Contrôle de maths sup : produit scalaire et projection orthogonale

Exercice 1 : Questions de cours (3 points)

Calculatrice interdite.

Dans cet exercice, \(E\) est un espace préhilbertien réel, de produit scalaire noté \(\langle \cdot, \cdot \rangle\) et de norme associée \(\| \cdot \|\).

1. Énoncez et démontrez l’inégalité de Cauchy-Schwarz, en précisant le cas d’égalité. (2 points)
2. Soit \(F\) un sous-espace vectoriel de dimension finie de \(E\). Démontrez que \(E = F \oplus F^{\perp}\). Vous pourrez utiliser une base orthonormée de \(F\). (1 point)

Exercice 2 : Deux produits scalaires (4 points)

1. Soit \(n \in \mathbb{N}\). Démontrez que l’application \((P, Q) \mapsto \langle P, Q \rangle = \displaystyle\int_0^1 P(t)\,Q(t)\,\mathrm{d}t\) est un produit scalaire sur \(\mathbb{R}_n[X]\). (1,5 point)
2. Soit \(n \geq\, 1\). Démontrez que l’application \((A, B) \mapsto \operatorname{tr}(A^{\top} B)\) est un produit scalaire sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\). Vous exprimerez \(\operatorname{tr}(A^{\top} B)\) à l’aide des coefficients \(a_{ij}\) et \(b_{ij}\) de \(A\) et de \(B\). (1,5 point)
3. Déduisez-en que, pour toute matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), \((\operatorname{tr} A)^2 \leq\, n \operatorname{tr}(A^{\top} A)\), et déterminez les matrices pour lesquelles il y a égalité. (1 point)

Exercice 3 : Orthonormalisation de Gram-Schmidt (4 points)

On munit \(\mathbb{R}^3\) de son produit scalaire canonique. On considère les vecteurs \(u_1 = (1, 1, 0)\), \(u_2 = (1, 0, 1)\) et \(u_3 = (0, 1, 1)\).

1. Justifiez que \((u_1, u_2, u_3)\) est une base de \(\mathbb{R}^3\), puis appliquez-lui le procédé de Gram-Schmidt. Vous obtiendrez une base orthonormée \((e_1, e_2, e_3)\) telle que \(\operatorname{Vect}(e_1, \ldots, e_k) = \operatorname{Vect}(u_1, \ldots, u_k)\) et \(\langle e_k, u_k \rangle > 0\) pour tout \(k\). (2,5 points)
2. Calculez les coordonnées du vecteur \(w = (2, 0, 1)\) dans la base \((e_1, e_2, e_3)\), puis vérifiez le résultat à l’aide de \(\|w\|^2\). (1,5 point)

Exercice 4 : Projection orthogonale sur un plan (4 points)

On munit \(\mathbb{R}^3\) de son produit scalaire canonique et l’on considère le plan \(P\) d’équation \(x + 2y + 2z = 0\). On note \(p\) la projection orthogonale sur \(P\) et \(n = (1, 2, 2)\).

(La figure n’est pas à l’échelle.)

1. Déterminez \(P^{\perp}\). (0,5 point)
2. Démontrez que, pour tout \(u \in \mathbb{R}^3\), \(p(u) = u – \dfrac{\langle u, n \rangle}{9}\, n\), puis écrivez la matrice \(M\) de \(p\) dans la base canonique. (1,5 point)
3. Vérifiez que \(M^2 = M\) et \(M^{\top} = M\), puis calculez la trace de \(M\) et interprétez-la. (1 point)
4. Calculez le projeté orthogonal de \(u = (3, 3, 0)\) sur \(P\) et la distance de \(u\) au plan \(P\). (1 point)

Exercice 5 : Un problème de moindres carrés (5 points)

On cherche à calculer \[m = \inf_{(a, b) \in \mathbb{R}^2} \int_0^1 (t^2 – at – b)^2 \mathrm{d}t.\] On munit \(\mathbb{R}_2[X]\) du produit scalaire \(\langle P, Q \rangle = \displaystyle\int_0^1 P(t)\,Q(t)\,\mathrm{d}t\) de l’exercice 2, et l’on note \(F = \mathbb{R}_1[X]\).

1. Montrez que \(m = d(X^2, F)^2\), puis justifiez que cette borne inférieure est atteinte en un unique couple \((a, b)\), que vous caractériserez à l’aide du projeté orthogonal de \(X^2\) sur \(F\). (1 point)
2. En écrivant que \(X^2 – aX – b\) est orthogonal à \(1\) et à \(X\), déterminez ce couple \((a, b)\). (1,5 point)
3. Calculez \(m\). (1,5 point)
4. Retrouvez le projeté de \(X^2\) sur \(F\) en construisant d’abord une base orthonormée de \(F\) par le procédé de Gram-Schmidt appliqué à \((1, X)\). (1 point)

Réviser avant le contrôle : produit scalaire et projection orthogonale

Avant de faire ce contrôle, relisez le cours « Espaces préhilbertiens réels » en maths sup puis entraînez-vous avec les exercices corrigés espaces préhilbertiens réels.

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