Contrôle de maths L3 : partiel final : intégration et probabilités

Exercice 1 : Question de cours : convergence dominée et continuité (3,5 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits. Les valeurs numériques utiles sont données dans l’exercice 5.

Toutes les variables aléatoires sont définies sur un espace probabilisé \((\Omega, \mathcal{A}, \mathbb{P})\). Pour une variable réelle \(X\), on note \(\varphi_X(t) = \mathbb{E}[e^{itX}]\).

1. Énoncez le théorème de convergence dominée pour une suite de fonctions sur un espace mesuré \((E, \mathcal{T}, \mu)\). (1 point)
2. Énoncez le théorème de dérivation sous le signe intégrale pour \(F(s) = \displaystyle\int_E f(s, x)\,\mathrm{d}\mu(x)\), où \(s\) décrit un intervalle ouvert de \(\mathbb{R}\). (1 point)
3. Démontrez que, pour toute variable aléatoire réelle \(X\), la fonction \(\varphi_X\) est continue sur \(\mathbb{R}\). (1,5 point)

Exercice 2 : Passages à la limite dans une espérance (4 points)

Dans cet exercice, \(X\) est une variable aléatoire à valeurs dans \([0, +\infty[\).

1. On suppose \(X\) intégrable. Montrez que \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} n\,\mathbb{E}[\ln(1 + \dfrac{X}{n})] = \mathbb{E}[X]\). (1,5 point)
2. Sans hypothèse d’intégrabilité, montrez que \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty}\mathbb{E}[(1 + \dfrac{X}{n})^{-n}] = \mathbb{E}[e^{-X}]\). Calculez cette limite lorsque \(X\) suit la loi uniforme sur \([0, 2]\). (1 point)
3. On pose \(L(s) = \mathbb{E}[e^{-sX}]\) pour \(s \geq\, 0\). Montrez que \(L\) est continue sur \([0, +\infty[\), puis dérivable sur \(]0, +\infty[\) avec \(L^{\prime}(s) = -\mathbb{E}[Xe^{-sX}]\). (1,5 point)

Exercice 3 : La loi de Cauchy (4 points)

Soit \(X\) une variable de densité \(f(x) = \dfrac{1}{\pi(1 + x^2)}\) sur \(\mathbb{R}\) (loi de Cauchy). On admet que \(\displaystyle\int_{\mathbb{R}}\dfrac{\cos(tx)}{1 + x^2}\,\mathrm{d}x = \pi e^{-|t|}\) pour tout réel \(t\).

1. Montrez que \(\varphi_X(t) = e^{-|t|}\). La variable \(X\) est-elle intégrable ? (1 point)
2. Soit \((X_k)_{k \geq\, 1}\) une suite de variables indépendantes de même loi que \(X\), et \(\overline{X}_n = \dfrac{X_1 + \cdots + X_n}{n}\). Déterminez la loi de \(\overline{X}_n\). Montrez que \(\overline{X}_n\) ne converge en probabilité vers aucune constante. Pourquoi cela ne contredit-il pas la loi des grands nombres ? (1,5 point)
3. Montrez, par la méthode de la fonction muette, que \(\dfrac{1}{X}\) suit encore la loi de Cauchy. (1,5 point)

Exercice 4 : Fubini-Tonelli et queue de distribution (3,5 points)

Soit \(X\) une variable aléatoire à valeurs dans \([0, +\infty[\).

1. Montrez que \(\mathbb{E}[X] = \displaystyle\int_0^{+\infty}\mathbb{P}(X > t)\,\mathrm{d}t\), dans \([0, +\infty]\). Citez précisément le théorème utilisé. (1,5 point)
2. Montrez de même que \(\mathbb{E}[X^2] = \displaystyle\int_0^{+\infty}2t\,\mathbb{P}(X > t)\,\mathrm{d}t\). (1 point)
3. On suppose que \(\mathbb{P}(X > t) = \dfrac{1}{(1 + t)^3}\) pour tout \(t \geq\, 0\). Calculez \(\mathbb{E}[X]\), \(\mathbb{E}[X^2]\) et \(\operatorname{Var}(X)\). (1 point)

Exercice 5 : Problème : méthode de Monte-Carlo et intervalle de confiance (5 points)

On pose \(g(x) = \dfrac{4}{1 + x^2}\), de sorte que \(\displaystyle\int_0^1 g(x)\,\mathrm{d}x = 4\arctan 1 = \pi\). Soit \((U_k)_{k \geq\, 1}\) une suite de variables indépendantes de loi uniforme sur \([0, 1]\). On pose \(G_k = g(U_k)\) et \(I_n = \dfrac{G_1 + \cdots + G_n}{n}\).

On donne : \(\pi^2 \approx 9{,}8696\), \(2\pi \approx 6{,}2832\), \(\sqrt{0{,}4136} \approx 0{,}6431\) et \(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\), où \(\Phi\) est la fonction de répartition de \(\mathcal{N}(0, 1)\).

1. Énoncez la loi forte des grands nombres (admise). Montrez que \(I_n\) converge presque sûrement vers \(\pi\). (1 point)
2. Calculez \(\displaystyle\int_0^1\dfrac{\mathrm{d}x}{(1 + x^2)^2}\) à l’aide du changement de variable \(x = \tan\theta\). Déduisez-en que \(\sigma^2 = \operatorname{Var}(G_1) = 2\pi + 4 – \pi^2\). (1,5 point)
3. À l’aide du théorème central limite, construisez un intervalle de confiance asymptotique de niveau \(95\,\%\) pour \(\pi\). Comment faire en pratique, puisque \(\sigma\) dépend de \(\pi\) ? On pourra admettre le lemme de Slutsky. (1,5 point)
4. Pour \(n = 10\,000\), donnez la demi-largeur de cet intervalle. On estime aussi \(\pi\) par la moyenne des \(4\sqrt{1 – U_k^2}\). Calculez la variance de \(4\sqrt{1 – U_1^2}\), puis comparez les deux méthodes. (1 point)

Réviser avant le contrôle : partiel final : intégration et probabilités

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Intégrale de Lebesgue » en L3 et « Variables aléatoires et espérance » en L3 et « Loi des grands nombres et TCL » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés intégrale de lebesgue, variables aléatoires et espérance, loi des grands nombres et tcl.

Retrouvez tous les contrôles de maths de L3 classés par chapitre, ou choisissez un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP au post-bac.

Autres contrôles de maths de L3 sur ce thème

• Contrôle de maths L3 : convergence monotone et lemme de Fatou
• Contrôle de maths L3 : convergence dominée et intégrales à paramètre
• Contrôle de maths L3 : loi d’un vecteur aléatoire et indépendance
• Contrôle de maths L3 : modes de convergence, Borel-Cantelli et TCL