Contrôle de maths L1 : applications linéaires, noyau, image et rang

Exercice 1 : Question de cours : injectivité et théorème du rang (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans tout l’exercice, \(E\) et \(F\) sont deux \(\mathbb{R}\)-espaces vectoriels et \(f \in \mathcal{L}(E, F)\).

1. Démontrez que \(f\) est injective si et seulement si \(\operatorname{Ker} f = \{0_E\}\). (1 point)
2. On suppose \(E\) de dimension finie. Énoncez le théorème du rang. Déduisez-en que, pour un endomorphisme \(u\) de \(E\), les trois propriétés « \(u\) injectif », « \(u\) surjectif » et « \(u\) bijectif » sont équivalentes. (2 points)

Exercice 2 : Une application de R³ dans R² (4 points)

On définit \(f : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^2\) par \(f(x, y, z) = (x – y + 2z,\; 2x + y + z)\).

1. Montrez que \(f\) est linéaire. (0,5 point)
2. Déterminez \(\operatorname{Ker} f\) et donnez-en une base. (1,5 point)
3. Déduisez-en le rang de \(f\) sans calculer l’image. L’application \(f\) est-elle surjective ? injective ? (1 point)
4. Déterminez l’ensemble des antécédents du vecteur \((1, 2)\) par \(f\). (1 point)

Exercice 3 : La dérivation sur les polynômes (4 points)

Soit \(n \geq\, 1\) un entier. On note \(\mathbb{R}_n[X]\) l’espace des polynômes réels de degré au plus \(n\), et \(D : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}_n[X]\) l’application définie par \(D(P) = P^{\prime}\).

1. Justifiez que \(D\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\). (0,5 point)
2. Déterminez \(\operatorname{Ker} D\). À l’aide du théorème du rang, déterminez ensuite \(\operatorname{Im} D\). (1,5 point)
3. Montrez que \(D^{n+1} = 0\) et que \(D^{n} \neq 0\). (1 point)
4. On pose \(\psi = \mathrm{id} – D\). Montrez que \(\psi\) est un automorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\) et que \(\psi^{-1} = \mathrm{id} + D + D^2 + \cdots + D^n\). Pour \(n = 2\), déduisez-en l’unique polynôme \(P\) tel que \(P – P^{\prime} = X^2\). (1 point)

Exercice 4 : Projection sur un plan parallèlement à une droite (4 points)

Dans \(\mathbb{R}^3\), on considère le plan \(\mathcal{P}\) d’équation \(x + y – z = 0\) et la droite \(\mathcal{D} = \operatorname{Vect}(u)\), où \(u = (1, 1, 1)\). La figure ci-dessous représente \(\mathcal{P}\), \(\mathcal{D}\), le vecteur \(w = (1, 2, 1)\) et son projeté \(p(w)\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Montrez que \(\mathcal{P}\) et \(\mathcal{D}\) sont supplémentaires dans \(\mathbb{R}^3\). (1 point)
2. On note \(p\) la projection sur \(\mathcal{P}\) parallèlement à \(\mathcal{D}\). Déterminez \(p(x, y, z)\) pour tout \((x, y, z) \in \mathbb{R}^3\), puis calculez \(p(w)\). (1,5 point)
3. Écrivez la matrice \(M\) de \(p\) dans la base canonique et vérifiez que \(M^2 = M\). (0,5 point)
4. On note \(s\) la symétrie par rapport à \(\mathcal{P}\) parallèlement à \(\mathcal{D}\). Exprimez \(s\) à l’aide de \(p\), puis déterminez \(s(x, y, z)\). Vérifiez que \(s(u) = -u\). (1 point)

Exercice 5 : Problème : un endomorphisme nilpotent (5 points)

Soit \(E\) un \(\mathbb{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n \geq\, 1\) et \(u \in \mathcal{L}(E)\). On dit que \(u\) est nilpotent d’indice \(p \geq\, 1\) si \(u^p = 0\) et \(u^{p-1} \neq 0\), avec la convention \(u^0 = \mathrm{id}_E\).

Partie A : cas général

1. On suppose \(u\) nilpotent d’indice \(p\). Soit \(x \in E\) tel que \(u^{p-1}(x) \neq 0\). Démontrez que la famille \(\big(x, u(x), \ldots, u^{p-1}(x)\big)\) est libre. (1,5 point)
2. Déduisez-en que \(p \leq\, n\), puis que \(u^n = 0\). (0,5 point)

Partie B : un exemple dans R³

Soit \(v\) l’endomorphisme de \(\mathbb{R}^3\) de matrice dans la base canonique \((e_1, e_2, e_3)\) :

\[A = \begin{pmatrix} -1 -1 -1 \\ -1 0 -1 \\ 1 1 1 \end{pmatrix}.\]

3. Calculez \(A^2\) et \(A^3\). Quel est l’indice de nilpotence de \(v\) ? (1 point)
4. Déterminez \(\operatorname{Ker} v\), \(\operatorname{Im} v\) et le rang de \(v\). Vérifiez que \(\operatorname{Ker} v \subset \operatorname{Im} v\). (1 point)
5. Montrez que \(\mathcal{B}^{\prime} = \big(e_1, v(e_1), v^2(e_1)\big)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\) et donnez la matrice de \(v\) dans cette base. (1 point)

Réviser avant le contrôle : applications linéaires, noyau, image et rang

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Applications linéaires » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés applications linéaires.

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