Contrôle de maths L1 : polynômes, racines et fractions rationnelles

Exercice 1 : Question de cours : racines multiples et dérivées (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans tout l’exercice, \(\mathbb{K}\) désigne \(\mathbb{R}\) ou \(\mathbb{C}\), \(P\) est un polynôme non nul de \(\mathbb{K}[X]\) et \(a \in \mathbb{K}\).

1. Énoncez la formule de Taylor pour le polynôme \(P\) au point \(a\). (1 point)
2. Démontrez que \(a\) est racine de \(P\) d’ordre de multiplicité au moins 2 si et seulement si \(P(a) = 0\) et \(P^{\prime}(a) = 0\). (2 points)

Exercice 2 : Division euclidienne et ordre de multiplicité (4 points)

1. Effectuez la division euclidienne de \(A = X^4 + 2X^3 – X + 3\) par \(B = X^2 + X + 1\). (1,5 point)
2. On considère \(P = X^5 – 6X^4 + 13X^3 – 14X^2 + 12X – 8\). Montrez que \(2\) est racine de \(P\) et déterminez son ordre de multiplicité à l’aide des dérivées successives. Factorisez ensuite \(P\) dans \(\mathbb{R}[X]\) puis dans \(\mathbb{C}[X]\). (2,5 points)

Exercice 3 : Relations entre coefficients et racines (3 points)

On note \(x_1\), \(x_2\), \(x_3\) les trois racines complexes, comptées avec multiplicité, du polynôme \(Q = X^3 – 2X^2 + 3X – 5\).

1. Donnez \(x_1 + x_2 + x_3\), \(x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3\) et \(x_1 x_2 x_3\), puis calculez \(x_1^2 + x_2^2 + x_3^2\). Que peut-on en déduire sur les racines de \(Q\) ? (1,5 point)
2. Calculez \(\dfrac{1}{x_1} + \dfrac{1}{x_2} + \dfrac{1}{x_3}\). (0,75 point)
3. Calculez \(x_1^3 + x_2^3 + x_3^3\). (0,75 point)

Exercice 4 : Factorisation de X^4 + 1 (3 points)

1. Déterminez les racines complexes de \(X^4 + 1\) sous forme exponentielle, puis factorisez ce polynôme dans \(\mathbb{C}[X]\). (1,5 point)
2. En regroupant les racines conjuguées, factorisez \(X^4 + 1\) en produit de polynômes irréductibles de \(\mathbb{R}[X]\). Vérifiez le résultat en développant. (1,5 point)

Exercice 5 : Problème : restes et éléments simples (7 points)

Partie A. Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2.

1. Justifiez que le reste de la division euclidienne de \(X^n\) par \((X-1)^2\) s’écrit \(R = aX + b\) avec \(a, b \in \mathbb{R}\), puis déterminez \(a\) et \(b\). (2 points)

Partie B. On considère les fractions rationnelles

\[F = \dfrac{X^2 + 1}{(X-1)^2\,(X+1)} \qquad \text{et} \qquad G = \dfrac{1}{X\,(X^2 + 1)}.\]

2. Justifiez l’absence de partie entière, puis décomposez \(F\) en éléments simples dans \(\mathbb{R}(X)\). (2,5 points)
3. Décomposez \(G\) en éléments simples dans \(\mathbb{R}(X)\). (1 point)
4. Décomposez \(G\) en éléments simples dans \(\mathbb{C}(X)\). (1,5 point)

Réviser avant le contrôle : polynômes, racines et fractions rationnelles

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Polynômes » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés polynômes.

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