Corrigé du sujet
Exercice 1 :
1. L’âge 12 ans se trouve dans la colonne D ; l’effectif correspondant est dans la cellule D2, qui contient 8. 8 élèves de 12 ans sont inscrits à l’escalade.
2. L’effectif total est la somme de tous les effectifs de la ligne 2 :
\[1 + 3 + 8 + 12 + 4 + 2 = 30\]
30 élèves sont inscrits à l’escalade.
3. On additionne les cellules B2 à G2. On peut saisir dans H2 la formule =SOMME(B2:G2), ou encore =B2+C2+D2+E2+F2+G2, qui donne le même résultat.
4. Les élèves de 14 ans ou plus sont ceux de 14 ans et ceux de 15 ans : \(4 + 2 = 6\) élèves. Leur proportion parmi les 30 inscrits vaut :
\[\dfrac{6}{30} = \dfrac{6 \times 1}{6 \times 5} = \dfrac{1}{5}\]
Le professeur a raison : exactement un cinquième des inscrits ont 14 ans ou plus.
5. On calcule la moyenne pondérée des âges : chaque âge est multiplié par son effectif, puis on divise par l’effectif total.
\[\,\overline{a} = \dfrac{10 \times 1 + 11 \times 3 + 12 \times 8 + 13 \times 12 + 14 \times 4 + 15 \times 2}{30} = \dfrac{10 + 33 + 96 + 156 + 56 + 30}{30} = \dfrac{381}{30} = 12{,}7\]
La moyenne d’âge de cette année est de 12,7 ans. Comme \(12{,}7 \lt 13\), la moyenne des âges n’a pas augmenté : elle a même baissé de 0,3 an par rapport à l’année dernière.
6. Augmenter une quantité de 10 %, c’est la multiplier par \(1 + \dfrac{10}{100} = 1{,}1\).
\[30 \times 1{,}1 = 33\]
On peut aussi calculer la hausse : 10 % de 30, c’est 3 élèves de plus. 33 élèves seront inscrits à l’escalade l’année prochaine.
Exercice 2 :
1. Le point E appartient au segment [BD], donc les longueurs s’additionnent :
\[\text{DB} = \text{DE} + \text{EB} = 750 + 250 = 1\,000\ \text{m}\]
Le segment [DB] mesure 1 000 m.
2. Le triangle ABD est rectangle en A (codage de la figure), son hypoténuse est [BD]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{BD}^2 = \text{AB}^2 + \text{AD}^2\]
\[1\,000^2 = 500^2 + \text{AD}^2\]
\[\text{AD}^2 = 1\,000\,000 – 250\,000 = 750\,000\]
AD est une longueur, donc un nombre positif : \(\text{AD} = \sqrt{750\,000} \approx 866{,}03\).
Arrondie au mètre, la longueur AD vaut bien environ 866 m.
3. a. Les diagonales sont perpendiculaires en E (codage), donc le triangle AEB est rectangle en E. Son hypoténuse est [AB] et, pour l’angle \(\widehat{\text{EAB}}\), le côté opposé est [EB]. Donc :
\[\sin(\widehat{\text{EAB}}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{\text{EB}}{\text{AB}} = \dfrac{250}{500} = 0{,}5\]
Le sinus de l’angle \(\widehat{\text{EAB}}\) vaut 0,5.
b. À la calculatrice, la touche \(\sin^{-1}\) (ou arcsin) appliquée à 0,5 donne 30. L’angle \(\widehat{\text{EAB}}\) mesure 30°.
4. a. D’après le codage, l’angle en A est droit, donc (AB) est perpendiculaire à (AD) ; l’angle en D est droit, donc (DC) est aussi perpendiculaire à (AD). Or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles entre elles. Les droites (AB) et (DC) sont donc parallèles.
b. On se place dans la configuration de Thalès « en papillon » : les droites (AC) et (BD) se coupent en E, les points A, E, C sont alignés, les points B, E, D aussi, et (AB) est parallèle à (DC). Le théorème de Thalès donne l’égalité des rapports :
\[\dfrac{\text{EA}}{\text{EC}} = \dfrac{\text{EB}}{\text{ED}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{DC}}\]
On utilise les deux derniers rapports, dont on connaît trois longueurs :
\[\dfrac{250}{750} = \dfrac{500}{\text{DC}} \quad \text{donc} \quad \text{DC} = \dfrac{500 \times 750}{250} = 500 \times 3 = 1\,500\]
Le segment [CD] mesure bien 1 500 m.
5. Le tour du jardin correspond au périmètre du quadrilatère ABCD :
\[\text{AB} + \text{BC} + \text{CD} + \text{DA} \approx 500 + 1\,323 + 1\,500 + 866 = 4\,189\ \text{m}\]
À 1,1 m/s, le piéton parcourt 1,1 m chaque seconde. La durée du tour s’obtient en divisant la distance par la vitesse :
\[t = \dfrac{4\,189}{1{,}1} \approx 3\,808\ \text{s}\]
Or une heure vaut \(60 \times 60 = 3\,600\) secondes, et \(3\,808 \gt 3\,600\). Autre façon de voir : en une heure, le piéton ne parcourt que \(1{,}1 \times 3\,600 = 3\,960\) m, ce qui est moins que 4 189 m.
Non, le temps mis par le piéton n’est pas inférieur à une heure : il lui faut environ 1 h 3 min 28 s.
Exercice 3 :
1. Réponse D : 9. Le carré s’applique à \(-3\) tout entier : \((-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9\), car le produit de deux nombres négatifs est positif.
2. Réponse D : \(2^3 \times 3^2 \times 5\). En divisant successivement : \(360 = 2 \times 180 = 2 \times 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 2 \times 45 = 2^3 \times 3^2 \times 5\). Les réponses A et B contiennent 9 et 8, qui ne sont pas premiers, et la réponse C vaut \(8 \times 9 \times 7 = 504\), pas 360.
3. Réponse B : 45 cm. L’aire d’un rectangle est longueur × largeur, donc la longueur vaut \(135 : 3 = 45\) cm.
4. Réponse D : \(2x + 3\). Les segments [BD] et [DE] portent le même codage, donc \(\text{DE} = \text{BD} = x\). Ainsi \(\text{BG} = \text{BD} + \text{DE} + \text{EG} = x + x + 3 = 2x + 3\).
5. Réponse C : KBOL. Pour aller de D à M, on descend de deux rangées et on se décale d’une colonne vers la gauche. En appliquant ce même déplacement : G a pour image K, F a pour image B, H a pour image O et I a pour image L. L’image de GFHI est donc le rectangle KBOL.
Exercice 4 :
1. On suit le programme avec 5 :
- on ajoute 4 : \(5 + 4 = 9\) ;
- on soustrait 2 : \(5 – 2 = 3\) ;
- on multiplie les deux résultats : \(9 \times 3 = 27\) ;
- on soustrait le carré du nombre de départ : \(27 – 5^2 = 27 – 25 = 2\).
Avec 5 au départ, on obtient bien 2.
2. a. Expression C : \((x + 4) \times (x – 2) – x^2\). Les deux branches donnent \(x + 4\) et \(x – 2\) ; leur produit demande des parenthèses, puis on retire le carré \(x^2\) (et non le double \(2x\)).
b. On développe avec la double distributivité puis on réduit :
\[(x + 4)(x – 2) – x^2 = x^2 – 2x + 4x – 8 – x^2 = 2x – 8\]
Les termes \(x^2\) et \(-x^2\) s’annulent. Le résultat du programme s’écrit bien \(2x – 8\).
3. a. La fonction \(f\) s’écrit \(f(x) = ax + b\) avec \(a = 2\) et \(b = -8\) : c’est une fonction affine. Sa représentation graphique est donc une droite.
- La représentation n° 1 est une courbe (une parabole), pas une droite : elle ne peut pas représenter \(f\).
- La représentation n° 2 est bien une droite, mais elle descend : elle correspond à un coefficient directeur négatif. Or le coefficient de \(f\) vaut 2, qui est positif, donc la droite de \(f\) doit monter. On peut aussi vérifier un point : la droite n° 2 passe par \((-4 \,;\, 0)\), alors que \(f(-4) = 2 \times (-4) – 8 = -16 \neq 0\).
b. \(f(4) = 2 \times 4 – 8 = 8 – 8 = 0\). L’image de 4 par \(f\) est 0, ce que confirme la représentation n° 3, qui coupe l’axe des abscisses au point \((4 \,;\, 0)\).
4. Le résultat du programme est \(2x – 8\) ; on cherche \(x\) tel que \(2x – 8 = 100\).
\[2x – 8 = 100\]
\[2x = 108\]
\[x = \dfrac{108}{2} = 54\]
Vérification : \(54 + 4 = 58\), \(54 – 2 = 52\), \(58 \times 52 = 3\,016\) et \(3\,016 – 54^2 = 3\,016 – 2\,916 = 100\). Il faut choisir 54 comme nombre de départ.
Exercice 5 :
Partie A
1. Le dé est équilibré : ses 12 faces ont toutes la même chance d’apparaître, on est dans une situation d’équiprobabilité avec 12 issues. Une seule face porte le nombre 4, donc une seule issue est favorable. La probabilité vaut \(\dfrac{1}{12}\).
2. Les nombres pairs de 1 à 12 sont 2, 4, 6, 8, 10 et 12 : il y en a 6. La probabilité d’obtenir un nombre pair est donc
\[\dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\]
La probabilité d’obtenir un nombre pair est \(\dfrac{1}{2}\).
3. Les multiples de 3 compris entre 1 et 12 sont 3, 6, 9 et 12 : il y en a 4. La probabilité d’obtenir un multiple de 3 vaut
\[\dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}333\]
Comme \(\dfrac{1}{3} \gt 0{,}3\) (en effet \(0{,}3 = \dfrac{3}{10} = \dfrac{9}{30}\) et \(\dfrac{1}{3} = \dfrac{10}{30}\)), Tom a raison.
Partie B
1. Chaque dé doit donner un nombre au hasard entre 1 et 12, et le résultat est la somme des deux dés. Les lignes complétées sont :
2 mettre [Dé 1] à (nombre aléatoire entre (1) et (12)) 3 mettre [Dé 2] à (nombre aléatoire entre (1) et (12)) 4 mettre [Résultat] à ((Dé 1) + (Dé 2))
À la ligne 4, on place les variables « Dé 1 » et « Dé 2 » (et non des nombres fixes) dans les deux cases de l’addition.
2. Avec 8 pour le dé n° 1 et 3 pour le dé n° 2, le bloc « Lancer » met dans la variable Résultat la valeur \(8 + 3 = 11\). Le programme principal teste ensuite la condition « Résultat \(\gt 6\) » : comme \(11 \gt 6\), la condition est vraie et c’est la branche « alors » qui s’exécute.
Le programme affichera « Gagné ! » pendant 2 secondes.
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