Corrigé du contrôle de maths L1 : réels, borne supérieure et partie entière

Exercice 1 : Question de cours : borne supérieure et propriété d’Archimède (4 points)

1. Supposons \(M = \sup A\). Par définition, \(M\) est un majorant de \(A\). Soit \(\varepsilon > 0\) : le réel \(M – \varepsilon\) est strictement inférieur à \(M\), le plus petit des majorants. Ce n’est donc pas un majorant de \(A\) : il existe \(a \in A\) tel que \(a > M – \varepsilon\).

   Réciproquement, supposons que \(M\) majore \(A\) et vérifie la condition. Soit \(M^{\prime}\) un majorant de \(A\) ; montrons par l’absurde que \(M \leq\, M^{\prime}\). Si \(M^{\prime} < M\), posons \(\varepsilon = M – M^{\prime} > 0\). Il existe alors \(a \in A\) tel que \(a > M – \varepsilon = M^{\prime}\), ce qui contredit le fait que \(M^{\prime}\) majore \(A\).

   Ainsi \(M\) est le plus petit des majorants : \(M = \sup A\).

2. Énoncé : pour tout \(x > 0\) et tout \(y \in \mathbb{R}\), il existe \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(nx > y\).

   Supposons par l’absurde qu’il existe \(x > 0\) et \(y\) réel tels que \(nx \leq\, y\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\). L’ensemble \(F = \{nx : n \in \mathbb{N}\}\) est alors non vide et majoré par \(y\). Il admet donc une borne supérieure \(M\).

   D’après a) avec \(\varepsilon = x > 0\), il existe \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(nx > M – x\). Alors \((n+1)x > M\), alors que \((n+1)x\) appartient à \(F\) : c’est absurde. La propriété d’Archimède est donc démontrée.

Barème : a) 1 point par implication ; b) 0,5 point pour l’énoncé, 0,5 point pour l’ensemble majoré et sa borne supérieure, 1 point pour la contradiction.

Exercice 2 : Valeur absolue et partie entière (5 points)

1. D’après l’inégalité triangulaire, \(|x| = |(x – y) + y| \leq\, |x – y| + |y|\), donc \(|x| – |y| \leq\, |x – y|\). En échangeant les rôles de \(x\) et \(y\), on obtient aussi \(|y| – |x| \leq\, |y – x| = |x – y|\).

   Les deux inégalités donnent \(\big||x| – |y|\big| \leq\, |x – y|\).

2. On distingue trois cas selon la position de \(x\) par rapport à \(-2\) et \(1\).

   Si \(x \geq\, 1\), l’inéquation s’écrit \(2x + 1 \leq\, 5\), soit \(x \leq\, 2\) : on obtient \([1, 2]\).

   Si \(-2 \leq\, x < 1\), elle s’écrit \((1 – x) + (x + 2) = 3 \leq\, 5\), toujours vrai : on obtient \([-2, 1[\).

   Si \(x < -2\), elle s’écrit \(-2x – 1 \leq\, 5\), soit \(x \geq\, -3\) : on obtient \([-3, -2[\).

   L’ensemble des solutions est \([-3, 2]\).

3. Posons \(m = E(x)\), de sorte que \(m \leq\, x < m + 1\).

   Si \(x < m + \dfrac{1}{2}\), alors \(2m \leq\, 2x < 2m + 1\), donc \(E(2x) = 2m\) et la différence vaut \(0\).

   Si \(x \geq\, m + \dfrac{1}{2}\), alors \(2m + 1 \leq\, 2x < 2m + 2\), donc \(E(2x) = 2m + 1\) et la différence vaut \(1\).

   Ainsi \(E(2x) – 2E(x) \in \{0, 1\}\), et elle vaut \(1\) exactement lorsque \(x – E(x) \geq\, \dfrac{1}{2}\).

4. Posons \(m = E(x)\). De \(m \leq\, x < m + 1\), on tire \(nm \leq\, nx < nm + n\). Or \(nm\) est un entier inférieur ou égal à \(nx\), donc \(nm \leq\, E(nx)\). De plus, \(E(nx) \leq\, nx < nm + n\).

   En divisant par \(n > 0\), on obtient \(m \leq\, \dfrac{E(nx)}{n} < m + 1\). Par définition de la partie entière, \(E(\dfrac{E(nx)}{n}) = m = E(x)\).

Barème : a) 0,5 point par inégalité ; b) 0,25 point par cas, 0,25 point pour la réunion ; c) 0,5 point pour l’encadrement, 0,5 point par cas ; d) 1 point pour l’encadrement de E(nx), 0,5 point pour la conclusion.

Exercice 3 : Bornes supérieures et inférieures (6 points)

Question a : l’ensemble A

1. Notons \(u_n = \dfrac{1}{n} + (-1)^n\). Si \(n\) est pair, \(n \geq\, 2\), donc \(u_n = 1 + \dfrac{1}{n} \leq\, \dfrac{3}{2}\). Si \(n\) est impair, \(u_n = -1 + \dfrac{1}{n} \leq\, 0\). Ainsi \(\dfrac{3}{2}\) majore \(A\) ; de plus, \(\dfrac{3}{2} = u_2 \in A\).

   Donc \(\dfrac{3}{2}\) est le plus grand élément de \(A\). Par conséquent, \(\sup A = \max A = \dfrac{3}{2}\), borne atteinte.

   Pour tout \(n\), \(\dfrac{1}{n} > 0\) et \((-1)^n \geq\, -1\), donc \(u_n > -1\) : \(-1\) minore \(A\) et n’est pas atteint. Soit \(\varepsilon > 0\). D’après la propriété d’Archimède, il existe un entier \(N \geq\, 1\) tel que \(N\varepsilon > 1\). L’entier impair \(n = 2N + 1\) vérifie alors \(n > N\), donc \(u_n = -1 + \dfrac{1}{n} < -1 + \varepsilon\).

   D’après la caractérisation (version borne inférieure), \(\inf A = -1\), et cette borne n’est pas atteinte : \(A\) n’a pas de plus petit élément.

   

Questions b et c : l’ensemble B et une somme d’ensembles

2. Pour \(x > 0\), on a \(\dfrac{x}{1+x} = 1 – \dfrac{1}{1+x}\), donc \(0 < \dfrac{x}{1+x} < 1\). Ainsi \(B\) est minoré par \(0\) et majoré par \(1\), et aucun de ces deux réels n’appartient à \(B\).

   Soit \(\varepsilon \in ]0, 1[\). D’une part, \(x = \dfrac{1}{\varepsilon}\) donne \(\dfrac{x}{1+x} = 1 – \dfrac{\varepsilon}{1 + \varepsilon} > 1 – \varepsilon\). D’autre part, \(x = \varepsilon\) donne \(\dfrac{\varepsilon}{1 + \varepsilon} < \varepsilon\). Pour \(\varepsilon \geq\, 1\), les mêmes éléments conviennent a fortiori.

   Donc \(\sup B = 1\) et \(\inf B = 0\), et aucune des deux bornes n’est atteinte.

3. L’ensemble \(C + D\) est non vide. Pour \(c \in C\) et \(d \in D\), \(c + d \leq\, \sup C + \sup D\) : il est donc majoré et admet une borne supérieure. Montrons que \(S = \sup C + \sup D\) vérifie la caractérisation.

   D’abord, \(S\) majore \(C + D\). Ensuite, soit \(\varepsilon > 0\). Il existe \(c \in C\) tel que \(c > \sup C – \dfrac{\varepsilon}{2}\), et \(d \in D\) tel que \(d > \sup D – \dfrac{\varepsilon}{2}\). Alors \(c + d \in C + D\) et \(c + d > S – \varepsilon\).

   Donc \(\sup(C + D) = \sup C + \sup D\).

Erreur fréquente : confondre borne supérieure et plus grand élément. Dans \(B\), la borne \(1\) existe sans appartenir à l’ensemble.

Barème : a) 1 point pour le maximum, 0,5 point pour le minorant, 1 point pour la preuve epsilon de la borne inférieure ; b) 0,5 point pour l’encadrement, 0,75 point pour chaque borne avec epsilon ; c) 0,5 point pour l’existence, 1 point pour la caractérisation.

Exercice 4 : Problème : densité de Q et des irrationnels (5 points)

1. Comme \(y – x > 0\), la propriété d’Archimède fournit un entier \(n\) tel que \(n(y – x) > 1\), et nécessairement \(n \geq\, 1\).

   Posons \(p = E(nx) + 1\), qui est un entier. Par définition de la partie entière, \(E(nx) \leq\, nx < E(nx) + 1\). On a donc \(nx < p\), et \(p \leq\, nx + 1 < nx + n(y – x) = ny\).

   En divisant par \(n > 0\) : \(x < \dfrac{p}{n} < y\). Le rationnel \(r = \dfrac{p}{n}\) appartient donc à \(]x, y[\).

2. Construisons une suite de rationnels par récurrence. D’après a), il existe \(r_1 \in \mathbb{Q}\) tel que \(x < r_1 < y\). Si \(r_k\) est construit avec \(x < r_k\), on applique a) à \(x < r_k\) : on obtient \(r_{k+1} \in \mathbb{Q}\) tel que \(x < r_{k+1} < r_k\).

   La suite \((r_k)\) est strictement décroissante, donc ses termes sont deux à deux distincts. L’intervalle \(]x, y[\) contient donc une infinité de rationnels.

3. On applique a) aux réels \(x – \sqrt{2} < y – \sqrt{2}\) : il existe \(r \in \mathbb{Q}\) tel que \(x – \sqrt{2} < r < y – \sqrt{2}\), donc \(x < r + \sqrt{2} < y\).

   Si \(r + \sqrt{2}\) était rationnel, \(\sqrt{2} = (r + \sqrt{2}) – r\) serait rationnel, comme différence de deux rationnels. C’est faux. Donc \(r + \sqrt{2}\) est un irrationnel de \(]x, y[\).

4. Soit \(t\) un réel. Supposons par l’absurde \(f(t) < t\). D’après a), il existe \(r \in \mathbb{Q}\) tel que \(f(t) < r < t\). Comme \(f\) est croissante et \(r < t\), on a \(f(r) \leq\, f(t)\), soit \(r \leq\, f(t)\) : cela contredit \(f(t) < r\).

   De même, si \(f(t) > t\), on choisit \(r \in \mathbb{Q}\) tel que \(t < r < f(t)\). Alors \(f(t) \leq\, f(r) = r\), ce qui est absurde. Donc \(f(t) = t\) pour tout réel \(t\) : \(f\) est l’identité.

Barème : a) 0,5 point pour Archimède, 1 point pour l’encadrement de p, 0,5 point pour la conclusion ; b) 0,5 point pour la construction, 0,5 point pour le caractère infini ; c) 0,5 point pour la translation, 0,5 point pour l’irrationalité ; d) 0,5 point par cas.

Revenir à l’énoncé du contrôle

Après le corrigé du contrôle : réels, borne supérieure et partie entière

Pour consolider ce que le corrigé vous a appris, relisez le cours « Nombres réels » en L1 puis entraînez-vous avec les exercices corrigés nombres réels.

Retrouvez tous les contrôles de maths de L1 classés par chapitre, ou choisissez un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP au post-bac.