Corrigé du brevet de maths 2016 à Pondichéry

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Pondichéry 2016 : brevet de maths à imprimer en PDF. : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Vitesse moyenne sur l’autoroute, 3 points

Mélanie entre sur l’autoroute à la sortie n° 11 à 16 h 33 et doit être au rendez-vous à 17 h. Il lui faut 3 minutes pour aller de la sortie n° 3 au lieu de rendez-vous. On cherche la vitesse moyenne à tenir sur l’autoroute, en km/h.

Distance parcourue sur l’autoroute. D’après l’affichage du GPS, entre la sortie n° 11 et la sortie n° 3, on lit successivement 16 km, 16 km, 6 km et 13 km :

\[ 16 + 16 + 6 + 13 = 51 \text{ km}. \]

Temps disponible. De 16 h 33 à 17 h, il reste 27 minutes. On retire les 3 minutes nécessaires entre la sortie n° 3 et le rendez-vous : il reste \( 27 – 3 = 24 \) minutes pour parcourir les 51 km d’autoroute.

Vitesse moyenne. 24 minutes correspondent à \( \dfrac{24}{60} = 0{,}4 \) heure, donc :

\[ v = \frac{d}{t} = \frac{51}{0{,}4} = 127{,}5 \text{ km/h}. \]

Mélanie doit rouler à une vitesse moyenne de 127,5 km/h sur l’autoroute (ce qui reste sous la limite de 130 km/h).

Exercice 2 :

Tableur et pourcentage d’évolution, 4 points

Rappel des données (nombre d’exploitations agricoles, en milliers) :

Surface de l’exploitation	2000	2010
Inférieure à 20 ha	359	235
Comprise entre 20 et 50 ha	138	88
Comprise entre 50 et 100 ha	122	98
Comprise entre 100 et 200 ha	64	73
Supérieure à 200 ha	15	21
Total (ligne 8)	698	515

1. Quelles catégories ont vu leur nombre augmenter ?

On compare les colonnes B et C : \( 64 \lt 73 \) et \( 15 \lt 21 \), alors que les trois autres catégories diminuent. Ce sont donc les exploitations comprises entre 100 et 200 ha et celles de plus de 200 ha, c’est-à-dire toutes les exploitations de plus de 100 ha.

2. Formule à saisir en B8 pour le total de l’année 2000.

On peut saisir =SOMME(B3:B7) ou, de façon équivalente, =B3+B4+B5+B6+B7. Le résultat affiché est \( 359 + 138 + 122 + 64 + 15 = 698 \) (milliers d’exploitations).

3. Résultat affiché en C8 si l’on étire la formule.

En étirant vers la droite, la formule devient =SOMME(C3:C7), soit

\[ 235 + 88 + 98 + 73 + 21 = 515. \]

La cellule C8 affiche 515 (soit 515 000 exploitations en 2010).

4. Le nombre d’exploitations de plus de 200 ha a-t-il augmenté de 40 % ?

Il passe de 15 à 21 milliers, soit une hausse de 6 milliers. Le taux d’évolution est

\[ \frac{21 – 15}{15} = \frac{6}{15} = 0{,}4 = \frac{40}{100}. \]

On peut aussi vérifier que \( 15 \times 1{,}4 = 21 \). Oui, ce nombre a bien augmenté de 40 %.

Exercice 3 :

Probabilités et PGCD, 6 points

1. Combien de bonbons de chaque sorte pour remplir 50 boîtes de 10 bonbons au chocolat et 8 au caramel ?

\[ 50 \times 10 = 500 \qquad \text{et} \qquad 50 \times 8 = 400. \]

Il faut fabriquer 500 bonbons au chocolat et 400 bonbons au caramel.

2. Probabilité que Jules tire un bonbon au chocolat dans une boîte.

Une boîte contient \( 10 + 8 = 18 \) bonbons, et chacun a la même chance d’être pris (tirage au hasard) : on est dans une situation d’équiprobabilité. Il y a 10 issues favorables, donc

\[ p = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \approx 0{,}56. \]

La probabilité cherchée est \( \dfrac{5}{9} \).

3. Jim a déjà mangé un bonbon d’une boîte ; en prenant un deuxième au hasard, est-il plus probable qu’il soit au chocolat ou au caramel ?

On ne sait pas quel bonbon Jim a mangé en premier ; on envisage les deux cas. Il reste 17 bonbons dans la boîte.

• Si le premier était au chocolat, il reste 9 bonbons au chocolat et 8 au caramel : \( P(\text{chocolat}) = \dfrac{9}{17} \) et \( P(\text{caramel}) = \dfrac{8}{17} \).
• Si le premier était au caramel, il reste 10 bonbons au chocolat et 7 au caramel : \( P(\text{chocolat}) = \dfrac{10}{17} \) et \( P(\text{caramel}) = \dfrac{7}{17} \).

Dans les deux cas, il reste plus de bonbons au chocolat qu’au caramel : il est plus probable que Jim prenne un bonbon au chocolat.

4. a) Avec 473 bonbons au chocolat et 387 au caramel, peut-on encore faire des boîtes de 10 chocolats et 8 caramels en utilisant tous les bonbons ?

Il faudrait que 473 soit un multiple de 10 et 387 un multiple de 8, avec le même nombre de boîtes. Or

\[ 473 = 47 \times 10 + 3 \qquad \text{et} \qquad 387 = 48 \times 8 + 3. \]

473 n’est pas divisible par 10 (il ne se termine pas par 0) et 387 n’est pas divisible par 8 (c’est un nombre impair). On pourrait remplir au plus 47 boîtes complètes, et il resterait des bonbons. Non, il ne peut pas utiliser tous les bonbons avec cette composition.

b) Nombre maximal de boîtes identiques utilisant tous les bonbons, et composition de chaque boîte.

Le nombre de boîtes doit diviser à la fois 473 et 387 ; pour en avoir le plus possible, on cherche le PGCD de 473 et 387 par l’algorithme d’Euclide :

\[ 473 = 387 \times 1 + 86 \]
\[ 387 = 86 \times 4 + 43 \]
\[ 86 = 43 \times 2 + 0 \]

Le dernier reste non nul est 43, donc \( \text{PGCD}(473\,;387) = 43 \). Puis

\[ 473 = 43 \times 11 \qquad \text{et} \qquad 387 = 43 \times 9. \]

Le confiseur peut faire 43 boîtes, contenant chacune 11 bonbons au chocolat et 9 bonbons au caramel (20 bonbons par boîte).

Exercice 4 :

Pythagore et Thalès : le plan de vol de l’hélicoptère, 6 points

Données : AF = 12,5 km, AC = 7,5 km, CF = 10 km, AB = 6 km, DG = 7 km, EF = 750 m = 0,75 km ; (DE) est parallèle à (CF) ; ABCH et ABGF sont des rectangles. Le parcours est A → B → C → D → E → F.

1. Vérifier que le parcours mesure 21 km.

La longueur du parcours est \( AB + BC + CD + DE + EF \). On connaît déjà AB = 6 km et EF = 0,75 km ; il reste à calculer BC, CD et DE.

Calcul de BC. ABCH est un rectangle, donc le triangle ABC est rectangle en B. D’après le théorème de Pythagore :

\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \quad \text{donc} \quad 7{,}5^2 = 6^2 + BC^2, \]
\[ BC^2 = 56{,}25 – 36 = 20{,}25 \quad \text{et} \quad BC = \sqrt{20{,}25} = 4{,}5 \text{ km}. \]

Calcul de CG et CD. ABGF est un rectangle, donc BG = AF = 12,5 km et GF = AB = 6 km. Les points B, C, D, G sont alignés, donc

\[ CG = BG – BC = 12{,}5 – 4{,}5 = 8 \text{ km} \qquad \text{et} \qquad CD = CG – DG = 8 – 7 = 1 \text{ km}. \]

Calcul de DE. Dans le triangle GCF, le point D est sur [GC], le point E est sur [GF], et les droites (DE) et (CF) sont parallèles. D’après le théorème de Thalès :

\[ \frac{GD}{GC} = \frac{GE}{GF} = \frac{DE}{CF} \quad \text{soit} \quad \frac{7}{8} = \frac{GE}{6} = \frac{DE}{10}. \]

On en déduit

\[ DE = \frac{7 \times 10}{8} = 8{,}75 \text{ km}. \]

Contrôle : \( GE = \dfrac{7 \times 6}{8} = 5{,}25 \) km, donc \( EF = 6 – 5{,}25 = 0{,}75 \) km, ce qui est bien la donnée de l’énoncé.

Longueur totale.

\[ AB + BC + CD + DE + EF = 6 + 4{,}5 + 1 + 8{,}75 + 0{,}75 = 21 \text{ km}. \]

Le parcours mesure bien 21 km.

2. Le pilote doit-il faire confiance à l’inspecteur G., qui affirme que 20 L de carburant suffiront largement ?

L’hélicoptère consomme 1,1 L par kilomètre sur ce type de trajet, donc pour 21 km :

\[ 1{,}1 \times 21 = 23{,}1 \text{ L}. \]

Comme \( 23{,}1 \gt 20 \), 20 L ne suffisent pas pour faire tout le trajet : le pilote ne doit pas faire confiance à l’inspecteur G. et doit faire le plein.

Exercice 5 :

Fonction du second degré : le saut en moto-cross, 5 points

La hauteur (en m) de Gaëtan en fonction de la durée \( t \) (en s) du saut est \( h(t) = (-5t – 1{,}35)(t – 3{,}7) \). Il faut dire si chaque affirmation est vraie ou fausse, en justifiant.

1. « En développant et réduisant, on obtient \( h(t) = -5t^2 – 19{,}85t – 4{,}995 \). »

On développe :

\[ h(t) = -5t \times t + (-5t) \times (-3{,}7) – 1{,}35 \times t – 1{,}35 \times (-3{,}7) \]
\[ h(t) = -5t^2 + 18{,}5t – 1{,}35t + 4{,}995 = -5t^2 + 17{,}15t + 4{,}995. \]

L’affirmation 1 est fausse : la forme correcte est \( h(t) = -5t^2 + 17{,}15t + 4{,}995 \).

2. « Lorsqu’il quitte la rampe, Gaëtan est à 3,8 m de hauteur. »

Il quitte la rampe à l’instant \( t = 0 \) :

\[ h(0) = (-1{,}35) \times (-3{,}7) = 4{,}995 \text{ m}. \]

Il est à environ 5 m de hauteur, ce que confirme la courbe qui part du point d’ordonnée 5. L’affirmation 2 est fausse.

3. « Le saut de Gaëtan dure moins de 4 secondes. »

Le saut se termine quand la hauteur redevient nulle. \( h(t) = 0 \) est une équation produit : \( -5t – 1{,}35 = 0 \) ou \( t – 3{,}7 = 0 \), soit \( t = -0{,}27 \) (impossible, une durée est positive) ou \( t = 3{,}7 \). Graphiquement, la courbe coupe l’axe des abscisses un peu avant 3,75. Le saut dure 3,7 s, et \( 3{,}7 \lt 4 \) : l’affirmation 3 est vraie.

4. « Le nombre 3,5 est un antécédent de 3,77 par la fonction \( h \). »

\[ h(3{,}5) = (-5 \times 3{,}5 – 1{,}35)(3{,}5 – 3{,}7) = (-18{,}85) \times (-0{,}2) = 3{,}77. \]

Comme \( h(3{,}5) = 3{,}77 \), 3,5 est bien un antécédent de 3,77 : l’affirmation 4 est vraie.

5. « Gaëtan a atteint la hauteur maximale avant 1,5 seconde. »

Sur le graphique, le sommet de la courbe se situe entre 1,5 et 2 secondes (vers 1,7 s), et la courbe monte encore entre 1,5 et 1,7. On peut le confirmer par le calcul : \( h(1{,}5) = (-8{,}85) \times (-2{,}2) = 19{,}47 \) m, alors que \( h(1{,}7) = (-9{,}85) \times (-2) = 19{,}7 \) m est plus grand. La hauteur maximale est donc atteinte après 1,5 s : l’affirmation 5 est fausse.

Exercice 6 :

Pourcentages de remise pendant les soldes, 4 points

Les trois étiquettes indiquent : (1) valeur 120 €, prix soldé 105 € ; (2) robe à 45 euros, remise de 30 % ; (3) article à 25 €, remise de 12,5 €.

1. Quel est le plus fort pourcentage de remise ?

• Étiquette 1 : la remise est de \( 120 – 105 = 15 \) € sur 120 €, soit \( \dfrac{15}{120} = 0{,}125 = 12{,}5\,\% \).
• Étiquette 2 : la remise est de 30 %.
• Étiquette 3 : la remise est de 12,5 € sur 25 €, soit \( \dfrac{12{,}5}{25} = 0{,}5 = 50\,\% \) (12,5 est la moitié de 25).

Le plus fort pourcentage de remise est celui de l’étiquette 3, avec 50 %.

2. La plus forte remise en euros est-elle aussi la plus forte en pourcentage ?

Calculons les remises en euros. Étiquette 1 : 15 €. Étiquette 2 : \( 45 \times \dfrac{30}{100} = 13{,}5 \) €. Étiquette 3 : 12,5 €. La plus forte remise en euros est donc celle de l’étiquette 1 (15 €), qui correspond pourtant au plus faible pourcentage (12,5 %). La réponse est non : une remise en euros dépend aussi du prix de départ.

Remarque : si l’on considère que 45 € est déjà le prix soldé de la robe, son prix initial est \( 45 : 0{,}7 \approx 64{,}29 \) € et la remise vaut environ 19,29 € ; la plus forte remise en euros serait alors celle de l’étiquette 2 (30 %), qui n’est toujours pas la plus forte en pourcentage. La conclusion reste la même : non.

Exercice 7 :

QCM de calcul littéral, 3 points

1. \( (2x – 3)^2 = \ldots \) Réponses proposées : A. \( 4x^2 + 12x – 9 \) ; B. \( 4x^2 – 12x + 9 \) ; C. \( 4x^2 – 9 \).

Avec l’identité remarquable \( (a – b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 \) :

\[ (2x – 3)^2 = (2x)^2 – 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 – 12x + 9. \]

Réponse B.

2. L’équation \( (x + 1)(2x – 5) = 0 \) a pour solutions : A. 1 et 2,5 ; B. \( -1 \) et \( -2{,}5 \) ; C. \( -1 \) et 2,5.

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins des facteurs est nul : \( x + 1 = 0 \), soit \( x = -1 \) ; ou \( 2x – 5 = 0 \), soit \( x = \dfrac{5}{2} = 2{,}5 \). Réponse C.

3. Si \( a \gt 0 \), alors \( \sqrt{a} + \sqrt{a} = \ldots \) Réponses proposées : A. \( a \) ; B. \( 2\sqrt{a} \) ; C. \( \sqrt{2a} \).

On additionne deux fois le même nombre \( \sqrt{a} \) : \( \sqrt{a} + \sqrt{a} = 2\sqrt{a} \). (Attention, \( \sqrt{2a} \) est différent : par exemple pour \( a = 1 \), \( 2\sqrt{1} = 2 \) alors que \( \sqrt{2} \approx 1{,}41 \).) Réponse B.

Exercice 8 :

Volume de prismes et dosage du béton, 5 points

L’escalier est formé de deux prismes droits superposés, de hauteur 0,20 m chacun, dont les bases sont des triangles rectangles : côtés de l’angle droit 3,40 m et 3,20 m pour la grande marche, 1,36 m et 1,28 m pour la petite. On rappelle que le volume d’un prisme est égal à l’aire de la base multipliée par la hauteur, et que 1 L = 1 dm³.

1. Démontrer que le volume de l’escalier est égal à 1,26208 m³.

Grande marche. L’aire de la base (triangle rectangle) est

\[ \mathcal{A}_1 = \frac{3{,}40 \times 3{,}20}{2} = 5{,}44 \text{ m}^2, \qquad V_1 = 5{,}44 \times 0{,}20 = 1{,}088 \text{ m}^3. \]

Petite marche.

\[ \mathcal{A}_2 = \frac{1{,}36 \times 1{,}28}{2} = 0{,}8704 \text{ m}^2, \qquad V_2 = 0{,}8704 \times 0{,}20 = 0{,}17408 \text{ m}^3. \]

Volume total.

\[ V = V_1 + V_2 = 1{,}088 + 0{,}17408 = 1{,}26208 \text{ m}^3. \]

Le volume de l’escalier est bien de 1,26208 m³.

2. Nombre de sacs de ciment de 35 kg nécessaires (ouvrage en béton courant).

Comme 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 L, le volume de béton nécessaire est \( 1{,}26208 \times 1\,000 = 1\,262{,}08 \) L. D’après l’étiquette, un sac de 35 kg donne 100 L de béton courant :

\[ 1\,262{,}08 : 100 = 12{,}6208. \]

12 sacs ne suffisent pas (1 200 L seulement) ; il faut donc acheter 13 sacs de ciment.

3. Quantité d’eau nécessaire.

L’étiquette indique 17 L d’eau par sac de ciment pour du béton courant. En utilisant les 13 sacs achetés :

\[ 13 \times 17 = 221 \text{ L}. \]

Il faut prévoir 221 L d’eau. Si l’on ne fabrique que la quantité de béton strictement nécessaire (12,6208 sacs), il faut \( 12{,}6208 \times 17 \approx 214{,}6 \) L d’eau ; toute réponse cohérente avec le nombre de sacs retenu est acceptable.