Contrôle de maths spé : séries entières et développements usuels

Exercice 1 : Question de cours : lemme d’Abel et rayon de convergence (3 points)

Calculatrice interdite.

Soit \((a_n)\) une suite de nombres complexes.

1. Énoncez et démontrez le lemme d’Abel : si la suite \((a_n z_0^n)\) est bornée pour un complexe \(z_0 \neq 0\), alors la série \(\sum a_n z^n\) converge absolument pour tout \(z\) tel que \(|z| < |z_0|\). (1,5 point)
2. Donnez la définition du rayon de convergence \(R\) de la série entière \(\sum a_n z^n\). (0,5 point)
3. Énoncez le théorème de dérivation terme à terme d’une série entière de la variable réelle de rayon \(R > 0\). (1 point)

Exercice 2 : Deux rayons de convergence (4 points)

1. Déterminez le rayon de convergence de la série entière \(\displaystyle\sum_{n \geq\, 0} n!\, z^{n^2}\). (1,5 point)
2. Pour \(n \geq\, 0\), on pose \(a_n = \sqrt{n^2+1} – n\).
   1. Déterminez un équivalent simple de \(a_n\), puis le rayon de convergence de \(\sum a_n x^n\). (1 point)
   2. Étudiez la nature de la série numérique \(\sum a_n x^n\) pour \(x = 1\), puis pour \(x = -1\). (1,5 point)

Exercice 3 : Développements usuels et calcul de sommes (5 points)

1. À partir du développement de \(\dfrac{1}{1+t}\), établissez les développements en série entière de \(\ln(1+x)\) et de \(\arctan x\), en précisant leur rayon. (1,5 point)
2. Soit \(\alpha \in \mathbb{R} \setminus \mathbb{N}\).
   1. Déterminez les séries entières \(y(x) = \sum a_n x^n\) de rayon non nul telles que \(a_0 = 1\) et \((1+x)\,y^{\prime}(x) = \alpha\, y(x)\). Calculez leur rayon. (1 point)
   2. En étudiant la fonction \(x \mapsto y(x)(1+x)^{-\alpha}\) sur \(]-1,1[\), déduisez-en le développement de \((1+x)^\alpha\). (1 point)
3. Pour \(x \in ]-1,1[\), calculez \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} n x^n\) puis \(\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} n^2 x^n\). Déduisez-en la valeur de \(\displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{n^2}{2^n}\). (1,5 point)

Exercice 4 : Une équation différentielle résolue par série entière (4 points)

On considère l’équation différentielle \((E) : x\,y^{\prime\prime} + 2\,y^{\prime} + x\,y = 0\) sur \(\mathbb{R}\).

1. Soit \(y(x) = \sum a_n x^n\) une série entière de rayon \(R > 0\). Montrez que \(y\) est solution de \((E)\) sur \(]-R,R[\) si et seulement si \(a_1 = 0\) et \((n+1)(n+2)\,a_{n+1} + a_{n-1} = 0\) pour tout \(n \geq\, 1\). (2 points)
2. Exprimez \(a_{2k}\) et \(a_{2k+1}\) en fonction de \(a_0\) et de \(k\). Déterminez le rayon de la série obtenue et calculez sa somme à l’aide d’une fonction usuelle. (1,5 point)
3. Décrivez l’ensemble des solutions de \((E)\) développables en série entière au voisinage de \(0\). (0,5 point)

Exercice 5 : Problème : une récurrence et sa série génératrice (4 points)

On définit la suite \((t_n)\) par \(t_0 = t_1 = 1\) et \(t_{n+1} = t_n + n\,t_{n-1}\) pour tout \(n \geq\, 1\). On pose \(f(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{t_n}{n!} x^n\).

1. Montrez par récurrence que \(0 < t_n \leq\, n!\) pour tout \(n\). Déduisez-en que le rayon de convergence de \(f\) est au moins \(1\). (1 point)
2. Montrez que \(f^{\prime}(x) = (1+x) f(x)\) pour tout \(x \in ]-1,1[\). (1 point)
3. Déduisez-en une expression de \(f(x)\) à l’aide de la fonction exponentielle. (0,5 point)
4. À l’aide d’un produit de Cauchy, établissez que, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

   \[t_n = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2 \rfloor} \frac{n!}{2^k\, k!\, (n-2k)!}.\]

   Vérifiez cette formule pour \(n = 5\) en calculant \(t_5\) par la récurrence. Que peut-on dire du rayon de convergence de \(f\) ? (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : séries entières et développements usuels

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Séries entières » en maths spé puis entraînez-vous avec les exercices corrigés séries entières.

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