Corrigé du contrôle de maths spé : intégrales à paramètre et fonction Gamma

Exercice 1 : Question de cours : régularité d’une intégrale à paramètre (3 points)

1. Théorème de continuité sous le signe intégrale. On suppose :
   • pour tout \(t \in I\), la fonction \(x \mapsto f(x, t)\) est continue sur \(A\) ;
   • pour tout \(x \in A\), la fonction \(t \mapsto f(x, t)\) est continue par morceaux sur \(I\) ;
   • hypothèse de domination : il existe \(\varphi : I \to \mathbb{R}_+\) continue par morceaux et intégrable sur \(I\) telle que \(|f(x, t)| \leq\, \varphi(t)\) pour tout \((x, t) \in A \times I\).

   Alors, pour tout \(x \in A\), \(t \mapsto f(x, t)\) est intégrable sur \(I\) et \(g\) est définie et continue sur \(A\). Il suffit que la domination ait lieu sur tout segment inclus dans \(A\) (domination locale).

2. Théorème de dérivation sous le signe intégrale. On suppose :
   • pour tout \(x \in A\), \(t \mapsto f(x, t)\) est continue par morceaux et intégrable sur \(I\) ;
   • \(f\) admet une dérivée partielle \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) sur \(A \times I\), continue par rapport à \(x\) et continue par morceaux par rapport à \(t\) ;
   • il existe \(\varphi\) intégrable sur \(I\) telle que \(|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, t)| \leq\, \varphi(t)\) pour tout \((x, t) \in A \times I\) (ou sur tout segment de \(A\)).

   Alors \(g\) est de classe \(C^1\) sur \(A\) et \(g^{\prime}(x) = \displaystyle\int_I \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, t)\,\mathrm{d}t\).

3. Supposons qu’une telle \(\varphi\) existe. Pour \(t \geq\, 0\) fixé, \(e^{-xt} \to 1\) quand \(x \to 0^+\), donc en passant à la limite dans \(e^{-xt} \leq\, \varphi(t)\), on obtient \(\varphi(t) \geq\, 1\) pour tout \(t \geq\, 0\). Alors \(\displaystyle\int_0^{X} \varphi \geq\, X\) tend vers \(+\infty\) : \(\varphi\) n’est pas intégrable, contradiction. Aucune domination globale sur \(]0, +\infty[\) n’existe.

   La continuité est une propriété locale. Soit \(a > 0\). Pour \(x \geq\, a\) et \(t \geq\, 0\), \(0 < e^{-xt} \leq\, e^{-at}\), et \(t \mapsto e^{-at}\) est intégrable sur \([0, +\infty[\). Le théorème de a) appliqué avec \(A = [a, +\infty[\) montre que \(h\) est continue sur \([a, +\infty[\). Comme \(]0, +\infty[\) est la réunion des \([a, +\infty[\) pour \(a > 0\), \(h\) est continue sur \(]0, +\infty[\) (ce qui est cohérent avec \(h(x) = \dfrac{1}{x}\)).

Barème : a) 0,5 point pour les hypothèses de régularité, 0,5 point pour la domination et la conclusion ; b) 0,5 point pour les hypothèses, 0,5 point pour la formule de \(g^{\prime}\) ; c) 0,5 point pour l’absence de domination globale, 0,5 point pour l’argument de domination sur \([a, +\infty[\).

Exercice 2 : Une intégrale gaussienne à paramètre (5 points)

1. Posons \(f(x, t) = e^{-t^2}\cos(xt)\) sur \(\mathbb{R} \times [0, +\infty[\). Cette fonction est continue par rapport à \(x\) et par rapport à \(t\). Pour tout \((x, t)\), \(|f(x, t)| \leq\, e^{-t^2}\). La fonction \(t \mapsto e^{-t^2}\) est continue sur \([0, +\infty[\) et \(t^2 e^{-t^2} \to 0\) en \(+\infty\), donc \(e^{-t^2} = o(\dfrac{1}{t^2})\) : elle est intégrable sur \([0, +\infty[\). Par le théorème de continuité sous le signe intégrale, \(F\) est définie et continue sur \(\mathbb{R}\).
2. Pour tout \(t\), \(x \mapsto f(x, t)\) est dérivable et \(\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, t) = -t\,e^{-t^2}\sin(xt)\), fonction continue en \(x\) et en \(t\). De plus \(|\dfrac{\partial f}{\partial x}(x, t)| \leq\, t\,e^{-t^2}\), et \(t \mapsto t\,e^{-t^2}\) est continue et intégrable sur \([0, +\infty[\) (car \(t^3 e^{-t^2} \to 0\)). Cette domination ne dépend pas de \(x\). Avec a), le théorème de dérivation sous le signe intégrale s’applique : \(F\) est de classe \(C^1\) sur \(\mathbb{R}\) et \(F^{\prime}(x) = -\displaystyle\int_0^{+\infty} t\,e^{-t^2}\sin(xt)\,\mathrm{d}t\).
3. Fixons \(x\). Posons \(u(t) = \sin(xt)\) et \(v(t) = \dfrac{1}{2}e^{-t^2}\), de classe \(C^1\) sur \([0, +\infty[\), avec \(u^{\prime}(t) = x\cos(xt)\) et \(v^{\prime}(t) = -t\,e^{-t^2}\). Le produit \(uv\) vaut \(0\) en \(0\) et tend vers \(0\) en \(+\infty\) (produit d’une fonction bornée par une fonction de limite nulle). L’intégration par parties sur un intervalle semi-ouvert est donc légitime : les intégrales \(\displaystyle\int_0^{+\infty} u v^{\prime}\) et \(\displaystyle\int_0^{+\infty} u^{\prime} v\) sont de même nature (ici convergentes) et
   \[F^{\prime}(x) = \int_0^{+\infty} u(t)v^{\prime}(t)\,\mathrm{d}t = \Big[u v\Big]_0^{+\infty} – \int_0^{+\infty} x\cos(xt)\,\dfrac{1}{2}e^{-t^2}\,\mathrm{d}t.\]
   Le crochet est nul, donc \(F^{\prime}(x) = -\dfrac{x}{2}\,F(x)\) pour tout réel \(x\).
4. \(F\) est solution sur \(\mathbb{R}\) de l’équation différentielle linéaire \(y^{\prime} + \dfrac{x}{2}\,y = 0\), dont les solutions sont les \(x \mapsto C\,e^{-x^2/4}\), \(C \in \mathbb{R}\). Comme \(F(0) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t^2}\,\mathrm{d}t = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\), on obtient \(F(x) = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2}\,e^{-x^2/4}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).

Erreur fréquente : dominer \(\dfrac{\partial f}{\partial x}\) par \(|x|\,t\,e^{-t^2}\), qui dépend de \(x\). La majoration \(|\sin(xt)| \leq\, 1\) donne directement une domination uniforme.

Barème : a) 0,5 point pour la domination, 0,5 point pour l’intégrabilité de \(e^{-t^2}\) ; b) 0,5 point pour la dérivée partielle, 0,5 point pour la domination indépendante de \(x\), 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,5 point pour le choix de \(u\) et \(v\), 0,5 point pour la justification du crochet, 0,5 point pour la relation ; d) 0,5 point pour la résolution, 0,5 point pour la constante.

Exercice 3 : Une transformée de Laplace (4 points)

1. Posons \(f(x, t) = \dfrac{e^{-xt}}{1 + t^2}\) sur \([0, +\infty[ \times [0, +\infty[\), continue en \(x\) et en \(t\). Pour tout \((x, t)\), \(0 < f(x, t) \leq\, \dfrac{1}{1 + t^2}\), fonction intégrable sur \([0, +\infty[\). Par le théorème de continuité, \(G\) est définie et continue sur \([0, +\infty[\), et \(G(0) = \Big[\arctan t\Big]_0^{+\infty}\), soit \(G(0) = \dfrac{\pi}{2}\).
2. Pour \(k \in \{1, 2\}\), \(\dfrac{\partial^k f}{\partial x^k}(x, t) = \dfrac{(-t)^k e^{-xt}}{1 + t^2}\), continue en \(x\) et en \(t\). Soit \(a > 0\). Pour \(x \geq\, a\) et \(t \geq\, 0\) :
   \[|\dfrac{\partial^k f}{\partial x^k}(x, t)| \leq\, \dfrac{t^k e^{-at}}{1 + t^2} \leq\, t^k e^{-at},\]
   et \(t \mapsto t^k e^{-at}\) est intégrable sur \([0, +\infty[\) car \(t^{k+2}e^{-at} \to 0\) en \(+\infty\). Comme de plus \(t \mapsto f(x, t)\) et \(t \mapsto \dfrac{\partial f}{\partial x}(x, t)\) sont intégrables, le théorème de classe \(C^k\) des intégrales à paramètre (dominations sur \([a, +\infty[\)) montre que \(G\) est de classe \(C^2\) sur \([a, +\infty[\) pour tout \(a > 0\), donc \(G\) est de classe \(C^2\) sur \(]0, +\infty[\), avec \(G^{\prime\prime}(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} \dfrac{t^2 e^{-xt}}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t\). Par linéarité de l’intégrale (les deux intégrales convergent) :
   \[G^{\prime\prime}(x) + G(x) = \int_0^{+\infty} \dfrac{(t^2 + 1)\,e^{-xt}}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t = \int_0^{+\infty} e^{-xt}\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{x}.\]
   Donc \(G^{\prime\prime} + G = \dfrac{1}{x}\) sur \(]0, +\infty[\).
3. Pour \(x > 0\) et \(t \geq\, 0\), \(0 \leq\, \dfrac{e^{-xt}}{1 + t^2} \leq\, e^{-xt}\), donc par croissance de l’intégrale \(0 \leq\, G(x) \leq\, \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-xt}\,\mathrm{d}t = \dfrac{1}{x}\). Par encadrement, \(G(x) \to 0\) quand \(x \to +\infty\).
4. Soit \(x > 0\). Le changement de variable \(u = xt\), bijection \(C^1\) strictement croissante de \(]0, +\infty[\) sur lui-même, donne
   \[x\,G(x) = \int_0^{+\infty} \dfrac{x\,e^{-xt}}{1 + t^2}\,\mathrm{d}t = \int_0^{+\infty} \dfrac{e^{-u}}{1 + u^2/x^2}\,\mathrm{d}u.\]
   Soit \((x_n)\) une suite de réels strictement positifs tendant vers \(+\infty\) et \(g_n(u) = \dfrac{e^{-u}}{1 + u^2/x_n^2}\). Les \(g_n\) sont continues, la suite \((g_n)\) converge simplement vers \(u \mapsto e^{-u}\), continue, et \(|g_n(u)| \leq\, e^{-u}\), intégrable sur \([0, +\infty[\) et indépendante de \(n\). Par le théorème de convergence dominée, \(\displaystyle\int_0^{+\infty} g_n \to \int_0^{+\infty} e^{-u}\,\mathrm{d}u = 1\). Par la caractérisation séquentielle de la limite, \(x\,G(x) \to 1\), c’est-à-dire \(G(x) \sim \dfrac{1}{x}\) quand \(x \to +\infty\).

Barème : a) 0,5 point pour la domination, 0,5 point pour \(G(0)\) ; b) 0,5 point pour les dominations sur \([a, +\infty[\), 0,5 point pour le passage à \(]0, +\infty[\), 0,5 point pour la relation ; c) 0,5 point ; d) 0,5 point pour le changement de variable, 0,5 point pour la convergence dominée avec hypothèses vérifiées.

Exercice 4 : Problème : la fonction Gamma d’Euler (8 points)

1. La fonction \(\varphi_x : t \mapsto t^{x-1}e^{-t}\) est continue et strictement positive sur \(]0, +\infty[\).
   • En \(+\infty\) : \(t^2 \varphi_x(t) = t^{x+1}e^{-t} \to 0\) par croissances comparées, donc \(\varphi_x(t) = o(\dfrac{1}{t^2})\) et \(\varphi_x\) est intégrable sur \([1, +\infty[\), quel que soit \(x\).
   • En \(0\) : \(\varphi_x(t) \sim t^{x-1} = \dfrac{1}{t^{1-x}}\). Les fonctions étant positives, le théorème de comparaison par équivalents et le critère de Riemann donnent : \(\varphi_x\) est intégrable sur \(]0, 1]\) si et seulement si \(1 – x < 1\), c’est-à-dire \(x > 0\).

   \(\Gamma\) est définie exactement sur \(]0, +\infty[\).

2. Soit \(x > 0\). On intègre par parties sur \(]0, +\infty[\) avec \(u(t) = t^x\) et \(v(t) = -e^{-t}\), de classe \(C^1\). Le produit \(uv(t) = -t^x e^{-t}\) tend vers \(0\) en \(0^+\) (car \(x > 0\)) et en \(+\infty\) (croissances comparées). Les intégrales étant convergentes d’après a) :
   \[\Gamma(x + 1) = \int_0^{+\infty} t^x e^{-t}\,\mathrm{d}t = \Big[-t^x e^{-t}\Big]_0^{+\infty} + \int_0^{+\infty} x\,t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t = x\,\Gamma(x).\]
   Comme \(\Gamma(1) = \displaystyle\int_0^{+\infty} e^{-t}\,\mathrm{d}t = 1\), une récurrence immédiate donne \(\Gamma(n + 1) = n!\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
3. Posons \(f(x, t) = t^{x-1}e^{-t} = e^{(x-1)\ln t}\,e^{-t}\) sur \(]0, +\infty[ \times ]0, +\infty[\). Pour \(t\) fixé, \(x \mapsto f(x, t)\) est de classe \(C^{\infty}\) et \(\dfrac{\partial^k f}{\partial x^k}(x, t) = (\ln t)^k\, t^{x-1}e^{-t}\), fonction continue en \(x\) et en \(t\).

   Domination sur un segment. Soit \([a, b] \subset \,]0, +\infty[\) et \(x \in [a, b]\). Si \(0 < t \leq\, 1\), \(t^{x-1} \leq\, t^{a-1}\) ; si \(t \geq\, 1\), \(t^{x-1} \leq\, t^{b-1}\). Donc, pour tout \(t > 0\) :
   \[|\dfrac{\partial^k f}{\partial x^k}(x, t)| \leq\, \psi_k(t) = |\ln t|^k (t^{a-1} + t^{b-1}) e^{-t}.\]

   Intégrabilité de \(\psi_k\). Elle est continue et positive sur \(]0, +\infty[\). En \(+\infty\), \(t^2\psi_k(t) \to 0\). En \(0\), \(|\ln t|^k t^{a/2} \to 0\), donc \(|\ln t|^k t^{a-1} = o(t^{a/2 – 1})\), intégrable en \(0\) par Riemann car \(1 – \frac{a}{2} < 1\) ; le terme en \(t^{b-1}\) se traite de même puisque \(b \geq\, a\). Donc \(\psi_k\) est intégrable sur \(]0, +\infty[\).

   Le théorème de classe \(C^{\infty}\) des intégrales à paramètre (domination de chaque dérivée partielle sur tout segment) montre que \(\Gamma\) est de classe \(C^{\infty}\) sur \(]0, +\infty[\) et \(\Gamma^{(k)}(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} (\ln t)^k\, t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t\).

4. D’après c), \(\Gamma^{\prime\prime}(x) = \displaystyle\int_0^{+\infty} (\ln t)^2\, t^{x-1}e^{-t}\,\mathrm{d}t\) est l’intégrale d’une fonction continue, positive et non identiquement nulle, donc \(\Gamma^{\prime\prime}(x) > 0\) : \(\Gamma\) est (strictement) convexe.

   Posons \(p(t) = t^{(x-1)/2}e^{-t/2}\) et \(q(t) = \ln t \cdot t^{(x-1)/2}e^{-t/2}\). Les fonctions \(p^2\) et \(q^2\) sont les intégrandes de \(\Gamma(x)\) et \(\Gamma^{\prime\prime}(x)\), donc \(p\) et \(q\) sont de carré intégrable sur \(]0, +\infty[\). L’inégalité de Cauchy-Schwarz donne
   \[(\int_0^{+\infty} p\,q)^2 \leq\, \int_0^{+\infty} p^2 \int_0^{+\infty} q^2, \quad \text{soit} \quad \Gamma^{\prime}(x)^2 \leq\, \Gamma(x)\,\Gamma^{\prime\prime}(x).\]
   Comme \(\Gamma > 0\), \(\ln \Gamma\) est de classe \(C^2\) et \((\ln \Gamma)^{\prime\prime} = \dfrac{\Gamma\,\Gamma^{\prime\prime} – \Gamma^{\prime 2}}{\Gamma^2} \geq\, 0\) : \(\ln \Gamma\) est convexe sur \(]0, +\infty[\) (on dit que \(\Gamma\) est log-convexe).

5. \(\Gamma\) est continue sur \([1, 2]\), dérivable sur \(]1, 2[\) et \(\Gamma(1) = \Gamma(2) = 1\). Par le théorème de Rolle, il existe \(\alpha \in \,]1, 2[\) tel que \(\Gamma^{\prime}(\alpha) = 0\). Comme \(\Gamma^{\prime\prime} > 0\), \(\Gamma^{\prime}\) est strictement croissante, donc \(\alpha\) est l’unique zéro de \(\Gamma^{\prime}\), avec \(\Gamma^{\prime} < 0\) sur \(]0, \alpha[\) et \(\Gamma^{\prime} > 0\) sur \(]\alpha, +\infty[\).

   Limite en \(+\infty\) : \(\Gamma\) est croissante sur \([\alpha, +\infty[\) et \(\Gamma(n + 1) = n! \to +\infty\), donc \(\Gamma\) n’est pas majorée sur cet intervalle et \(\Gamma(x) \to +\infty\) quand \(x \to +\infty\). En \(0^+\), f) donne aussi la limite \(+\infty\).

   \(x\)	\(0\)		\(\alpha\)		\(+\infty\)
   \(\Gamma^{\prime}(x)\)		\(-\)	\(0\)	\(+\)
   \(\Gamma(x)\)	\(+\infty\)	décroissante	\(\Gamma(\alpha)\)	croissante	\(+\infty\)

   Numériquement, \(\alpha \approx 1{,}46\) et \(\Gamma(\alpha) \approx 0{,}886\) (valeurs non exigées).

   

6. Pour \(x > 0\), b) donne \(\Gamma(x) = \dfrac{\Gamma(x + 1)}{x}\). Comme \(\Gamma\) est continue en \(1\) d’après c), \(\Gamma(x + 1) \to \Gamma(1) = 1\) quand \(x \to 0^+\). Donc \(\Gamma(x) \sim \dfrac{1}{x}\) quand \(x \to 0^+\).
7. \(\Gamma(\frac{1}{2}) = \displaystyle\int_0^{+\infty} t^{-1/2}e^{-t}\,\mathrm{d}t\). Le changement de variable \(t = u^2\), bijection \(C^1\) strictement croissante de \(]0, +\infty[\) sur lui-même, avec \(\mathrm{d}t = 2u\,\mathrm{d}u\), donne
   \[\Gamma(\frac{1}{2}) = \int_0^{+\infty} \dfrac{1}{u}\,e^{-u^2}\,2u\,\mathrm{d}u = 2\int_0^{+\infty} e^{-u^2}\,\mathrm{d}u = \sqrt{\pi}.\]
   Donc \(\Gamma(\frac{1}{2}) = \sqrt{\pi}\), puis \(\Gamma(\frac{5}{2}) = \dfrac{3}{2}\,\Gamma(\frac{3}{2}) = \dfrac{3}{2} \times \dfrac{1}{2}\,\Gamma(\frac{1}{2})\), soit \(\Gamma(\frac{5}{2}) = \dfrac{3\sqrt{\pi}}{4}\).

Erreur fréquente : chercher une domination de \(t^{x-1}e^{-t}\) valable sur tout \(]0, +\infty[\) : elle n’existe pas, car en \(0\) la borne \(t^{x-1}\) n’est pas intégrable quand \(x\) est proche de \(0\). Il faut travailler sur un segment \([a, b]\).

Barème : a) 0,5 point pour l’étude en \(+\infty\), 0,5 point pour l’étude en \(0\) ; b) 0,5 point pour l’intégration par parties justifiée, 0,5 point pour \(n!\) ; c) 0,5 point pour les dérivées partielles, 0,5 point pour la domination, 0,5 point pour l’intégrabilité de \(\psi_k\), 0,5 point pour la conclusion ; d) 0,5 point pour la convexité, 0,5 point pour Cauchy-Schwarz, 0,5 point pour la log-convexité ; e) 0,5 point pour Rolle et l’unicité, 0,5 point pour le tableau et la limite ; f) 0,5 point ; g) 0,5 point pour \(\Gamma(1/2)\), 0,5 point pour \(\Gamma(5/2)\).

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Après le corrigé du contrôle : intégrales à paramètre et fonction Gamma

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