Ce QCM vérifie la maîtrise des probabilités fondées sur la mesure en L3 : variables aléatoires et lois, méthode de la fonction muette, indépendance, vecteurs gaussiens, fonction caractéristique et espérance conditionnelle. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Espaces probabilisés, variables aléatoires et espérance du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Variables aléatoires et espérance - QCM de maths en L3
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Question 1
Qu’appelle-t-on la loi d’une variable aléatoire réelle \(X\) définie sur \((\Omega,\mathcal{A},P)\) ?
ALa fonction \(X : \Omega\to\mathbb{R}\) elle-même
BLa restriction de \(P\) à la tribu \(\sigma(X)\)
CLa densité de \(X\) par rapport à la mesure de Lebesgue
DLa mesure image \(P_X = P\circ X^{-1}\) sur \((\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))\)
Question 2
Si \(X\) suit la loi uniforme sur \(]0,1[\), quelle est la loi de \(Y = -\ln X\) ?
ALa loi uniforme sur \(]0,1[\)
BLa loi exponentielle de paramètre \(1\)
CLa loi exponentielle de paramètre \(2\)
DLa loi normale centrée réduite
Question 3
Pour \(X\sim\mathcal{N}(0,1)\), que vaut \(E[X^4]\) ?
A\(4\)
B\(15\)
C\(1\)
D\(3\)
Question 4
Pour \(X\sim\mathcal{N}(0,1)\), quelle est la densité de \(Y = X^2\) sur \(]0,+\infty[\) ?
A\(\frac{1}{2\sqrt{2\pi y}}e^{-y/2}\)
B\(\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y/2}\)
C\(\frac{1}{\sqrt{2\pi y}}e^{-y/2}\)
D\(\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}\)
Question 5
Soit \(X\sim\mathcal{N}(0,1)\). Que dire de \(X\) et \(X^2\) ?
AElles sont décorrélées mais pas indépendantes
BElles sont corrélées positivement
CElles sont indépendantes car \(X\) est centrée
DElles sont indépendantes car leur covariance est nulle
Question 6
Deux variables aléatoires \(X\) et \(Y\), chacune de loi normale, ont une covariance nulle. Sont-elles indépendantes ?
AOui, dès qu’elles sont centrées
BPas nécessairement : il faut que \((X,Y)\) soit un vecteur gaussien
CNon, jamais
DOui, toujours, pour des variables gaussiennes
Question 7
Quelle est la fonction caractéristique \(\varphi_X(t) = E[e^{itX}]\) de la loi exponentielle de paramètre \(\lambda > 0\) ?
A\(\frac{\lambda}{\lambda + it}\)
B\(\frac{1}{1 - i\lambda t}\)
C\(\frac{\lambda}{\lambda - it}\)
D\(e^{-\lambda|t|}\)
Question 8
Si \(X\sim\mathcal{P}(\lambda)\) et \(Y\sim\mathcal{P}(\mu)\) sont indépendantes, quelle est la loi de \(X+Y\) ?
Soient \(X, Y\) indépendantes de loi \(\mathcal{N}(0,1)\) et \((R,\Theta)\) les coordonnées polaires de \((X,Y)\). Quelle est la densité de \(R\) sur \(]0,+\infty[\) ?
A\(r\,e^{-r^2/2}\)
B\(\frac{2}{\sqrt{2\pi}}e^{-r^2/2}\)
C\(e^{-r^2/2}\)
D\(r^2e^{-r^2/2}\)
Question 10
Soient \(X, Y\) indépendantes, de même loi et intégrables. Que vaut \(E[X\mid X+Y]\) ?
A\(X+Y\)
B\(X\)
C\(\frac{X+Y}{2}\)
D\(E[X]\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de variables aléatoires et espérance en L3
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
la loi d’une variable aléatoire comme mesure image ;
la méthode de la fonction muette et le changement de variables avec jacobien ;
l’indépendance et la différence avec la décorrélation ;
les vecteurs gaussiens et le critère d’indépendance par la covariance ;
le calcul de fonctions caractéristiques et la loi d’une somme ;
l’espérance conditionnelle dans des cas simples.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : conclure à l’indépendance de deux variables gaussiennes de covariance nulle. Il faut que le couple soit un vecteur gaussien : avec \(X\sim\mathcal{N}(0,1)\) et \(\varepsilon = \pm 1\) indépendant de loi uniforme, \(Y = \varepsilon X\) est gaussienne, \(\mathrm{Cov}(X,Y) = 0\), mais \(|X| = |Y|\).
Comment réviser avant de refaire le test
Pour trouver la loi de \(Y = \varphi(X)\), écrivez \(E[h(Y)] = \int h(\varphi(x))f_X(x)\,dx\) pour toute \(h\) mesurable bornée, puis faites le changement de variables \(y = \varphi(x)\) : la densité de \(Y\) se lit devant \(h(y)\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pourquoi la fonction caractéristique est-elle si utile ?
Elle caractérise la loi, transforme la somme de variables indépendantes en produit (\(\varphi_{X+Y} = \varphi_X\varphi_Y\)) et, par le théorème de Lévy, permet d’étudier la convergence en loi.
Espérance d’une variable discrète ou à densité : deux définitions ?
Non, une seule : \(E[X] = \int_\Omega X\,dP\). La méthode de transfert l’écrit \(\int_{\mathbb{R}}x\,dP_X(x)\), qui devient une somme pour une loi discrète et \(\int x\,f(x)\,dx\) pour une loi à densité.
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