Contrôle de maths L1 : fonctions réciproques, arctan et hyperboliques

Exercice 1 : Dérivées des fonctions réciproques (4 points)

Calculatrice interdite.

La figure ci-dessous représente la restriction de la fonction tangente à \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\) et la fonction arctangente. Les deux courbes sont symétriques par rapport à la droite d’équation \(y = x\).

1. Énoncez le théorème de la bijection pour une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle, ainsi que le théorème de dérivabilité de la fonction réciproque. (1 point)
2. Justifiez que \(\tan\) réalise une bijection de \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\) sur \(\mathbb{R}\), puis démontrez que \(\arctan\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) avec \(\arctan^{\prime}(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}\). (1,5 point)
3. Démontrez que \(\arcsin\) est dérivable sur \(]-1, 1[\) et que \(\arcsin^{\prime}(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 – x^2}}\). (1,5 point)

Exercice 2 : Identités et simplifications circulaires (5 points)

1. Démontrez que, pour tout réel \(x > 0\), \(\arctan x + \arctan \dfrac{1}{x} = \dfrac{\pi}{2}\), et donnez la valeur de cette somme pour \(x < 0\). (2 points)
2. Simplifiez \(\arcsin(\sin x)\) pour \(x \in [\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]\). (1,5 point)
3. Calculez \(\arcsin(\sin 10)\). On admet que \(3{,}14 < \pi < 3{,}15\). (1,5 point)

Exercice 3 : Fonctions hyperboliques (5 points)

On rappelle que \(\operatorname{ch} x = \dfrac{\mathrm{e}^x + \mathrm{e}^{-x}}{2}\), \(\operatorname{sh} x = \dfrac{\mathrm{e}^x – \mathrm{e}^{-x}}{2}\) et \(\operatorname{th} x = \dfrac{\operatorname{sh} x}{\operatorname{ch} x}\).

1. Démontrez que \(\operatorname{ch}^2 x – \operatorname{sh}^2 x = 1\) pour tout réel \(x\), puis que \(\operatorname{th}^{\prime}(x) = 1 – \operatorname{th}^2 x = \dfrac{1}{\operatorname{ch}^2 x}\). (1,5 point)
2. Résolvez dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(\operatorname{ch} x = 2\). (1,5 point)
3. Montrez que \(\operatorname{sh}\) réalise une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). En résolvant l’équation \(\operatorname{sh} y = x\), montrez que sa réciproque est \(\operatorname{argsh} x = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1})\). (2 points)

Exercice 4 : Étude d’une fonction composée avec arctan (6 points)

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\) par \(f(x) = \arctan(\dfrac{x – 1}{x + 1})\).

1. Justifiez que \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\) et montrez que \(f^{\prime}(x) = \dfrac{1}{1 + x^2}\). (2 points)
2. Déduisez-en une expression simple de \(f(x)\) sur \(]-1, +\infty[\), puis sur \(]-\infty, -1[\). Expliquez pourquoi les constantes diffèrent. (1,5 point)
3. Déterminez les limites de \(f\) en \(-\infty\), en \(+\infty\), à gauche et à droite en \(-1\). Donnez le sens de variation de \(f\) et ses asymptotes. (1,5 point)
4. La fonction \(f\) est-elle prolongeable par continuité en \(-1\) ? Tracez l’allure de sa courbe. (1 point)

Réviser avant le contrôle : fonctions réciproques, arctan et hyperboliques

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Fonctions usuelles » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés fonctions usuelles.

Retrouvez tous les contrôles de maths de L1 classés par chapitre, ou choisissez un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP au post-bac.