Voici le corrigé complet du brevet de maths 2025 en France (métropole, session de juin). L’épreuve compte cinq exercices qui balaient l’essentiel du programme de collège. Le premier porte sur les probabilités avec deux urnes : nombres pairs, nombres premiers, multiples de 6. Le deuxième, autour d’une course à pied et d’une épreuve de natation, mobilise le théorème de Pythagore, la réciproque du théorème de Thalès, la trigonométrie, la médiane d’une série et une conversion de vitesse en km/h. Le troisième est un QCM de six questions (proportionnalité, symétrie, pourcentages, aire, développement, volume d’une pyramide). Le quatrième compare deux programmes de calcul, dont un en Scratch, avec calcul littéral et équation. Le dernier compare un achat et une location de voiture grâce à un tableur et à des fonctions affines et linéaires. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page France 2025 : brevet de maths avec sujet et corrigé en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Probabilités avec deux urnes
L’urne A contient 6 boules, parmi lesquelles les boules numérotées 10, 12, 24 et 30 ; l’urne B contient 9 boules, parmi lesquelles les boules numérotées 2, 5, 6, 17 et 18. Dans chaque urne, les boules sont indiscernables au toucher : on est dans une situation d’équiprobabilité, et la probabilité d’un événement est égale au nombre de boules favorables divisé par le nombre total de boules.
1. On tire une boule dans l’urne A : quelle est la probabilité d’obtenir un nombre pair ?
Les numéros pairs de l’urne A sont 10, 12, 24 et 30 : il y a 4 boules favorables sur 6.
\[ P(\text{pair}) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]
La probabilité d’obtenir un nombre pair est \( \frac{2}{3} \).
2. On tire une boule dans l’urne B : quelle est la probabilité d’obtenir un nombre premier ?
Un nombre premier possède exactement deux diviseurs, 1 et lui-même. Dans l’urne B, les numéros premiers sont 2, 5 et 17 (6 et 18 sont divisibles par 2 et 3) : 3 boules favorables sur 9.
\[ P(\text{premier}) = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}. \]
La probabilité d’obtenir un nombre premier est \( \frac{1}{3} \).
3. Dans quelle urne y a-t-il le plus de boules dont le numéro est un multiple de 6 ?
- Urne A : \( 12 = 6 \times 2 \), \( 24 = 6 \times 4 \) et \( 30 = 6 \times 5 \), soit 3 boules.
- Urne B : \( 6 = 6 \times 1 \) et \( 18 = 6 \times 3 \), soit 2 boules.
C’est donc l’urne A qui contient le plus grand nombre de boules portant un multiple de 6.
4. Montrer que la probabilité d’obtenir un nombre supérieur ou égal à 20 est la même quelle que soit l’urne choisie.
Dans l’urne A, les numéros supérieurs ou égaux à 20 sont 24 et 30 : 2 boules sur 6, donc
\[ P_A = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}. \]
Dans l’urne B, 3 boules sur 9 portent un numéro supérieur ou égal à 20, donc
\[ P_B = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}. \]
Les deux probabilités valent \( \frac{1}{3} \) : la probabilité est bien la même dans les deux urnes.
5. On ajoute dans chaque urne une boule dont le numéro est supérieur ou égal à 20. Les probabilités restent-elles égales ?
L’urne A contient alors 7 boules, dont 3 portent un numéro supérieur ou égal à 20 ; l’urne B contient 10 boules, dont 4 conviennent.
\[ P_A = \frac{3}{7} \approx 0{,}429 \qquad \text{et} \qquad P_B = \frac{4}{10} = 0{,}4. \]
Pour comparer sans calculatrice, on met au même dénominateur : \( \frac{3}{7} = \frac{30}{70} \) et \( \frac{4}{10} = \frac{28}{70} \). Comme \( 30 \neq 28 \), les probabilités ne sont plus égales : il devient un peu plus probable d’obtenir un numéro supérieur ou égal à 20 avec l’urne A.
Exercice 2 :
Course à pied et natation : Pythagore, Thalès, trigonométrie, médiane, vitesse
Partie A : la course à pied
Le parcours s’appuie sur la figure ci-dessous : les points A, D, E sont alignés, les points A, C, B aussi, le triangle ADC est rectangle en A, avec \( AE = 250 \) m, \( DE = 50 \) m, \( AC = 480 \) m et \( CB = 120 \) m.
1. Calculer la longueur AD.
Les points A, D et E sont alignés dans cet ordre, donc \( AE = AD + DE \), d’où
\[ AD = AE – DE = 250 – 50 = 200. \]
\( AD = 200 \) m.
2. Calculer la longueur CD.
Le triangle ADC est rectangle en A, d’hypoténuse [CD]. D’après le théorème de Pythagore :
\[ CD^2 = AD^2 + AC^2 = 200^2 + 480^2 = 40\,000 + 230\,400 = 270\,400. \]
\[ CD = \sqrt{270\,400} = 520. \]
\( CD = 520 \) m.
3. Le parcours est validé si les droites (CD) et (BE) sont parallèles et si l’angle \( \widehat{ACD} \) mesure plus de 20°.
a. Démontrer que les droites (CD) et (BE) sont parallèles.
On a \( AB = AC + CB = 480 + 120 = 600 \) m. Les points A, D, E d’une part et A, C, B d’autre part sont alignés dans le même ordre. On compare les rapports :
\[ \frac{AD}{AE} = \frac{200}{250} = \frac{4}{5} = 0{,}8 \qquad \text{et} \qquad \frac{AC}{AB} = \frac{480}{600} = \frac{4}{5} = 0{,}8. \]
Les rapports sont égaux : \( \frac{AD}{AE} = \frac{AC}{AB} \). D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (CD) et (BE) sont parallèles.
b. Vérifier que l’angle \( \widehat{ACD} \) mesure plus de 20°.
Dans le triangle ADC rectangle en A, pour l’angle \( \widehat{ACD} \), le côté opposé est [AD] et le côté adjacent est [AC] :
\[ \tan(\widehat{ACD}) = \frac{AD}{AC} = \frac{200}{480} = \frac{5}{12}. \]
\[ \widehat{ACD} = \arctan(\frac{5}{12}) \approx 22{,}6^\circ. \]
L’angle \( \widehat{ACD} \) mesure environ 22,6°, ce qui est bien supérieur à 20°.
c. Le parcours est-il validé ?
Les deux conditions sont remplies : (CD) et (BE) sont parallèles (question 3.a) et \( \widehat{ACD} \gt 20^\circ \) (question 3.b). Le parcours est donc validé.
Partie B : la natation
4. Déterminer le temps médian de la série des 9 temps relevés.
La série compte 9 valeurs, rangées dans l’ordre croissant. Comme 9 est impair, la médiane est la valeur centrale, c’est-à-dire la \( 5^{\text{e}} \) : il y a 4 temps avant elle et 4 temps après. Cette cinquième valeur est 6 min, donc le temps médian est 6 min.
5. L’élève le plus rapide nage-t-il plus vite que le poisson rouge ?
L’élève le plus rapide a parcouru 200 m en 5 min 30 s. On convertit la durée en secondes :
\[ 5 \text{ min } 30 \text{ s} = 5 \times 60 + 30 = 330 \text{ s}. \]
Sa vitesse moyenne est
\[ v = \frac{d}{t} = \frac{200}{330} = \frac{20}{33} \text{ m/s}. \]
En une heure, soit 3 600 s, il parcourrait
\[ \frac{20}{33} \times 3\,600 = \frac{24\,000}{11} \approx 2\,182 \text{ m}, \]
c’est-à-dire environ 2,182 km. Sa vitesse est donc d’environ 2,18 km/h. Cette vitesse est inférieure à celle du poisson rouge donnée dans l’énoncé : le poisson rouge nage plus vite que l’élève le plus rapide.
Exercice 3 :
QCM de six questions
Question 1 : réponse C. Il s’agit d’une situation de proportionnalité : si 3 articles coûtent 8,40 €, le prix d’un article est \( 8{,}40 : 3 = 2{,}80 \) €, donc 5 articles coûtent
\[ \frac{8{,}40 \times 5}{3} = 14 \text{ €}. \]
Question 2 : réponse D. L’axe de symétrie de la figure proposée est oblique : ce n’est ni un axe horizontal ni un axe vertical.
Question 3 : réponse A. Augmenter 350 de 20 % revient à lui ajouter 20 % de sa valeur :
\[ 350 + 350 \times \frac{20}{100} = 350 + 70 = 420. \]
On peut aussi multiplier directement par le coefficient \( 1{,}2 \) : \( 350 \times 1{,}2 = 420 \).
Question 4 : réponse B. L’aire d’un triangle vaut base fois hauteur divisé par 2. Avec une base de 6 et une hauteur de 4,5 :
\[ \mathcal{A} = \frac{6 \times 4{,}5}{2} = \frac{27}{2} = 13{,}5. \]
Question 5 : réponse A. On développe avec la double distributivité :
\[ (2x + 3)(x – 4) = 2x \times x + 2x \times (-4) + 3 \times x + 3 \times (-4) \]
\[ (2x + 3)(x – 4) = 2x^2 – 8x + 3x – 12 = 2x^2 – 5x – 12. \]
Question 6 : réponse B. Le volume d’une pyramide est \( V = \frac{1}{3} \times \mathcal{A}_{\text{base}} \times h \). La base est un rectangle de 7 cm sur 4 cm, d’aire \( 7 \times 4 = 28 \) cm², et la hauteur mesure 12 cm :
\[ V = \frac{1}{3} \times 28 \times 12 = 28 \times 4 = 112 \text{ cm}^3. \]
Exercice 4 :
Programmes de calcul, calcul littéral et Scratch
Partie A : le programme de Zoé
Le programme de Zoé : choisir un nombre, lui soustraire 4, multiplier le résultat par 2, puis ajouter 8.
1. Vérifier qu’en choisissant 10, on obtient 20.
\[ 10 – 4 = 6 \;;\quad 6 \times 2 = 12 \;;\quad 12 + 8 = 20. \]
En choisissant 10, on obtient bien 20.
2. Quel résultat obtient-on en choisissant \( -7 \) ?
\[ -7 – 4 = -11 \;;\quad -11 \times 2 = -22 \;;\quad -22 + 8 = -14. \]
En choisissant \( -7 \), on obtient \( -14 \).
3. Zoé affirme que le résultat est toujours le double du nombre de départ. A-t-elle raison ?
On note \( x \) le nombre de départ et on applique les étapes :
\[ x – 4 \quad\longrightarrow\quad (x – 4) \times 2 = 2x – 8 \quad\longrightarrow\quad 2x – 8 + 8 = 2x. \]
Le résultat est \( 2x \) quel que soit \( x \) : Zoé a raison, on obtient toujours le double du nombre choisi (ce que confirment les questions 1 et 2 : \( 20 = 2 \times 10 \) et \( -14 = 2 \times (-7) \)).
Partie B : le programme de Fred
Le programme de Fred, écrit en Scratch : multiplier le nombre choisi par 4, ajouter 10, puis multiplier par 5.
4. Exprimer le résultat en fonction du nombre de départ \( x \).
\[ x \times 4 = 4x \quad\longrightarrow\quad 4x + 10 \quad\longrightarrow\quad (4x + 10) \times 5 = 20x + 50. \]
Le programme de Fred donne \( 20x + 50 \).
5. Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 75 ?
On résout l’équation \( 20x + 50 = 75 \) :
\[ 20x = 75 – 50 = 25 \qquad\text{donc}\qquad x = \frac{25}{20} = \frac{5}{4} = 1{,}25. \]
Vérification : \( 20 \times 1{,}25 + 50 = 25 + 50 = 75 \). Il faut choisir 1,25.
6. Quelle instruction ajouter à la fin du programme de Fred pour que le résultat affiché soit toujours 20 fois le nombre de départ ?
Le résultat vaut \( 20x + 50 \) : il suffit de lui retirer 50 pour obtenir \( 20x \). On ajoute donc à la fin du script le bloc :
mettre [résultat] à ((résultat) - (50))
Après cette instruction, la variable résultat contient \( 20x + 50 – 50 = 20x \).
Exercice 5 :
Achat ou location d’une voiture : tableur et fonctions
Deux options sont proposées à un client. Option Achat : 22 400 € à l’achat, puis 75 € d’entretien par mois. Option Location : 425 € par mois, entretien compris.
Partie A
1. Montrer qu’avec l’option Achat, la dépense à la fin de la première année est de 23 300 €.
Une année compte 12 mois :
\[ 22\,400 + 12 \times 75 = 22\,400 + 900 = 23\,300. \]
Avec l’option Achat, la dépense au bout d’un an est bien de 23 300 €.
2. Quelle économie réalise le client qui choisit la location pour une durée de 36 mois ?
- Option Achat : \( 22\,400 + 36 \times 75 = 22\,400 + 2\,700 = 25\,100 \) €.
- Option Location : \( 425 \times 36 = 15\,300 \) €.
\[ 25\,100 – 15\,300 = 9\,800. \]
Sur 36 mois, la location fait économiser 9 800 €.
3. Quelle formule saisir dans la cellule B3 du tableur pour calculer le coût de la location ?
La cellule B1 contient le nombre de mois ; le coût de la location est 425 fois ce nombre. On saisit :
=425*B1
Partie B
On note \( x \) le nombre de mois, \( f(x) \) le coût de l’option Achat et \( g(x) = 425x \) le coût de l’option Location.
4. Exprimer \( f(x) \) en fonction de \( x \).
Au prix d’achat fixe s’ajoutent 75 € par mois :
\[ f(x) = 22\,400 + 75x. \]
\( f \) est une fonction affine, tandis que \( g \) est une fonction linéaire (sa représentation passe par l’origine).
5. À partir de combien de mois l’option Achat devient-elle plus avantageuse ?
On cherche quand les deux options coûtent la même somme :
\[ 22\,400 + 75x = 425x \iff 22\,400 = 350x \iff x = \frac{22\,400}{350} = 64. \]
Pour 64 mois, les deux options coûtent \( 425 \times 64 = 27\,200 \) €. Avant 64 mois, la droite de la location est sous celle de l’achat (la location est moins chère) ; après 64 mois, c’est l’inverse, car la location augmente de 425 € par mois contre 75 € seulement pour l’achat. L’option Achat devient plus avantageuse au-delà de 64 mois (les deux coûts sont égaux à 64 mois, l’achat est strictement moins cher dès le 65e mois).
