,5 point pour le triangle tracé et nommé ; b) 0,5 point pour la propriété, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,5 point pour l’aire de \(RST\), 0,5 point pour l’aire de l’image justifiée.

Exercice 4 : Ce que conserve une translation (4 points)

1. Une translation conserve les longueurs et les angles. \(K^{\prime}L^{\prime} = KL = 5\) cm et \(\widehat{K^{\prime}L^{\prime}M^{\prime}} = \widehat{KLM} = 48^\circ\).
2. De même, une translation conserve les aires. L’aire du triangle \(K^{\prime}L^{\prime}M^{\prime}\) est \(12\text{ cm}^2\).
3. Une translation transforme une droite en une droite qui lui est parallèle. Donc \((K^{\prime}L^{\prime})\) est parallèle à \((KL)\). Or \((KL)\) est parallèle à \((d)\). Et si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. Les droites \((K^{\prime}L^{\prime})\) et \((d)\) sont parallèles.
4. La translation qui transforme \(E\) en \(F\) transforme \(K\) en \(K^{\prime}\). En effet, chaque point se déplace de la même longueur \(EF\). Donc \(KK^{\prime} = EF = 7\) cm. De plus, la translation transforme \(K\) en \(K^{\prime}\) et \(L\) en \(L^{\prime}\). Alors \(KK^{\prime}L^{\prime}L\) est un parallélogramme. \(KK^{\prime} = 7\) cm et \(KK^{\prime}L^{\prime}L\) est un parallélogramme.

Barème : a) 0,5 point par réponse justifiée ; b) 1 point (0,5 point sans justification) ; c) 0,5 point pour \((K^{\prime}L^{\prime})\) parallèle à \((KL)\), 0,5 point pour la conclusion ; d) 0,5 point pour 7 cm, 0,5 point pour le parallélogramme.

Exercice 5 : Une frise par translations (5 points)

Pour aller de \(A\) à \(B\), on se déplace de 4 carreaux vers la droite, puis de 1 vers le haut.

1. D’abord, on déplace chacun des six sommets de \(P_0\) de 4 carreaux vers la droite et de 1 vers le haut. Puis on relie les points obtenus dans le même ordre. On obtient le motif \(P_1\), dont un sommet est \(B\).
2. Ensuite, on applique le même déplacement aux sommets de \(P_1\). Ainsi, le point \(B\) devient le point \(C\), situé 4 carreaux à droite et 1 carreau au-dessus de \(B\). On obtient le motif \(P_2\), dont un sommet est \(C\).
3. On enchaîne deux déplacements de 4 carreaux vers la droite et 1 vers le haut. Cela donne donc un déplacement de 8 carreaux vers la droite et 2 vers le haut. On passe de \(P_0\) à \(P_2\) par la translation qui transforme \(A\) en \(C\) : 8 carreaux à droite, 2 vers le haut.

Question d : aire du motif et de la frise

4. On découpe d’abord \(P_0\) en trois morceaux. Il y a un rectangle de \(2 \times 1 = 2\) carreaux en bas et un rectangle de \(1 \times 2 = 2\) carreaux au-dessus à gauche. Enfin, il reste un demi-carreau en haut (triangle rectangle de côtés 1 et 1). Aire de \(P_0\) : \(2 + 2 + 0{,}5 = 4{,}5\) carreaux.
   Or une translation conserve les aires, donc \(P_1\) et \(P_2\) ont aussi une aire de \(4{,}5\) carreaux. Aire totale : \(3 \times 4{,}5 = 13{,}5\) carreaux.
   Le motif \(P_0\) a une aire de \(4{,}5\) carreaux et la frise une aire de \(13{,}5\) carreaux.

Erreur fréquente : compter le triangle du haut comme un carreau entier. Cependant, il ne couvre que la moitié d’un carreau.

Barème : a) 1 point pour les sommets bien placés, 0,5 point pour le tracé ; b) 0,5 point pour \(P_2\), 0,5 point pour \(C\) ; c) 0,5 point pour le déplacement, 0,5 point pour « transforme \(A\) en \(C\) » ; d) 0,5 point pour l’aire de \(P_0\), 0,5 point pour la conservation des aires, 0,5 point pour \(13{,}5\) carreaux.

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Après le corrigé du contrôle : construire des images par translation

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