Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Question 1. La fonction \(f(x) = -2x + 3\) est affine : sa représentation est une droite qui coupe l’axe des ordonnées au point de coordonnées \((0\ ;\ 3)\) et dont le coefficient directeur \(-2\) est négatif, donc la droite descend. La droite C coupe l’axe des ordonnées en \(-2\) et la droite A monte : seule la droite B convient (on vérifie qu’elle passe par \((2\ ;\ -1)\), et \(f(2) = -4 + 3 = -1\)). Réponse B.
Question 2. On repère le point de la courbe d’abscisse 1 : c’est le point C, dont l’ordonnée est 2. L’image de 1 est 2. Réponse A.
Question 3. Pour que la formule puisse être étirée vers la droite, elle doit faire référence à la cellule qui contient \(x\), ici B1 (qui deviendra C1, D1… en étirant). La réponse A utilise la valeur \(-3\) en dur et donnerait 4 partout ; la réponse B n’est pas comprise par le tableur, qui ne connaît pas \(x\). Réponse C : = − B1 + 1.
Question 4. On applique l’identité remarquable \((a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2\) avec \(a = 3x\) et \(b = 7\) : \((3x – 7)^2 = 9x^2 – 2 \times 3x \times 7 + 49 = 9x^2 – 42x + 49\). Réponse B.
Exercice 2 :
1. a. Le triangle HPS est rectangle en P, d’hypoténuse [HS]. D’après le théorème de Pythagore :
\[\text{HS}^2 = \text{HP}^2 + \text{PS}^2 = 90^2 + 140^2 = 8\,100 + 19\,600 = 27\,700\]
Donc \(\text{HS} = \sqrt{27\,700} \approx 166{,}43\) cm, soit HS ≈ 166,4 cm au millimètre près.
b. La longueur du panneau est 1700 mm = 170 cm. 95 % de cette longueur représentent \(0{,}95 \times 170 = 161{,}5\) cm. Comme \(166{,}4 \gt 161{,}5\), la distance HS dépasse le minimum conseillé : le support est conforme aux conseils du fabricant.
2. Dans le triangle HPS rectangle en P, pour l’angle \(\widehat{\text{HSP}}\), [HP] est le côté opposé et [PS] le côté adjacent. On utilise la tangente :
\[\tan \widehat{\text{HSP}} = \dfrac{\text{HP}}{\text{PS}} = \dfrac{90}{140} = \dfrac{9}{14}\]
À la calculatrice, \(\widehat{\text{HSP}} = \arctan(\dfrac{9}{14}) \approx 32{,}7^\circ\). Cette mesure est comprise entre 30° et 35° : l’inclinaison permet un fonctionnement optimal.
3. Les droites (UT) et (HP) sont toutes deux perpendiculaires à (PS), donc elles sont parallèles. De plus, S, U, H sont alignés et S, T, P sont alignés. D’après le théorème de Thalès dans les triangles STU et SPH :
\[\dfrac{\text{ST}}{\text{SP}} = \dfrac{\text{SU}}{\text{SH}} = \dfrac{\text{TU}}{\text{PH}}\]
Avec \(\dfrac{\text{ST}}{140} = \dfrac{50}{90}\), on obtient \(\text{ST} = \dfrac{140 \times 50}{90} = \dfrac{700}{9} \approx 77{,}78\). Donc ST ≈ 77,8 cm au millimètre près.
4. Une équerre (avec sa barre de renfort) est formée des morceaux HP, PS, HS et UT, soit une longueur de tube de \(90 + 140 + 166{,}43 + 50 \approx 446{,}4\) cm, c’est-à-dire environ 4,46 m. Cette longueur est inférieure à 4,5 m : chaque équerre peut être découpée dans un seul tube, mais un tube ne suffit pas pour deux équerres. Il faut donc 3 tubes pour les 3 équerres. Chaque barre latérale mesure 4 m : un tube de 4,5 m par barre, et les 0,5 m restants ne peuvent servir à rien d’autre, donc 3 tubes de plus. Au total, il faut \(3 + 3 = 6\) tubes. On peut le confirmer par la longueur totale : \(3 \times 4{,}464 + 3 \times 4 \approx 25{,}39\) m, et \(25{,}39 : 4{,}5 \approx 5{,}64\), donc 5 tubes ne suffisent pas. Le coût est \(6 \times 37 = 222\) € : Olivia doit bien prévoir un budget minimum de 222 €.
Exercice 3 :
Partie A
1. Les 5 boules ont la même chance d’être tirées (situation d’équiprobabilité), et 2 d’entre elles portent la lettre G. La probabilité de gagner est donc \(\dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \dfrac{2}{5}\). On retrouve bien \(\dfrac{2}{5} = 0{,}4\).
2. Parmi les nombres de 1 à 6, les nombres premiers (qui ont exactement deux diviseurs, 1 et eux-mêmes) sont 2, 3 et 5. Attention : 1 n’est pas premier. Les six secteurs étant identiques, la probabilité de gagner est \(\dfrac{3}{6}\), soit \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\).
3. a. On compare \(\dfrac{2}{5} = 0{,}4\) et \(\dfrac{1}{2} = 0{,}5\) : comme \(0{,}4 \lt 0{,}5\), c’est le jeu 1 qui présente la plus faible probabilité de gagner.
b. Si on ne rajoute aucune boule G, le sac contient toujours 2 boules gagnantes. Pour que la probabilité soit \(\dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{8}\), il faut 8 boules en tout, donc ajouter 3 boules. Par exemple, on peut ajouter 3 boules portant la lettre P (ou 2 boules P et 1 boule N, ou 3 boules N : l’essentiel est qu’aucune ne porte la lettre G).
Partie B
On peut dresser un tableau des issues : 5 boules possibles et 6 secteurs possibles donnent \(5 \times 6 = 30\) couples (boule ; secteur) équiprobables. Les couples gagnants associent l’une des 2 boules G à l’un des 3 nombres premiers 2, 3 ou 5 : il y en a \(2 \times 3 = 6\). La probabilité de gagner est donc \(\dfrac{6}{30} = \dfrac{1}{5}\).
On retrouve ce résultat en multipliant les probabilités des deux expériences, qui sont indépendantes : \(\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{5}\). La probabilité de gagner à la combinaison des deux jeux est \(\dfrac{1}{5} = 0{,}2\).
Exercice 4 :
1. a. Avec 4 : le carré vaut \(4^2 = 16\) ; multiplié par 2 : 32 ; on ajoute 4 : 36 ; on soustrait 66 : \(36 – 66 = -30\). On obtient bien \(-30\).
b. Avec \(-3\) : le carré vaut \((-3)^2 = 9\) ; multiplié par 2 : 18 ; on ajoute \(-3\) : 15 ; on soustrait 66 : \(15 – 66 = -51\). Le résultat est \(-51\).
2. a. La première instruction doit calculer le carré du nombre choisi, c’est-à-dire « nombre choisi * nombre choisi » : en A, on met la variable Nombre choisi. La deuxième instruction multiplie le résultat par 2 : en B, on met 2.
b. Le script teste successivement les nombres de départ 0 ; 0,5 ; 1 ; … ; 9,5 (20 valeurs, en ajoutant 0,5 à chaque tour). Pour chacun, il applique le programme de calcul et ne fait parler le lutin que si le résultat vaut 0. La réponse 5,5 signifie donc que 5,5 est un nombre de départ pour lequel le programme donne 0 ; c’est le seul parmi les 20 valeurs testées.
3. a. En partant de \(x\), on obtient successivement \(x^2\), puis \(2x^2\), puis \(2x^2 + x\), puis \(2x^2 + x – 66\). L’expression obtenue est \(2x^2 + x – 66\).
b. On veut \((2x – 11)(x + 6) = 0\). Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul :
soit \(2x – 11 = 0\), c’est-à-dire \(2x = 11\), donc \(x = \dfrac{11}{2} = 5{,}5\) ;
soit \(x + 6 = 0\), c’est-à-dire \(x = -6\).
Le programme donne 0 pour \(x = 5{,}5\) et \(x = -6\). On retrouve la valeur affichée par le lutin ; le script de Lucie ne pouvait pas trouver \(-6\), car il ne teste que des nombres positifs.
Exercice 5 :
1. On lit les codages de la figure. Les segments marqués d’une croix ont tous la même longueur que [AL], soit 60 m : c’est le cas de [KJ], de [GF] et des rayons des deux demi-cercles (chaque moitié de [CD] et de [IJ]). Le segment [IH] porte le même carré noir que [ED], donc mesure 90 m. Les quarts de cercle ont pour rayon 30 m (même codage que le 30 m indiqué près de H).
Parties droites : \(\text{CB} + \text{AL} + \text{KJ} + \text{IH} + \text{GF} + \text{ED} = 120 + 60 + 60 + 90 + 60 + 90 = 480\) m.
Deux demi-cercles de rayon 60 m forment un cercle complet de rayon 60 m, de périmètre \(2 \times \pi \times 60 = 120\pi\) m.
Quatre quarts de cercle de rayon 30 m forment un cercle complet de rayon 30 m, de périmètre \(2 \times \pi \times 30 = 60\pi\) m.
\[L = 480 + 120\pi + 60\pi = 480 + 180\pi \approx 1\,045{,}49\ \text{m}\]
La piste mesure bien 1 045 m arrondie à l’unité.
2. Le professionnel parcourt 1 045 m en 60 s. Sa vitesse moyenne est \(v = \dfrac{1\,045}{60} \approx 17{,}416\), soit environ 17,42 m/s.
3. L’amateur parcourt 1 045 m en 72 s, soit \(\dfrac{1\,045}{72}\) m/s. En une heure (3 600 s), il parcourrait \(\dfrac{1\,045}{72} \times 3\,600 = 1\,045 \times 50 = 52\,250\) m, c’est-à-dire 52,25 km. Sa vitesse moyenne est donc de 52,25 km/h (52,27 km/h avec la longueur non arrondie), inférieure à 60 km/h : l’amateur respecte les règles de sécurité.
4. a. \(60 = 4 \times 15 = 2^2 \times 3 \times 5\) et \(72 = 8 \times 9 = 2^3 \times 3^2\). Donc \(60 = 2^2 \times 3 \times 5\) et \(72 = 2^3 \times 3^2\).
b. Le professionnel repasse sur la ligne de départ toutes les 60 s, c’est-à-dire aux multiples de 60 ; l’amateur aux multiples de 72. Ils s’y retrouvent ensemble pour la première fois au plus petit multiple commun non nul de 60 et 72. Il doit contenir chaque facteur premier avec son plus grand exposant : \(2^3 \times 3^2 \times 5 = 8 \times 9 \times 5 = 360\). Ils se retrouvent ensemble sur la ligne de départ au bout de 360 s, soit 6 minutes.
c. En 360 s, le professionnel a effectué \(360 : 60 = 6\) tours et l’amateur \(360 : 72 = 5\) tours : 6 tours pour le professionnel et 5 tours pour l’amateur.
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