Contrôle de maths L3 : complétude, espaces de Banach et point fixe

Exercice 1 : Question de cours, complétude de C([a,b]) (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits. Durée : 2 heures.

Pour \(a < b\), on note \(C([a,b])\) l’espace des fonctions continues de \([a,b]\) dans \(\mathbb{R}\), muni de la norme \(N_\infty(f) = \sup_{x \in [a,b]} |f(x)|\).

1. Démontrez que \((C([a,b]), N_\infty)\) est un espace de Banach. (2,5 points)
2. Soit \((X, d)\) un espace métrique. Démontrez que si \(X\) est complet, toute partie fermée de \(X\) est complète, et que toute partie complète de \(X\) est fermée dans \(X\). (1,5 point)

Exercice 2 : Sous-espaces fermés ou non (4 points)

On note \(E = C([0,1])\), muni de \(N_\infty\) sauf mention contraire.

1. Montrez que \(H = \{f \in E : f(0) = 0\}\) est un sous-espace fermé de \(E\). Est-il complet ? (1 point)
2. Montrez que le sous-espace \(\mathcal{P}\) des fonctions polynomiales sur \([0,1]\) n’est pas fermé dans \(E\). On pourra considérer les sommes partielles de la série de l’exponentielle. Que peut-on en déduire pour \((\mathcal{P}, N_\infty)\) ? (1,5 point)
3. On munit maintenant \(E\) de la norme \(N_1(f) = \int_0^1 |f(t)|\,\mathrm{d}t\). Pour \(n \geq\, 2\), on définit \(f_n \in E\) par \(f_n(t) = 0\) sur \([0, \frac{1}{2}]\), \(f_n(t) = n(t – \frac{1}{2})\) sur \([\frac{1}{2}, \frac{1}{2} + \frac{1}{n}]\) et \(f_n(t) = 1\) sur \([\frac{1}{2} + \frac{1}{n}, 1]\). Montrez que \((f_n)\) est de Cauchy pour \(N_1\) mais ne converge pas dans \((E, N_1)\). (1,5 point)

Exercice 3 : Séries dans un espace de Banach (4 points)

Soit \((E, \|\cdot\|)\) un espace vectoriel normé.

1. On suppose \(E\) complet. Montrez que toute série \(\sum u_n\) d’éléments de \(E\) telle que \(\sum \|u_n\|\) converge est convergente, et que \(\|\sum_{n=0}^{+\infty} u_n\| \leq\, \sum_{n=0}^{+\infty}\|u_n\|\). (1,5 point)
2. On munit \(M_d(\mathbb{R})\) d’une norme subordonnée \(|||\cdot|||\). Soit \(A \in M_d(\mathbb{R})\) telle que \(|||A||| < 1\). Montrez que \(I_d – A\) est inversible, que \((I_d – A)^{-1} = \sum_{k=0}^{+\infty} A^k\) et que \(|||(I_d – A)^{-1}||| \leq\, \dfrac{1}{1 – |||A|||}\). (1,5 point)
3. Réciproquement, on suppose que dans \(E\) toute série absolument convergente converge. Montrez que \(E\) est complet. (1 point)

Exercice 4 : Problème, une équation intégrale de Fredholm (8 points)

On note \(E = C([0,1])\) muni de \(N_\infty\). Soit \(K : [0,1]^2 \to \mathbb{R}\) continue, \(M = \max_{[0,1]^2} |K|\), \(g \in E\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\). Pour \(f \in E\), on définit la fonction \(T(f)\) sur \([0,1]\) par
\[T(f)(x) = g(x) + \lambda\int_0^1 K(x, t)f(t)\,\mathrm{d}t.\]
On cherche les \(f \in E\) telles que \(T(f) = f\) (équation de Fredholm de seconde espèce).

1. Montrez que \(T(f) \in E\) pour tout \(f \in E\). (1,5 point)
2. Montrez que \(N_\infty(T(f) – T(h)) \leq\, |\lambda| M\, N_\infty(f – h)\) pour tous \(f, h \in E\). (1 point)
3. On suppose \(k = |\lambda| M < 1\). Démontrez que l’équation \(T(f) = f\) admet une unique solution \(f^{*} \in E\), que pour tout \(f_0 \in E\) la suite définie par \(f_{n+1} = T(f_n)\) converge vers \(f^{*}\), et que \(N_\infty(f_n – f^{*}) \leq\, \dfrac{k^n}{1 – k}N_\infty(f_1 – f_0)\). (2 points)
4. On suppose de plus \(g \geq\, 0\), \(K \geq\, 0\) et \(\lambda \geq\, 0\). Montrez que \(E^{+} = \{f \in E : f \geq\, 0\}\) est un fermé de \(E\) stable par \(T\) et déduisez-en que \(f^{*} \geq\, 0\). (1 point)
5. Dans cette question et la suivante, \(K(x, t) = xt\), \(g(x) = x\) et \(\lambda = \frac{1}{2}\). Vérifiez que \(k = \frac{1}{2}\), puis déterminez \(f^{*}\) en la cherchant sous la forme \(f^{*}(x) = ax\). (1,5 point)
6. On part de \(f_0 = 0\). Montrez que \(f_n(x) = a_n x\) avec \(a_{n+1} = 1 + \frac{a_n}{6}\), puis exprimez \(N_\infty(f_n – f^{*})\) en fonction de \(n\). Combien d’itérations la majoration de c) impose-t-elle pour garantir une erreur au plus \(10^{-3}\), et combien en faut-il réellement ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : complétude, espaces de Banach et point fixe

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Complétude et point fixe » en L3 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés complétude et point fixe.

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