Contrôle de maths L2 : séries entières et rayon de convergence

Exercice 1 : Question de cours : lemme d’Abel et série dérivée (4 points)

Calculatrice interdite. Documents interdits.

Dans tout le sujet, \((a_n)_{n \geq\, 0}\) désigne une suite de nombres complexes et \(R\) le rayon de convergence de la série entière \(\sum a_n z^n\).

1. Énoncez et démontrez le lemme d’Abel : si la suite \((a_n r_0^n)\) est bornée pour un réel \(r_0 > 0\), alors la série \(\sum a_n z^n\) converge absolument pour tout complexe \(z\) tel que \(|z| < r_0\). (2 points)
2. Démontrez que la série entière dérivée \(\sum_{n \geq\, 1} n a_n z^{n-1}\) a le même rayon de convergence \(R\) que \(\sum a_n z^n\). (2 points)

Exercice 2 : Quatre rayons de convergence (4 points)

Déterminez le rayon de convergence de chacune des séries entières suivantes, en justifiant soigneusement.

1. \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 0} \frac{n^2}{3^n} z^n\). (1 point)
2. \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 0} \binom\,{2n}{n} z^n\). (1 point)
3. \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 0} \frac{z^{2n}}{4^n (n+1)}\). (1 point)
4. \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 0} \sin(n) z^n\). On pourra commencer par démontrer que la suite \((\sin n)\) ne tend pas vers \(0\). (1 point)

Exercice 3 : Sommes de séries entières (4 points)

Dans cet exercice, \(x\) désigne un réel.

1. Justifiez que, pour tout \(x \in ]-1, 1[\), on a \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 1} n x^n = \frac{x}{(1-x)^2}\), puis calculez \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 1} n^2 x^n\). (2 points)
2. En déduire la valeur de \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 1} \frac{n^2}{2^n}\). (0,5 point)
3. Déterminez le rayon de convergence de \(\displaystyle \sum_{n \geq\, 1} \frac{x^n}{n(n+1)}\), puis exprimez sa somme \(S(x)\) à l’aide de fonctions usuelles pour \(x \in ]-1, 1[\). (1,5 point)

Exercice 4 : Développements en série entière (3 points)

1. Décomposez en éléments simples \(f(x) = \dfrac{1}{(1-x)(2-x)}\), puis développez \(f\) en série entière au voisinage de \(0\). Précisez le rayon de convergence obtenu. (1,5 point)
2. Développez en série entière la fonction arc tangente au voisinage de \(0\), en précisant le rayon de convergence et le théorème utilisé. (1,5 point)

Exercice 5 : Problème : une équation différentielle résolue par série entière (5 points)

On considère l’équation différentielle linéaire
\[(E) : \quad 4x\, y^{\prime\prime}(x) + 2\, y^{\prime}(x) – y(x) = 0.\]
On cherche d’abord les solutions de \((E)\) sur \(]-R, R[\) de la forme \(y(x) = \sum_{n \geq\, 0} a_n x^n\), où la série entière a un rayon \(R > 0\).

1. Démontrez qu’une telle fonction est solution de \((E)\) si et seulement si \(2n(2n-1)\, a_n = a_{n-1}\) pour tout entier \(n \geq\, 1\). (1,5 point)
2. Exprimez \(a_n\) en fonction de \(a_0\) et de \(n\), déterminez le rayon de convergence de la série obtenue, puis exprimez sa somme à l’aide de fonctions usuelles, séparément pour \(x \geq\, 0\) et pour \(x < 0\). (1,5 point)
3. Vérifiez que la fonction \(h : x \mapsto \operatorname{sh}(\sqrt{x})\) est solution de \((E)\) sur \(]0, +\infty[\). Est-elle la restriction d’une fonction développable en série entière au voisinage de \(0\) ? (1 point)
4. Déterminez toutes les solutions de \((E)\) sur \(]0, +\infty[\). Lesquelles se prolongent en une fonction développable en série entière au voisinage de \(0\) ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : séries entières et rayon de convergence

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Séries entières » en L2 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés séries entières.

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