Corrigé du brevet de maths 2016 en France

L’énoncé de cette épreuve est sur la page Sujet du brevet de maths France 2016 : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.

Corrigé du sujet

Exercice 1 :

Probabilités et pourcentages (4 points)

Dans chaque usine, \(500\) composants ont été contrôlés : l’usine A compte \(473\) bons et \(27\) défectueux, l’usine B \(462\) bons et \(38\) défectueux.

1. On tire au hasard un composant de l’usine A : quelle est la probabilité qu’il soit défectueux ?

Les \(500\) composants de l’usine A ont tous la même chance d’être tirés (situation d’équiprobabilité) et \(27\) d’entre eux sont défectueux :

\[p=\frac{27}{500}=0{,}054.\]

La probabilité est \(0{,}054\), soit \(5{,}4\ \%\).

2. On tire au hasard un composant parmi les défectueux : quelle est la probabilité qu’il vienne de l’usine A ?

Il y a \(27+38=65\) composants défectueux au total, dont \(27\) proviennent de l’usine A :

\[p=\frac{27}{65}\approx 0{,}415.\]

La probabilité est \(\dfrac{27}{65}\approx 0{,}415\), soit environ \(41{,}5\ \%\).

3. Le contrôle est satisfaisant si le pourcentage de défectueux est inférieur à \(7\ \%\) dans chaque usine.

• Usine A : \(\dfrac{27}{500}=5{,}4\ \%\), et \(5{,}4\ \%\lt 7\ \%\).
• Usine B : \(\dfrac{38}{500}=0{,}076=7{,}6\ \%\), et \(7{,}6\ \%\gt 7\ \%\).

La condition n’est pas remplie dans l’usine B : le contrôle n’est pas satisfaisant.

Exercice 2 :

Programmes de calcul et équation (4,5 points)

Programme A : choisir un nombre, le multiplier par \(-2\), puis ajouter \(13\). Programme B : choisir un nombre, lui soustraire \(7\), puis multiplier par \(3\).

1. Vérifier qu’en choisissant \(2\) avec le programme A, on obtient \(9\).

\[2\times (-2)=-4\qquad\text{puis}\qquad -4+13=9.\]

On obtient bien \(9\).

2. Quel nombre faut-il choisir au départ avec le programme B pour obtenir \(9\) ?

Notons \(x\) le nombre de départ. Le programme B donne \(3(x-7)\). On résout :

\[3(x-7)=9 \iff x-7=3 \iff x=10.\]

Vérification : \(10-7=3\) puis \(3\times 3=9\). Il faut choisir \(10\).

3. Existe-t-il un nombre pour lequel les deux programmes donnent le même résultat ?

Avec un nombre de départ \(x\), le programme A donne \(-2x+13\) et le programme B donne \(3(x-7)=3x-21\). On cherche \(x\) tel que :

\[-2x+13=3x-21 \iff 13+21=3x+2x \iff 34=5x \iff x=\frac{34}{5}=6{,}8.\]

Vérification :

• programme A : \(6{,}8\times (-2)=-13{,}6\) puis \(-13{,}6+13=-0{,}6\) ;
• programme B : \(6{,}8-7=-0{,}2\) puis \(-0{,}2\times 3=-0{,}6\).

Oui : en choisissant \(6{,}8\), les deux programmes donnent le même résultat, \(-0{,}6\). C’est d’ailleurs le seul nombre possible, car l’équation a une unique solution.

Exercice 3 :

Pythagore, trigonométrie, longueur du cercle (5 points)

Pour chacune des trois figures codées, on demande la longueur \(AB\) au millimètre près (un raisonnement bref suffit).

Figure 1. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), avec \(BC=6\) cm. D’après le codage, \(J\) est le milieu de \([CA]\) et \(CJ=JA=BC=6\) cm, donc \(CA=12\) cm. L’hypoténuse est \([CA]\). D’après le théorème de Pythagore :

\[CA^2=BC^2+AB^2 \iff 12^2=6^2+AB^2 \iff AB^2=144-36=108.\]
\[AB=\sqrt{108}\approx 10{,}392\ \text{cm}.\]

Figure 1 : \(AB\approx 10{,}4\) cm (soit \(104\) mm).

Figure 2. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(A\), l’hypoténuse \([BC]\) mesure \(36\) cm et \(\widehat{ACB}=53^\circ\). Le côté \([AB]\) est opposé à l’angle \(\widehat{ACB}\), on utilise donc le sinus :

\[\sin 53^\circ=\frac{AB}{BC}=\frac{AB}{36} \iff AB=36\times \sin 53^\circ\approx 28{,}751\ \text{cm}.\]

Figure 2 : \(AB\approx 28{,}8\) cm (soit \(288\) mm).

Figure 3. \([AB]\) est un diamètre du cercle de centre \(O\) et la longueur du cercle vaut \(154\) cm. La longueur d’un cercle de diamètre \(D\) est \(\pi\times D\), donc :

\[\pi\times AB=154 \iff AB=\frac{154}{\pi}\approx 49{,}020\ \text{cm}.\]

Figure 3 : \(AB\approx 49{,}0\) cm (soit \(490\) mm).

Exercice 4 :

Pourcentages et tableur (5 points)

Un commerçant applique une réduction de \(30\ \%\) sur tous ses articles.

1. Prix après réduction d’un article à \(54\) €.

Diminuer un prix de \(30\ \%\), c’est le multiplier par \(1-\dfrac{30}{100}=0{,}7\) :

\[54\times 0{,}7=37{,}8.\]

On peut aussi calculer la réduction \(54\times \dfrac{30}{100}=16{,}20\) € puis \(54-16{,}20=37{,}80\) €. Le prix soldé est \(37{,}80\) €.

2. a) Formule saisie en B2 pour calculer la réduction (la ligne 1 contient les prix avant réduction) :

=B1*30/100      (ou =B1*0,3)

On vérifie : \(12\times 0{,}3=3{,}60\), c’est bien la valeur affichée en B2.

b) Formule saisie en B3 pour obtenir le prix soldé :

=B1-B2      (ou =B1*0,7)

3. Un article soldé coûte \(42\) € : quel était son prix initial ?

Notons \(P\) le prix initial. Le prix soldé vaut \(0{,}7\,P\), donc :

\[0{,}7\,P=42 \iff P=\frac{42}{0{,}7}=60.\]

Vérification : \(60\times 0{,}7=42\). Le prix initial était de \(60\) €.

Exercice 5 :

Aires et théorème de Thalès (5,5 points)

Le terrain \(PRC\) est un triangle rectangle en \(R\) ; les points \(P, A, R\) sont alignés, ainsi que \(P, S, C\), et le triangle \(PAS\) est rectangle en \(A\). On connaît \(PA=30\) m, \(AR=10\) m et \(AS=18\) m.

1. Budget pour semer du gazon sur la zone de jeux \(PAS\), avec des sacs à \(13{,}90\) € couvrant chacun environ \(140\ \text{m}^2\).

Le triangle \(PAS\) est rectangle en \(A\), ses côtés de l’angle droit sont \([PA]\) et \([AS]\) :

\[\mathcal{A}_{PAS}=\frac{PA\times AS}{2}=\frac{30\times 18}{2}=270\ \text{m}^2.\]

Un sac couvre \(140\ \text{m}^2\) : un sac ne suffit pas, mais deux sacs couvrent \(280\ \text{m}^2\), et \(270\lt 280\). Il faut donc \(2\) sacs :

\[2\times 13{,}90=27{,}80.\]

La commune doit prévoir un budget de \(27{,}80\) €.

2. Calculer l’aire du skatepark \(RASC\).

Il faut d’abord la longueur \(RC\).

• Les droites \((AS)\) et \((RC)\) sont toutes deux perpendiculaires à la droite \((PR)\) ; or deux droites perpendiculaires à une même droite sont parallèles : \((AS)\parallel(RC)\).
• Les points \(P, A, R\) d’une part et \(P, S, C\) d’autre part sont alignés, et \(PR=PA+AR=30+10=40\) m.

D’après le théorème de Thalès dans les triangles \(PAS\) et \(PRC\) :

\[\frac{PA}{PR}=\frac{PS}{PC}=\frac{AS}{RC}\qquad\text{donc}\qquad \frac{30}{40}=\frac{18}{RC}.\]
\[RC=\frac{40\times 18}{30}=24\ \text{m}.\]

Le triangle \(PRC\) est rectangle en \(R\) :

\[\mathcal{A}_{PRC}=\frac{PR\times RC}{2}=\frac{40\times 24}{2}=480\ \text{m}^2.\]

Le skatepark est le triangle \(PRC\) dont on retire la zone de jeux \(PAS\) :

\[\mathcal{A}_{RASC}=\mathcal{A}_{PRC}-\mathcal{A}_{PAS}=480-270=210\ \text{m}^2.\]

Le skatepark a une aire de \(210\ \text{m}^2\). (On peut aussi voir \(RASC\) comme un trapèze : \(\dfrac{(18+24)\times 10}{2}=210\ \text{m}^2\).)

Exercice 6 :

Aires de polygones et lecture graphique (7 points)

Une ficelle de \(20\) cm est coupée en deux : avec le morceau n° 1 on forme un carré, avec le morceau n° 2 un triangle équilatéral.

Partie 1

1. Dessiner en vraie grandeur les deux polygones quand le morceau n° 1 mesure \(8\) cm.

Le morceau n° 2 mesure \(20-8=12\) cm. Le carré a \(4\) côtés égaux : \(8: 4=2\) cm. Le triangle équilatéral a \(3\) côtés égaux : \(12: 3=4\) cm.

On trace un carré de côté \(2\) cm et un triangle équilatéral de côté \(4\) cm.

2. Aire du carré :

\[2\times 2=4\ \text{cm}^2.\]

Le carré a une aire de \(4\ \text{cm}^2\).

3. Estimer l’aire du triangle en mesurant sur le dessin.

On trace une hauteur du triangle et on la mesure : on trouve environ \(3{,}5\) cm. Donc :

\[\mathcal{A}\approx\frac{4\times 3{,}5}{2}=7\ \text{cm}^2.\]

L’aire du triangle équilatéral est d’environ \(7\ \text{cm}^2\).

Pour aller plus loin : dans un triangle équilatéral, la hauteur tombe au milieu du côté opposé. Le théorème de Pythagore donne \(h^2=4^2-2^2=12\), soit \(h=\sqrt{12}\approx 3{,}46\) cm, et une aire exacte de \(4\sqrt{3}\approx 6{,}93\ \text{cm}^2\), ce qui confirme l’estimation.

Partie 2

1. Formule donnant l’aire du carré en fonction de la longueur \(x\) (en cm) du morceau n° 1.

Le côté du carré mesure \(\dfrac{x}{4}\) cm, donc son aire est :

\[\mathcal{A}_{\text{carré}}=(\frac{x}{4})^2=\frac{x^2}{16}\ \text{cm}^2.\]

Vérification avec la partie 1 : pour \(x=8\), \(\dfrac{64}{16}=4\ \text{cm}^2\).

2. On utilise le graphique : la courbe A donne l’aire du carré, la courbe B celle du triangle, en fonction de la longueur du morceau n° 1 (aucune justification n’est attendue).

a) Longueur du morceau n° 1 donnant un triangle d’aire \(14\ \text{cm}^2\) : on repère le point de la courbe B d’ordonnée \(14\) et on lit son abscisse. Le morceau n° 1 doit mesurer environ \(3\) cm. (Le calcul exact donne \(2{,}94\) cm.)

b) Longueur du morceau n° 1 donnant deux polygones de même aire : on lit l’abscisse du point d’intersection des deux courbes. Le morceau n° 1 doit mesurer environ \(9{,}3\) cm (une lecture entre \(9\) et \(9{,}5\) cm est acceptée ; le calcul exact donne environ \(9{,}35\) cm, pour une aire commune d’environ \(5{,}5\ \text{cm}^2\)).

Exercice 7 :

Volumes : pavé droit et boules (5 points)

Le vase est un pavé droit en verre de dimensions extérieures \(9\) cm \(\times \) \(9\) cm \(\times \) \(21{,}7\) cm, avec des bords de \(0{,}2\) cm d’épaisseur et un fond de \(1{,}7\) cm. Antoine y met \(150\) billes de \(1{,}8\) cm de diamètre. Peut-il ajouter un litre d’eau sans débordement ?

Volume intérieur du vase. L’intérieur est un pavé droit :

• côté de la base : \(9-2\times 0{,}2=8{,}6\) cm ;
• hauteur : \(21{,}7-1{,}7=20\) cm.

\[V_{\text{vase}}=8{,}6\times 8{,}6\times 20=1\,479{,}2\ \text{cm}^3.\]

Volume des billes. Le rayon d’une bille est \(1{,}8: 2=0{,}9\) cm :

\[V_{\text{bille}}=\frac{4}{3}\times \pi\times 0{,}9^3=0{,}972\,\pi\approx 3{,}054\ \text{cm}^3.\]
\[V_{150\ \text{billes}}=150\times 0{,}972\,\pi=145{,}8\,\pi\approx 458{,}0\ \text{cm}^3.\]

Place restante pour l’eau :

\[1\,479{,}2-458{,}0\approx 1\,021{,}2\ \text{cm}^3.\]

Or \(1\ \text{L}=1\ \text{dm}^3=1\,000\ \text{cm}^3\) et \(1\,021{,}2\gt 1\,000\).

Oui, Antoine peut ajouter un litre d’eau colorée sans que le vase déborde (il reste environ \(21\ \text{cm}^3\) de marge).