Corrigé du contrôle de maths L1 : fonctions réciproques, arctan et hyperboliques

Exercice 1 : Dérivées des fonctions réciproques (4 points)

1. Théorème de la bijection : si \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), alors \(J = f(I)\) est un intervalle et \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J\) ; sa réciproque \(f^{-1}\) est continue sur \(J\) et de même monotonie que \(f\).

   Dérivabilité de la réciproque : si de plus \(f\) est dérivable en \(a \in I\) avec \(f^{\prime}(a) \neq 0\), alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(b = f(a)\) et \((f^{-1})^{\prime}(b) = \dfrac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(b))}\).

2. La fonction \(\tan\) est continue et dérivable sur \(I = ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\), avec \(\tan^{\prime} = 1 + \tan^2 > 0\) : elle y est strictement croissante. Ses limites aux bornes sont \(-\infty\) et \(+\infty\). Par le théorème de la bijection, \(\tan\) réalise une bijection de \(I\) sur \(\mathbb{R}\), dont la réciproque est \(\arctan\).

   Comme \(\tan^{\prime}\) ne s’annule jamais, \(\arctan\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et, pour tout réel \(x\) :

   \[\arctan^{\prime}(x) = \frac{1}{\tan^{\prime}(\arctan x)} = \frac{1}{1 + \tan^2(\arctan x)} = \frac{1}{1 + x^2}.\]

3. La fonction \(\sin\) est continue et strictement croissante sur \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), à valeurs dans \([-1, 1]\) : sa réciproque est \(\arcsin\). Sa dérivée \(\cos\) ne s’annule pas sur \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\), dont l’image est \(]-1, 1[\). Donc \(\arcsin\) est dérivable sur \(]-1, 1[\) et \(\arcsin^{\prime}(x) = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)}\).

   Pour \(x \in ]-1, 1[\), \(\theta = \arcsin x \in ]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\), donc \(\cos \theta > 0\) et \(\cos \theta = \sqrt{1 – \sin^2 \theta} = \sqrt{1 – x^2}\). Ainsi \(\arcsin^{\prime}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\).

Erreur fréquente : écrire \(\cos \theta = \pm\sqrt{1 – x^2}\) sans trancher. C’est l’intervalle de \(\theta\) qui impose le signe positif.

Barème : a) 1 point : 0,5 point par énoncé ; b) 1,5 point : 0,5 point pour la bijection, 1 point pour le calcul de la dérivée ; c) 1,5 point : 0,5 point pour la dérivabilité sur l’intervalle ouvert, 1 point pour \(\cos(\arcsin x) = \sqrt{1 – x^2}\) justifié.

Exercice 2 : Identités et simplifications circulaires (5 points)

1. On pose \(g(x) = \arctan x + \arctan \dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\). La fonction \(g\) est dérivable et

   \[g^{\prime}(x) = \frac{1}{1 + x^2} + (-\frac{1}{x^2}) \times \frac{1}{1 + \frac{1}{x^2}} = \frac{1}{1 + x^2} – \frac{1}{x^2 + 1} = 0.\]

   Sur l’intervalle \(]0, +\infty[\), une fonction de dérivée nulle est constante : \(g(x) = g(1) = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}\). Sur l’intervalle \(]-\infty, 0[\), \(g(x) = g(-1) = -\dfrac{\pi}{2}\) (on peut aussi utiliser l’imparité de \(g\)).

   Pour \(x > 0\), \(\arctan x + \arctan \frac{1}{x} = \frac{\pi}{2}\) ; pour \(x < 0\), cette somme vaut \(-\frac{\pi}{2}\).

2. Par définition, \(\arcsin(\sin x)\) est l’unique \(\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) tel que \(\sin \theta = \sin x\). Pour \(x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\), on a \(\pi – x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) et \(\sin(\pi – x) = \sin x\). Donc \(\arcsin(\sin x) = \pi – x\).
3. Avec \(3{,}14 < \pi < 3{,}15\), on obtient \(9{,}42 < 3\pi < 9{,}45\), donc \(-0{,}58 < 3\pi – 10 < -0{,}55\). En particulier \(3\pi – 10 \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\).

   Par ailleurs, \(\sin(3\pi – 10) = \sin(\pi – 10 + 2\pi) = \sin(\pi – 10) = \sin 10\).

   Donc \(\arcsin(\sin 10) = 3\pi – 10\), qui vaut environ \(-0{,}575\).

Erreur fréquente : écrire \(\arcsin(\sin 10) = 10\). La fonction \(\arcsin\) prend ses valeurs dans \([-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), qui ne contient pas \(10\).

Barème : a) 2 points : 1 point pour \(g^{\prime} = 0\), 0,5 point pour la constante sur chaque intervalle, 0,5 point pour le cas \(x < 0\) ; b) 1,5 point : 0,5 point pour la définition, 1 point pour \(\pi – x\) justifié ; c) 1,5 point : 0,5 point pour l’encadrement, 0,5 point pour l’égalité des sinus, 0,5 point pour le résultat.

Exercice 3 : Fonctions hyperboliques (5 points)

1. Pour tout réel \(x\) :

   \[\operatorname{ch}^2 x – \operatorname{sh}^2 x = (\operatorname{ch} x – \operatorname{sh} x)(\operatorname{ch} x + \operatorname{sh} x) = \mathrm{e}^{-x} \times \mathrm{e}^{x} = 1.\]

   Les fonctions \(\operatorname{ch}\) et \(\operatorname{sh}\) sont dérivables avec \(\operatorname{ch}^{\prime} = \operatorname{sh}\) et \(\operatorname{sh}^{\prime} = \operatorname{ch}\), et \(\operatorname{ch} > 0\). Par la dérivée d’un quotient :

   \[\operatorname{th}^{\prime}(x) = \frac{\operatorname{ch}^2 x – \operatorname{sh}^2 x}{\operatorname{ch}^2 x} = \frac{1}{\operatorname{ch}^2 x} = 1 – \operatorname{th}^2 x.\]

2. On pose \(X = \mathrm{e}^x > 0\). L’équation devient \(X + \dfrac{1}{X} = 4\), soit \(X^2 – 4X + 1 = 0\). Son discriminant vaut \(16 – 4 = 12\), donc \(X = 2 + \sqrt{3}\) ou \(X = 2 – \sqrt{3}\), deux réels strictement positifs. Comme \((2 – \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 1\), on a \(\ln(2 – \sqrt{3}) = -\ln(2 + \sqrt{3})\).

   Les solutions sont \(x = \ln(2 + \sqrt{3})\) et \(x = -\ln(2 + \sqrt{3})\).

3. La fonction \(\operatorname{sh}\) est continue, dérivable, et \(\operatorname{sh}^{\prime} = \operatorname{ch} > 0\) : elle est strictement croissante. Ses limites sont \(-\infty\) en \(-\infty\) et \(+\infty\) en \(+\infty\). Par le théorème de la bijection, \(\operatorname{sh}\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\).

   Soit \(x\) réel. On cherche \(y\) tel que \(\operatorname{sh} y = x\). Avec \(Y = \mathrm{e}^y > 0\), l’équation devient \(Y – \dfrac{1}{Y} = 2x\), soit \(Y^2 – 2xY – 1 = 0\). Ses racines sont \(x + \sqrt{x^2 + 1}\) et \(x – \sqrt{x^2 + 1}\). Comme \(\sqrt{x^2 + 1} > |x|\), la seconde est strictement négative et la première strictement positive. Donc \(Y = x + \sqrt{x^2 + 1}\).

   Ainsi \(\operatorname{argsh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\) pour tout réel \(x\).

Barème : a) 1,5 point : 0,5 point pour la relation fondamentale, 1 point pour \(\operatorname{th}^{\prime}\) ; b) 1,5 point : 0,5 point pour l’équation du second degré, 0,5 point pour les racines positives, 0,5 point pour les solutions ; c) 2 points : 0,5 point pour la bijection, 1 point pour la résolution, 0,5 point pour le choix de la racine positive.

Exercice 4 : Étude d’une fonction composée avec arctan (6 points)

1. La fonction \(u : x \mapsto \dfrac{x – 1}{x + 1}\) est dérivable sur \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\) (fonction rationnelle) et \(\arctan\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\). Par composition, \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\) et \(f^{\prime} = \dfrac{u^{\prime}}{1 + u^2}\), avec

   \[u^{\prime}(x) = \frac{(x + 1) – (x – 1)}{(x + 1)^2} = \frac{2}{(x + 1)^2}, \qquad 1 + u(x)^2 = \frac{(x + 1)^2 + (x – 1)^2}{(x + 1)^2} = \frac{2x^2 + 2}{(x + 1)^2}.\]

   Donc \(f^{\prime}(x) = \dfrac{2}{2x^2 + 2} = \dfrac{1}{1 + x^2}\).

2. La fonction \(f – \arctan\) a une dérivée nulle sur chacun des intervalles \(]-1, +\infty[\) et \(]-\infty, -1[\), donc elle est constante sur chacun d’eux.

   Sur \(]-1, +\infty[\) : en \(0\), \(f(0) – \arctan 0 = \arctan(-1) = -\dfrac{\pi}{4}\). Donc \(f(x) = \arctan x – \dfrac{\pi}{4}\).

   Sur \(]-\infty, -1[\) : quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(u(x)\) tend vers \(1\), donc \(f(x) – \arctan x\) tend vers \(\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{2} = \dfrac{3\pi}{4}\). Donc \(f(x) = \arctan x + \dfrac{3\pi}{4}\).

   Les constantes diffèrent parce que \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\) n’est pas un intervalle : une dérivée nulle n’entraîne la constance que sur un intervalle.

3. D’après b) : en \(+\infty\), \(f(x)\) tend vers \(\dfrac{\pi}{2} – \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}\) ; en \(-\infty\), vers \(-\dfrac{\pi}{2} + \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}\). À droite en \(-1\), \(f(x)\) tend vers \(-\dfrac{\pi}{4} – \dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\pi}{2}\) ; à gauche, vers \(-\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{3\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}\).

   Comme \(f^{\prime} > 0\), \(f\) est strictement croissante sur \(]-\infty, -1[\) et sur \(]-1, +\infty[\). La droite d’équation \(y = \frac{\pi}{4}\) est asymptote horizontale en \(-\infty\) et en \(+\infty\). Il n’y a pas d’asymptote verticale, car les limites en \(-1\) sont finies.

4. Les limites à gauche et à droite en \(-1\) sont \(\frac{\pi}{2}\) et \(-\frac{\pi}{2}\) : elles sont différentes, donc \(f\) n’est pas prolongeable par continuité en \(-1\). La courbe présente un saut d’amplitude \(\pi\) :

   

Barème : a) 2 points : 0,5 point pour la dérivabilité, 1 point pour \(u^{\prime}\) et \(1 + u^2\), 0,5 point pour la simplification ; b) 1,5 point : 0,5 point par intervalle, 0,5 point pour l’explication ; c) 1,5 point : 1 point pour les quatre limites, 0,5 point pour les variations et l’asymptote ; d) 1 point : 0,5 point pour la réponse justifiée, 0,5 point pour l’allure de la courbe.

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Après le corrigé du contrôle : fonctions réciproques, arctan et hyperboliques

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