Espaces métriques : QCM de maths en L3 corrigé

Sommaire

Ce QCM vérifie la maîtrise des espaces métriques en L3 : distances, boules, ouverts et fermés, adhérence et intérieur, continuité et comparaison de distances. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Espaces métriques : ouverts, fermés, continuité du programme de troisième année de licence de mathématiques (L3), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.

🎓 Espaces métriques - QCM de maths en L3

Score : 0 / 10

Répondues : 0 / 10

Question 1

Laquelle de ces applications \(d : \mathbb{R}\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}_+\) est une distance sur \(\mathbb{R}\) ?

A \(d(x,y) = |x^3 - y^3|\)

B \(d(x,y) = (x-y)^2\)

C \(d(x,y) = |\sin x - \sin y|\)

D \(d(x,y) = |x^2 - y^2|\)

Question 2

Sur un ensemble \(E\) à au moins deux éléments muni de la distance discrète (\(d(x,y)=1\) si \(x\neq y\)), que vaut la boule ouverte \(B(x,1)\) ?

A \(E\)

B \(\{x\}\)

C \(E\setminus\{x\}\)

D \(\varnothing\)

Question 3

Dans \(\mathbb{R}\) usuel, que valent l’intérieur et l’adhérence de \(\mathbb{Q}\) ?

A Intérieur \(\mathbb{Q}\), adhérence \(\mathbb{R}\)

B Intérieur \(\varnothing\), adhérence \(\mathbb{Q}\)

C Intérieur \(\varnothing\), adhérence \(\mathbb{R}\)

D Intérieur \(\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}\), adhérence \(\mathbb{R}\)

Question 4

Quelle est la frontière de \(A = [0,1[\,\cup\,\{2\}\) dans \(\mathbb{R}\) ?

A \(\{0, 1\}\)

B \(\{0, 2\}\)

C \(\{1, 2\}\)

D \(\{0, 1, 2\}\)

Question 5

Dans un espace métrique quelconque, que peut-on affirmer en général sur \(\overline{B(a,r)}\) (adhérence de la boule ouverte) et \(\overline{B}(a,r)\) (boule fermée) ?

A \(\overline{B(a,r)}\subset\overline{B}(a,r)\), l’inclusion pouvant être stricte

B \(\overline{B}(a,r)\subset\overline{B(a,r)}\), l’inclusion pouvant être stricte

C Il n’existe aucune inclusion générale entre les deux ensembles

D \(\overline{B(a,r)} = \overline{B}(a,r)\) dans tout espace métrique

Question 6

Soit \(F\) une partie d’un espace métrique \(E\). Laquelle de ces propriétés équivaut à « \(F\) est fermé » ?

A Toute suite d’éléments de \(F\) admet une sous-suite convergeant dans \(F\)

B Toute suite d’éléments de \(F\) est bornée

C Toute suite d’éléments de \(F\) qui converge dans \(E\) a sa limite dans \(F\)

D Toute suite de Cauchy d’éléments de \(F\) converge dans \(F\)

Question 7

Une application \(f : E\to F\) entre espaces métriques est continue si et seulement si :

A l’image réciproque par \(f\) de tout fermé de \(F\) est un ouvert de \(E\)

B l’image réciproque par \(f\) de tout ouvert de \(F\) est un ouvert de \(E\)

C l’image directe par \(f\) de tout ouvert de \(E\) est un ouvert de \(F\)

D l’image directe par \(f\) de tout fermé de \(E\) est un fermé de \(F\)

Question 8

Laquelle de ces fonctions définies sur \([0,+\infty[\) est uniformément continue sans être lipschitzienne ?

A \(x\mapsto\sin x\)

B \(x\mapsto x^2\)

C \(x\mapsto\frac{1}{1+x}\)

D \(x\mapsto\sqrt{x}\)

Question 9

Sur \(\mathbb{R}\), comparez \(d_1(x,y) = |x-y|\) et \(d_2(x,y) = |\arctan x - \arctan y|\).

A Elles sont topologiquement équivalentes mais pas lipschitz-équivalentes

B Elles ne définissent pas les mêmes suites convergentes

C Elles sont lipschitz-équivalentes

D Elles ne sont pas topologiquement équivalentes car \(d_2\) est bornée

Question 10

Sur \(E\times F\) muni de \(d\big((x,y),(x',y')\big) = \max\big(d_E(x,x'), d_F(y,y')\big)\), à quoi est égale la boule ouverte \(B\big((a,b),r\big)\) ?

A \(B_E(a,\sqrt{r})\times B_F(b,\sqrt{r})\)

B \(B_E(a,r)\times B_F(b,r)\)

C \(\overline{B}_E(a,r)\times\overline{B}_F(b,r)\)

D \(B_E(a,\frac{r}{2})\times B_F(b,\frac{r}{2})\)

🎉 QCM terminé !

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Ce que vérifie ce QCM de espaces métriques en L3

Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :

les trois axiomes d’une distance (séparation, symétrie, inégalité triangulaire) ;
les boules ouvertes et fermées, y compris pour la distance discrète ;
le calcul d’intérieur, d’adhérence et de frontière ;
la caractérisation séquentielle des fermés ;
la continuité par image réciproque d’ouverts, la continuité uniforme et les applications lipschitziennes ;
les distances équivalentes et la distance produit.

L’erreur la plus fréquente

L’erreur classique : croire que l’adhérence de la boule ouverte \(B(a,r)\) est toujours la boule fermée \(\overline{B}(a,r)\). C’est vrai dans un espace normé, mais faux pour la distance discrète, où \(B(a,1) = \{a\}\) est fermée alors que \(\overline{B}(a,1)\) est l’espace entier.

Comment réviser avant de refaire le test

Gardez sous la main trois espaces tests : \(\mathbb{R}\) usuel, un ensemble muni de la distance discrète et \(\mathbb{Q}\). Presque tous les contre-exemples du chapitre s’y trouvent. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.

Les autres QCM de maths en L3

Dans la continuité du programme, voici les chapitres voisins : Espaces vectoriels normés, Compacité et connexité. Par ailleurs, le sommaire des QCM de maths en L3 rassemble les 20 chapitres de l’année. Enfin, la page des QCM de maths du CP au post-bac présente tous les niveaux, de l’école primaire à la licence.

Questions fréquentes

Deux distances topologiquement équivalentes ont-elles les mêmes suites de Cauchy ?

Non. Sur \(\mathbb{R}\), \(|x-y|\) et \(|\arctan x – \arctan y|\) définissent les mêmes ouverts, mais \((n)\) est de Cauchy pour la seconde et pas pour la première. Seule l’équivalence lipschitzienne (ou uniforme) préserve les suites de Cauchy.

Pourquoi préférer la caractérisation par les ouverts à celle par les suites ?

Les deux sont équivalentes dans un espace métrique, mais l’image réciproque d’ouverts se manipule sans quantificateurs et se généralise aux espaces topologiques. Les suites restent l’outil le plus rapide pour montrer qu’une application n’est pas continue.