Contrôle de maths sup : problème d’algèbre linéaire type concours

Exercice 1 : Questions de cours (3 points)

Calculatrice interdite.

Le sujet est un problème : les exercices 2 à 5 en forment les parties A à D. Chaque question peut être traitée en admettant les résultats des questions précédentes, qui sont tous donnés dans l’énoncé.

1. Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension finie, \(F\) un espace vectoriel et \(f \in \mathcal{L}(E, F)\). Énoncez et démontrez le théorème du rang, en utilisant un supplémentaire du noyau de \(f\). (2 points)
2. Démontrez que deux matrices carrées semblables ont la même trace et le même déterminant. (1 point)

Exercice 2 : Partie A, un endomorphisme de Rn[X] (4 points)

Dans tout le problème, \(n \geq\, 1\) est un entier fixé. Pour \(P \in \mathbb{R}_n[X]\), on pose \[u(P) = (X^2 – 1)\,P^{\prime\prime} + X\,P^{\prime}.\] On note \(\mathcal{B} = (1, X, \ldots, X^n)\) la base canonique de \(\mathbb{R}_n[X]\) et \(A\) la matrice de \(u\) dans \(\mathcal{B}\).

1. Démontrez que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathbb{R}_n[X]\). (1 point)
2. Montrez que, pour tout \(k \in [\![0, n]\!]\), \(u(X^k) = k^2 X^k – k(k-1)X^{k-2}\) (avec la convention \(X^{k-2} = 0\) si \(k < 2\)). Déduisez-en la forme de la matrice \(A\), puis écrivez-la entièrement lorsque \(n = 3\). (1,5 point)
3. Calculez la trace et le déterminant de \(u\). (1 point)
4. L’endomorphisme \(u\) est-il injectif ? Est-il un automorphisme ? (0,5 point)

Exercice 3 : Partie B, noyau, image et rang (4 points)

1. Soit \(P\) un polynôme non constant de degré \(d\) et de coefficient dominant \(a_d\). Déterminez le degré et le coefficient dominant de \(u(P)\). Déduisez-en que \(\operatorname{Ker} u = \mathbb{R}_0[X]\), ensemble des polynômes constants. (1,5 point)
2. Déduisez-en le rang de \(u\). (0,5 point)
3. Pour \(P \in \mathbb{R}_n[X]\), on pose \(g(\theta) = P(\cos\theta)\) pour \(\theta \in \mathbb{R}\). Montrez que, pour tout réel \(\theta\), \(u(P)(\cos\theta) = -g^{\prime\prime}(\theta)\). (1 point)
4. On définit \(\varphi : \mathbb{R}_n[X] \to \mathbb{R}\) par \(\varphi(P) = \dfrac{1}{\pi}\displaystyle\int_0^{\pi} P(\cos\theta)\,\mathrm{d}\theta\). Montrez que \(\varphi\) est une forme linéaire non nulle, puis que \(\operatorname{Im} u = \operatorname{Ker} \varphi\). (1 point)

Exercice 4 : Partie C, une base adaptée (5 points)

1. Soit \(k \in [\![1, n]\!]\). On note \(v = u – k^2\,\mathrm{id}\). Montrez que \(v\) induit un automorphisme de \(\mathbb{R}_{k-1}[X]\). Déduisez-en qu’il existe un unique polynôme unitaire \(P_k\) de degré \(k\) tel que \(u(P_k) = k^2 P_k\). On pose aussi \(P_0 = 1\). (2 points)
2. Déterminez \(P_1\), \(P_2\) et \(P_3\). (1 point)
3. Montrez que \((P_0, \ldots, P_n)\) est une base de \(\mathbb{R}_n[X]\) et donnez la matrice \(D\) de \(u\) dans cette base. Pour \(n = 3\), écrivez la matrice de passage \(Q\) de \(\mathcal{B}\) à \((P_0, P_1, P_2, P_3)\) et son inverse, puis la relation entre \(A\), \(D\) et \(Q\). (1 point)
4. On admet que, pour tout \(k \geq\, 1\), il existe un polynôme \(T_k\) de degré \(k\) et de coefficient dominant \(2^{k-1}\) tel que \(T_k(\cos\theta) = \cos(k\theta)\) pour tout réel \(\theta\). À l’aide de la partie B, montrez que \(u(T_k) = k^2 T_k\) et déduisez-en \(P_k\) en fonction de \(T_k\). (1 point)

Exercice 5 : Partie D, applications (4 points)

1. Dans cette question, \(n = 3\). Justifiez que l’équation \(u(P) = X^3\) admet des solutions dans \(\mathbb{R}_3[X]\), puis déterminez-les toutes. (1,5 point)
2. Montrez que, pour tout \(k \in [\![0, n]\!]\), \(\operatorname{Ker}(u – k^2\,\mathrm{id}) = \operatorname{Vect}(P_k)\). Déduisez-en les endomorphismes \(w\) de \(\mathbb{R}_n[X]\) qui commutent avec \(u\), ainsi que la dimension de l’espace qu’ils forment. (1,5 point)
3. Calculez \(\det(u + \mathrm{id})\) en fonction de \(n\), puis sa valeur pour \(n = 3\). L’endomorphisme \(u + \mathrm{id}\) est-il inversible ? (1 point)

Réviser avant le contrôle : problème d’algèbre linéaire type concours

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Applications linéaires » en maths sup et « Matrices et applications linéaires » en maths sup et « Groupe symétrique et déterminants » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés applications linéaires, matrices et applications linéaires, groupe symétrique et déterminants.

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