Contrôle de maths spé : extremums, hessienne et extremums liés

Exercice 1 : Question de cours (4 points)

Calculatrice interdite.

Dans tout le sujet, \(U\) désigne un ouvert non vide de \(\mathbb{R}^n\) et \(f : U \to \mathbb{R}\).

1. Énoncez le théorème de Schwarz pour une fonction de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(U\). (1 point)
2. On suppose \(f\) différentiable sur \(U\). Démontrez que si \(f\) admet un extremum local en un point \(a \in U\), alors \(df(a) = 0\). On pourra étudier \(t \mapsto f(a + tv)\) pour \(v \in \mathbb{R}^n\). (1,5 point)
3. Montrez par un exemple que la conclusion de b peut tomber en défaut pour un extremum atteint en un point d’une partie qui n’est pas ouverte. (0,5 point)
4. On suppose \(n = 2\) et \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(U\). Énoncez la condition suffisante du second ordre en un point critique \(a\), à l’aide de la trace et du déterminant de la matrice hessienne \(H_f(a)\). (1 point)

Exercice 2 : Points critiques et hessienne (4 points)

Soit \(f : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}\) définie par \(f(x, y) = x^3 + y^3 – 3xy\).

1. Déterminez les points critiques de \(f\). (1,5 point)
2. Calculez la matrice hessienne de \(f\) et déterminez la nature de chaque point critique. (1,5 point)
3. La fonction \(f\) admet-elle un extremum global sur \(\mathbb{R}^2\) ? (1 point)

Exercice 3 : Équation des cordes vibrantes (3 points)

On cherche les fonctions \(f\) de classe \(\mathcal{C}^2\) sur \(\mathbb{R}^2\) telles que

\[\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} – \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0. \qquad (P)\]

On pose \(u = x + y\), \(v = x – y\), et \(g\) définie sur \(\mathbb{R}^2\) par \(f(x, y) = g(x + y, x – y)\).

1. Justifiez que \(g\) est de classe \(\mathcal{C}^2\), puis montrez que \(\dfrac{\partial^2 f}{\partial x^2} – \dfrac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 4\, \dfrac{\partial^2 g}{\partial u \partial v}(x + y, x – y)\). (1,5 point)
2. Déduisez-en les solutions de \((P)\). (1 point)
3. Déterminez la solution de \((P)\) qui vérifie \(f(x, 0) = x^2\) et \(\dfrac{\partial f}{\partial y}(x, 0) = 0\) pour tout réel \(x\). (0,5 point)

Exercice 4 : Extremums liés sur une ellipse (4 points)

Soit \(g(x, y) = \dfrac{x^2}{4} + y^2 – 1\), \(\Gamma = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : g(x, y) = 0\}\) et \(f(x, y) = xy\). On admet le théorème des extremums liés : si la restriction de \(f\) à \(\Gamma\) admet un extremum local en \(a \in \Gamma\) et si \(\nabla g(a) \neq 0\), alors \(\nabla f(a)\) et \(\nabla g(a)\) sont colinéaires.

1. Montrez que \(f\) admet un maximum et un minimum sur \(\Gamma\). (1 point)
2. Vérifiez que \(\nabla g\) ne s’annule pas sur \(\Gamma\). (0,5 point)
3. Écrivez la condition de colinéarité de \(\nabla f\) et de \(\nabla g\), et déterminez les points de \(\Gamma\) qui la vérifient. (1,5 point)
4. Donnez le maximum et le minimum de \(f\) sur \(\Gamma\), ainsi que les points où ils sont atteints. (1 point)

Exercice 5 : Problème : extremums sur le disque fermé (5 points)

Soit \(D = \{(x, y) \in \mathbb{R}^2 : x^2 + y^2 \leq\, 1\}\) le disque unité fermé et \(f(x, y) = x^2 + 2y^2 – x\).

1. Justifiez que \(f\) admet un maximum et un minimum sur \(D\). (0,5 point)
2. Déterminez les points critiques de \(f\) dans l’intérieur de \(D\) et leur nature. (1 point)
3. En paramétrant le cercle \(x^2 + y^2 = 1\) par \(x = \cos t\), \(y = \sin t\), étudiez les valeurs de \(f\) sur le bord de \(D\). (1,5 point)
4. Concluez : donnez le maximum et le minimum de \(f\) sur \(D\) et les points où ils sont atteints. (1 point)
5. Vérifiez qu’au point du bord où \(f\) est maximale d’ordonnée positive, \(\nabla f\) est colinéaire au gradient de \((x, y) \mapsto x^2 + y^2\). Interprétez. (1 point)

Réviser avant le contrôle : extremums, hessienne et extremums liés

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Optimisation » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés optimisation.

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