Corrigé du contrôle de maths spé : normes, boules et normes équivalentes

Exercice 1 : Question de cours : normes usuelles sur K^n (3 points)

1. Une norme sur \(E\) est une application \(N : E \to \mathbb{R}_+\) qui vérifie, pour tous \(x, y \in E\) et tout \(\lambda \in \mathbb{K}\) :

   la séparation \(N(x) = 0 \Rightarrow x = 0\) ; l’homogénéité \(N(\lambda x) = |\lambda| N(x)\) ; l’inégalité triangulaire \(N(x + y) \leq\, N(x) + N(y)\).

2. Soit \(x \in \mathbb{K}^n\) et \(i\) un indice tel que \(|x_i| = \|x\|_\infty\).

   D’abord, \(\|x\|_\infty^2 = |x_i|^2 \leq\, \sum_k |x_k|^2 = \|x\|_2^2\), donc \(\|x\|_\infty \leq\, \|x\|_2\).

   Ensuite, \(\|x\|_1^2 = \sum_k |x_k|^2 + \sum_{k \neq l} |x_k|\,|x_l| \geq\, \|x\|_2^2\), d’où \(\|x\|_2 \leq\, \|x\|_1\).

   Par l’inégalité de Cauchy-Schwarz dans \(\mathbb{R}^n\) appliquée aux vecteurs \((1, \ldots, 1)\) et \((|x_1|, \ldots, |x_n|)\) :

   \[\|x\|_1 = \sum_{k=1}^{n} 1 \times |x_k| \leq\, \sqrt{n} (\sum_{k=1}^{n} |x_k|^2)^{1/2} = \sqrt{n}\, \|x\|_2.\]

   Enfin, \(\|x\|_2^2 = \sum_k |x_k|^2 \leq\, n \|x\|_\infty^2\), donc \(\sqrt{n}\, \|x\|_2 \leq\, \sqrt{n} \times \sqrt{n}\, \|x\|_\infty = n \|x\|_\infty\).

   La chaîne d’inégalités est démontrée.

Barème : a) 1 point (0,5 point si un axiome manque) ; b) 0,5 point par inégalité, Cauchy-Schwarz devant être cité.

Exercice 2 : Normes sur des espaces de fonctions et de polynômes (4 points)

1. Pour \(f \in E\), la fonction \(f^{\prime}\) est continue sur le segment \([0, 1]\), donc bornée : \(N(f)\) est un réel positif. L’homogénéité vient de \(|\lambda f(0)| = |\lambda|\,|f(0)|\) et de \(\|\lambda f^{\prime}\|_\infty = |\lambda|\, \|f^{\prime}\|_\infty\). L’inégalité triangulaire découle de \(|f(0) + g(0)| \leq\, |f(0)| + |g(0)|\) et de l’inégalité triangulaire pour \(\|\cdot\|_\infty\).

   Séparation : si \(N(f) = 0\), alors \(f(0) = 0\) et \(f^{\prime} = 0\) sur \([0, 1]\). La fonction \(f\) est donc constante sur l’intervalle \([0, 1]\), égale à \(f(0) = 0\). Ainsi \(N\) est une norme sur \(E\).

2. Soit \(x \in [0, 1]\). Comme \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^1\), \(f(x) = f(0) + \int_0^x f^{\prime}(t)\, dt\). Alors :

   \[|f(x)| \leq\, |f(0)| + \int_0^x |f^{\prime}(t)|\, dt \leq\, |f(0)| + x \|f^{\prime}\|_\infty \leq\, N(f).\]

   En passant à la borne supérieure sur \(x\), \(\|f\|_\infty \leq\, N(f)\).

3. Pour \(n \geq\, 1\), \(\|g_n\|_\infty = 1\), et \(g_n^{\prime}(x) = n x^{n-1}\) donne \(\|g_n^{\prime}\|_\infty = n\), donc \(N(g_n) = 0 + n = n\). S’il existait \(\beta > 0\) tel que \(N \leq\, \beta \|\cdot\|_\infty\), on aurait \(n \leq\, \beta\) pour tout \(n\), ce qui est absurde. Les normes \(N\) et \(\|\cdot\|_\infty\) ne sont donc pas équivalentes.

4. Une fonction polynomiale est continue sur le segment \([0, 1]\), donc bornée : la borne supérieure existe. L’homogénéité et l’inégalité triangulaire se démontrent comme pour la norme de la convergence uniforme. Pour la séparation, si \(\sup_{[0, 1]} |P| = 0\), alors \(P\) s’annule en tout point de \([0, 1]\). Il possède donc une infinité de racines. Par conséquent \(P = 0\), et l’application est une norme sur \(\mathbb{R}[X]\).

Barème : a) 0,5 point pour homogénéité et inégalité triangulaire, 0,5 point pour la séparation ; b) 1 point ; c) 0,5 point pour les calculs, 0,5 point pour la conclusion ; d) 0,5 point pour l’existence, 0,5 point pour la séparation.

Exercice 3 : Boules unités dans le plan (3 points)

1. La condition \(\max(|x|, |y|) \leq\, 1\) équivaut à \(-1 \leq\, x \leq\, 1\) et \(-1 \leq\, y \leq\, 1\) : \(B_\infty\) est le carré plein de sommets \((\pm 1, \pm 1)\). Dans le quadrant \(x \geq\, 0\), \(y \geq\, 0\), la condition \(|x| + |y| \leq\, 1\) s’écrit \(x + y \leq\, 1\), et les symétries par rapport aux axes donnent le reste : \(B_1\) est le losange plein de sommets \((\pm 1, 0)\) et \((0, \pm 1)\).

   

2. Pour \(u = (x, y)\), on a \(\max(|x|, |y|) \leq\, |x| + |y| \leq\, 2 \max(|x|, |y|)\). L’égalité a lieu à gauche pour \(u = (1, 0)\) et à droite pour \(u = (1, 1)\) : les constantes sont optimales.

   Si \(\|u\|_\infty \leq\, \frac{1}{2}\), alors \(\|u\|_1 \leq\, 2 \times \frac{1}{2} = 1\). Si \(\|u\|_1 \leq\, 1\), alors \(\|u\|_\infty \leq\, \|u\|_1 \leq\, 1\). Donc \(B_\infty(0, \frac{1}{2}) \subset B_1 \subset B_\infty\), ce que montre la figure.

3. Soient \(u, v \in B_f(a, r)\) et \(t \in [0, 1]\). Comme \((1 – t) u + t v – a = (1 – t)(u – a) + t (v – a)\), l’inégalité triangulaire et l’homogénéité donnent :

   \[\|(1 – t) u + t v – a\| \leq\, (1 – t)\|u – a\| + t \|v – a\| \leq\, (1 – t) r + t r = r.\]

   Le point \((1 – t) u + t v\) appartient à la boule : celle-ci est convexe.

Barème : a) 0,5 point par boule, avec la justification ; b) 0,5 point pour l’encadrement et l’optimalité, 0,5 point pour les inclusions ; c) 1 point.

Exercice 4 : Fonctions chapeaux et normes non équivalentes (4 points)

1. Pour tout \(t \in [0, 1]\), \(|f(t)| \leq\, \|f\|_\infty\). Par croissance de l’intégrale, \(\|f\|_1 \leq\, \int_0^1 \|f\|_\infty\, dt = \|f\|_\infty\). Donc \(\|f\|_1 \leq\, \|f\|_\infty\).

2. Sur \([0, \frac{2}{n}]\), \(f_n\) est continue comme composée de fonctions continues. En \(x = \frac{2}{n}\), la première formule donne \(1 – n \times \frac{1}{n} = 0\), valeur de la seconde : les deux expressions se raccordent, donc \(f_n\) est continue sur \([0, 1]\) (et \(\frac{2}{n} \leq\, 1\) car \(n \geq\, 2\)).

   La fonction \(f_n\) est affine croissante de \(0\) à \(1\) sur \([0, \frac{1}{n}]\), affine décroissante de \(1\) à \(0\) sur \([\frac{1}{n}, \frac{2}{n}]\), puis nulle. Elle est positive et atteint son maximum \(1\) en \(\frac{1}{n}\) : \(\|f_n\|_\infty = 1\). L’intégrale est l’aire d’un triangle de base \(\frac{2}{n}\) et de hauteur \(1\) : \(\|f_n\|_1 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{n} \times 1 = \frac{1}{n}\).

3. Supposons qu’il existe \(\alpha > 0\) tel que \(\|f\|_\infty \leq\, \alpha \|f\|_1\) pour tout \(f \in F\). Avec \(f = f_n\), on obtient \(1 \leq\, \frac{\alpha}{n}\), soit \(n \leq\, \alpha\) pour tout \(n \geq\, 2\) : c’est absurde.

   Il n’existe pas de telle constante : les deux normes ne sont pas équivalentes, bien que \(\|\cdot\|_1\) soit dominée par \(\|\cdot\|_\infty\).

4. Comme \(\|f_n – 0\|_1 = \frac{1}{n} \to 0\), \((f_n)\) converge vers la fonction nulle dans \((F, \|\cdot\|_1)\).

   Supposons que \((f_n)\) converge vers \(g\) pour \(\|\cdot\|_\infty\). Pour tout \(x\), \(|f_n(x) – g(x)| \leq\, \|f_n – g\|_\infty\), donc \(f_n(x) \to g(x)\). Or \(f_n(0) = 0\), et pour \(x > 0\), \(f_n(x) = 0\) dès que \(n > \frac{2}{x}\). Ainsi \(g = 0\), puis \(\|f_n – g\|_\infty = 1\) ne tend pas vers \(0\) : contradiction. La suite ne converge pas dans \((F, \|\cdot\|_\infty)\).

Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour la continuité, 0,5 point pour chaque norme ; c) 1 point ; d) 0,5 point pour chaque espace.

Erreur fréquente : conclure à la non-équivalence à partir de la seule inégalité \(\|f\|_1 \leq\, \|f\|_\infty\) ; c’est l’absence d’inégalité dans l’autre sens qu’il faut prouver.

Exercice 5 : Problème : suites de matrices et valeurs d’adhérence (6 points)

1. Pour tous \(i, j\), on a \(|(M_k)_{ij} – L_{ij}| \leq\, N(M_k – L)\). Si \(N(M_k – L) \to 0\), chaque coefficient converge donc vers celui de \(L\).

   Réciproquement, si les quatre suites de coefficients convergent, alors \(N(M_k – L) = \max_{i, j} |(M_k)_{ij} – L_{ij}|\) est le maximum de quatre suites de limite nulle : il tend vers \(0\). La convergence pour \(N\) équivaut à la convergence coefficient par coefficient.

2. Un vecteur \(\ell\) est une valeur d’adhérence de \((x_k)\) s’il existe une application \(\sigma : \mathbb{N} \to \mathbb{N}\) strictement croissante telle que \(x_{\sigma(k)} \to \ell\). Si \(x_k \to \ell\), toute suite extraite converge aussi vers \(\ell\) ; par unicité de la limite, \(\ell\) est la seule valeur d’adhérence.

   On calcule \(A^2 = -I_2\), donc \(A^4 = I_2\). Pour tout \(p\), \(A^{4p} = I_2\), \(A^{4p+1} = A\), \(A^{4p+2} = -I_2\) et \(A^{4p+3} = -A\). Ces quatre suites extraites sont constantes : \(I_2\), \(A\), \(-I_2\) et \(-A\) sont des valeurs d’adhérence de \((A^k)\). Elles sont distinctes, donc la suite \((A^k)\) diverge.

3. Comme \(\cos\frac{\pi}{4} = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}\), on a \(B = \frac{\sqrt{2}}{2} R_{\pi/4}\). Par récurrence, grâce à \(R_\theta R_\varphi = R_{\theta + \varphi}\), on obtient \(R_{\pi/4}^k = R_{k\pi/4}\), donc :

   \[B^k = (\frac{\sqrt{2}}{2})^k R_{k\pi/4}, \qquad N(B^k) = 2^{-k/2} \max(|\cos\frac{k\pi}{4}|, |\sin\frac{k\pi}{4}|) \leq\, 2^{-k/2}.\]

   Comme \(2^{-k/2} \to 0\), la suite \((B^k)\) converge vers la matrice nulle.

4. Le signe de \((-1)^n\) dépend de la parité de \(n\), et \(\cos\frac{2n\pi}{3}\) ne dépend que du reste de \(n\) modulo 3. Pour \(n = 6p + r\), on obtient :

   \(r\)	0	1	2	3	4	5
   \((-1)^n\)	\(1\)	\(-1\)	\(1\)	\(-1\)	\(1\)	\(-1\)
   \(\cos\frac{2n\pi}{3}\)	\(1\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(1\)	\(-\frac{1}{2}\)	\(-\frac{1}{2}\)

   La première coordonnée de \(u_{6p+r}\) diffère de \(\pm 1\) de \(\frac{1}{6p + r}\), qui tend vers \(0\), et la seconde est constante. Les suites extraites \((u_{6p+r})_p\) convergent donc vers \(\ell_0 = (1, 1)\), \(\ell_1 = \ell_5 = (-1, -\frac{1}{2})\), \(\ell_2 = \ell_4 = (1, -\frac{1}{2})\) et \(\ell_3 = (-1, 1)\).

   Réciproquement, soit \(\ell\) une valeur d’adhérence, limite de \((u_{\sigma(k)})\). Les six classes de restes modulo 6 recouvrent \(\mathbb{N}\), donc l’une d’elles, disons \(r\), contient \(\sigma(k)\) pour une infinité de \(k\). On en extrait une sous-suite de \((u_{\sigma(k)})\), qui converge vers \(\ell\), et qui est aussi extraite de \((u_{6p+r})_p\), donc converge vers \(\ell_r\). Par unicité de la limite, \(\ell = \ell_r\).

   L’ensemble des valeurs d’adhérence est \(\{(1, 1),\ (-1, 1),\ (1, -\frac{1}{2}),\ (-1, -\frac{1}{2})\}\).

   

Barème : a) 0,5 point par implication ; b) 0,5 point pour la définition et l’unicité, 0,5 point pour les puissances, 0,5 point pour la conclusion ; c) 0,5 point pour l’écriture \(\rho R_\theta\), 1 point pour la majoration et la limite ; d) 1 point pour les six suites extraites, 1 point pour l’absence d’autre valeur d’adhérence.

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