Hyperplans et sous-espaces affines : cours de maths sup en PDF.

Une forme linéaire sur \(E\) est une application linéaire \(\varphi : E \to \mathbb{K}\). L’ensemble des formes linéaires sur \(E\) est l’espace vectoriel \(\mathcal{L}(E, \mathbb{K})\), noté aussi \(E^{*}\) et appelé dual de \(E\).

Sur \(\mathbb{R}^3\), l’application \((x, y, z) \mapsto 2x – y + 3z\) est une forme linéaire. De même, sur \(\mathbb{R}_n[X]\), l’évaluation \(P \mapsto P(1)\) en est une. Sur \(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\), l’intégrale \(f \mapsto \int_0^1 f(t)\,\mathrm{d}t\) est linéaire par linéarité de l’intégrale. Enfin, la trace \(M \mapsto \operatorname{tr}(M)\) est une forme linéaire sur \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\).

En revanche, \((x, y) \mapsto xy\) n’est pas linéaire. Par exemple, l’image de \(2(1,1)\) vaut \(4\) et non \(2\). De même, \((x, y) \mapsto x + y + 1\) ne l’est pas, car l’image de \(0\) doit être nulle.

Pour \(i \in \{1, \ldots, n\}\), la \(i\)-ième forme coordonnée relative à \(\mathcal{B}\) est l’application \(e_i^{*} : x \mapsto x_i\). Elle est caractérisée par \(e_i^{*}(e_j) = \delta_{i,j}\), où \(\delta_{i,j}\) vaut \(1\) si \(i = j\) et \(0\) sinon.

La famille \((e_1^{*}, \ldots, e_n^{*})\) est une base de \(E^{*}\). De plus, toute forme linéaire \(\varphi\) s’écrit
\[\varphi = \sum_{i=1}^{n} \varphi(e_i)\, e_i^{*}, \quad \text{autrement dit} \quad \varphi(x) = a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n \ \text{avec} \ a_i = \varphi(e_i).\]
En particulier, \(\dim E^{*} = n\).

Soit \(\varphi \in E^{*}\) et \(x = \sum x_i e_i\). Par linéarité, \(\varphi(x) = \sum x_i \varphi(e_i) = \sum \varphi(e_i) e_i^{*}(x)\). Ainsi la famille est génératrice. Ensuite, si \(\sum \lambda_i e_i^{*} = 0\), on évalue en \(e_j\) : il reste \(\lambda_j = 0\). La famille est donc libre.

Dans \(\mathbb{R}^2\), prenons la base \(e_1 = (1,0)\), \(e_2 = (1,1)\). Le vecteur \((x, y)\) vaut \((x – y) e_1 + y e_2\). Donc \(e_1^{*}(x, y) = x – y\) et \(e_2^{*}(x, y) = y\). Notez que \(e_1^{*}\) dépend de toute la base, et pas seulement de \(e_1\).

Un hyperplan de \(E\) est le noyau d’une forme linéaire non nulle. Si \(H = \ker \varphi\) avec \(\varphi \neq 0\), on dit que \(\varphi(x) = 0\) est une équation de \(H\).

Soit \(H\) un sous-espace de \(E\). Alors \(H\) est un hyperplan si et seulement si \(H\) admet une droite pour supplémentaire. Dans ce cas, pour tout vecteur \(a \notin H\), on a \(E = H \oplus \mathbb{K} a\).

Supposons \(H = \ker \varphi\) avec \(\varphi \neq 0\), et soit \(a \notin H\), donc \(\varphi(a) \neq 0\). Pour \(x \in E\), on pose \(\lambda = \dfrac{\varphi(x)}{\varphi(a)}\) et \(h = x – \lambda a\). Alors \(\varphi(h) = \varphi(x) – \lambda \varphi(a) = 0\), donc \(h \in H\) et \(x = h + \lambda a\). Ainsi \(E = H + \mathbb{K} a\). De plus, si \(\mu a \in H\), alors \(\mu \varphi(a) = 0\), donc \(\mu = 0\). La somme est donc directe.

Réciproquement, supposons \(E = H \oplus \mathbb{K} a\) avec \(a \neq 0\). Tout \(x\) s’écrit de façon unique \(x = h + \lambda a\). L’application \(\varphi : x \mapsto \lambda\) est linéaire, non nulle car \(\varphi(a) = 1\), et son noyau est exactement \(H\).

Si \(\dim E = n\), les hyperplans de \(E\) sont exactement les sous-espaces de dimension \(n – 1\). Dans \(\mathbb{R}^2\), ce sont les droites vectorielles ; dans \(\mathbb{R}^3\), les plans vectoriels.

Soit \(\mathcal{B}\) une base de \(E\), de dimension \(n\). Une partie \(H\) est un hyperplan si et seulement s’il existe \((a_1, \ldots, a_n) \neq (0, \ldots, 0)\) tel que
\[H = \{x \in E : a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = 0\},\]
où \((x_1, \ldots, x_n)\) sont les coordonnées de \(x\) dans \(\mathcal{B}\).

Pour écrire l’équation d’un hyperplan \(H = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_{n-1})\) donné par une base :

1. on cherche \(a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n = 0\) avec des inconnues \(a_1, \ldots, a_n\) ;
2. on écrit que chaque \(v_k\) vérifie l’équation : cela donne \(n – 1\) équations en les \(a_i\) ;
3. on choisit une solution non nulle, puis on vérifie sur chaque \(v_k\).

Dans \(\mathbb{R}^3\), on peut aussi prendre pour \((a_1, a_2, a_3)\) le produit vectoriel des deux générateurs.

Cherchons une équation de \(H = \mathrm{Vect}((1,2,0), (0,1,1))\). On veut \(a + 2b = 0\) et \(b + c = 0\). Avec \(b = 1\), on obtient \(a = -2\) et \(c = -1\). Donc \(H : -2x + y – z = 0\), soit \(2x – y + z = 0\). Enfin, on vérifie : \(2 – 2 + 0 = 0\) et \(0 – 1 + 1 = 0\).

Soient \(\varphi\) et \(\psi\) deux formes linéaires non nulles sur \(E\). Alors \(\ker \varphi = \ker \psi\) si et seulement s’il existe \(\lambda \in \mathbb{K}^{*}\) tel que \(\psi = \lambda \varphi\).

Le sens réciproque est immédiat. Pour le sens direct, notons \(H\) le noyau commun et prenons \(a \notin H\). Alors \(E = H \oplus \mathbb{K} a\). Posons \(\lambda = \dfrac{\psi(a)}{\varphi(a)}\), qui est non nul. Les formes \(\psi\) et \(\lambda \varphi\) sont nulles sur \(H\) et coïncident en \(a\). Elles coïncident donc sur \(H \oplus \mathbb{K} a = E\).

Le résultat concerne deux formes non nulles. Pour comparer deux équations \(a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n = 0\) et \(b_1 x_1 + \cdots + b_n x_n = 0\), il faut donc vérifier que les \(n\)-uplets \((a_i)\) et \((b_i)\) sont proportionnels.

Soient \(E\) de dimension \(n\) et \(\varphi_1, \ldots, \varphi_m\) des formes linéaires sur \(E\). On note \(r\) le rang de la famille \((\varphi_1, \ldots, \varphi_m)\) dans \(E^{*}\). Alors
\[\dim \bigcap_{k=1}^{m} \ker \varphi_k = n – r \geq\, n – m.\]
En particulier, l’intersection de \(m\) hyperplans est de dimension au moins \(n – m\), avec égalité si et seulement si les formes sont linéairement indépendantes.

On pose \(u : E \to \mathbb{K}^m\), \(x \mapsto (\varphi_1(x), \ldots, \varphi_m(x))\). Cette application est linéaire et son noyau est l’intersection cherchée. Dans une base de \(E\), la matrice de \(u\) a pour lignes les coefficients des \(\varphi_k\). Son rang est donc le rang des lignes, c’est-à-dire \(r\). Le théorème du rang donne alors \(\dim \ker u = n – r\). Enfin, \(r \leq\, m\), d’où l’inégalité.

Si \(\dim E = n\), tout sous-espace \(F\) de dimension \(p\) est l’intersection de \(n – p\) hyperplans. Autrement dit, \(F\) est décrit par un système de \(n – p\) équations linéaires indépendantes, et on ne peut pas faire avec moins.

Soit \((e_1, \ldots, e_p)\) une base de \(F\), complétée en une base \((e_1, \ldots, e_n)\) de \(E\). Un vecteur est dans \(F\) si et seulement si ses coordonnées d’indices \(p+1, \ldots, n\) sont nulles. Ainsi \(F = \bigcap_{k=p+1}^{n} \ker e_k^{*}\), intersection de \(n – p\) hyperplans. De plus, d’après le théorème précédent, \(m\) équations donnent une dimension au moins \(n – m\). Il faut donc \(m \geq\, n – p\).

Pour obtenir un système d’équations de \(F = \mathrm{Vect}(v_1, \ldots, v_p)\), où la famille est libre :

1. on cherche les formes \(a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n\) qui s’annulent sur chaque \(v_k\) ; c’est un système de \(p\) équations en les \(a_i\) ;
2. on en extrait une base de solutions, de cardinal \(n – p\) ;
3. chaque solution donne une équation de \(F\).

Une autre voie consiste à écrire que \(x\) est combinaison des \(v_k\), puis à éliminer les paramètres.

Soit \(F = \mathrm{Vect}((1, 1, 1))\) dans \(\mathbb{R}^3\). Les formes nulles sur \((1,1,1)\) vérifient \(a + b + c = 0\). Une base de solutions est \((1, -1, 0)\), \((0, 1, -1)\). Par conséquent, \(F\) est décrit par \(x – y = 0\) et \(y – z = 0\).

Pour deux points \(a, b \in E\), on note \(\vec{ab} = b – a\). On a la relation de Chasles \(\vec{ab} + \vec{bc} = \vec{ac}\). Pour \(u \in E\), la translation de vecteur \(u\) est \(t_u : x \mapsto x + u\).

Pour tous \(u, v \in E\), on a \(t_u \circ t_v = t_{u+v}\) et \(t_0 = \mathrm{Id}_E\). Chaque translation est donc bijective, de réciproque \(t_{-u}\). En revanche, pour \(u \neq 0\), \(t_u\) n’est pas linéaire, car \(t_u(0) = u \neq 0\).

Une partie \(\mathcal{A}\) de \(E\) est un sous-espace affine s’il existe un point \(a \in E\) et un sous-espace vectoriel \(F\) tels que
\[\mathcal{A} = a + F = \{a + f : f \in F\}.\]
Le sous-espace \(F\) s’appelle la direction de \(\mathcal{A}\). Si \(\dim F = 1\), on parle de droite affine ; si \(\dim F = 2\), de plan affine.

Soit \(\mathcal{A} = a + F\). Alors :

1. \(F = \{\vec{bc} : b, c \in \mathcal{A}\}\), donc la direction est unique ;
2. pour tout \(b \in \mathcal{A}\), on a \(\mathcal{A} = b + F\) ;
3. \(\mathcal{A}\) est un sous-espace vectoriel si et seulement si \(0 \in \mathcal{A}\).

Si \(b = a + f\) et \(c = a + g\) avec \(f, g \in F\), alors \(c – b = g – f \in F\). Inversement, \(f = \vec{a\,(a+f)}\). Cela prouve le premier point. Ensuite, si \(b = a + f_0 \in \mathcal{A}\), alors \(a + f = b + (f – f_0)\), et \(f – f_0\) décrit \(F\) quand \(f\) décrit \(F\). Enfin, si \(0 \in \mathcal{A}\), le deuxième point donne \(\mathcal{A} = 0 + F = F\).

Deux sous-espaces affines de même direction sont dits parallèles. Ainsi, \(a + F\) et \(b + F\) sont soit égaux, soit disjoints : ils sont égaux si et seulement si \(b – a \in F\).

Un hyperplan affine est un sous-espace affine dont la direction est un hyperplan. Les hyperplans affines sont exactement les ensembles
\[\{x \in E : \varphi(x) = c\}, \quad \varphi \in E^{*} \setminus \{0\}, \ c \in \mathbb{K}.\]
La direction est alors \(\ker \varphi\). Dans une base, on obtient une équation \(a_1 x_1 + \cdots + a_n x_n = c\).

Comme \(\varphi \neq 0\), elle est surjective ; il existe donc \(x_0\) tel que \(\varphi(x_0) = c\). Alors \(\varphi(x) = c\) équivaut à \(\varphi(x – x_0) = 0\), soit \(x \in x_0 + \ker \varphi\). Réciproquement, \(a + \ker \varphi = \{x : \varphi(x) = \varphi(a)\}\).

Soit \((\mathcal{A}_i)_{i \in I}\) une famille de sous-espaces affines de directions \(F_i\). Leur intersection est soit vide, soit un sous-espace affine de direction \(\bigcap_{i} F_i\).

Supposons l’intersection non vide et prenons-y un point \(a\). D’après la proposition précédente, \(\mathcal{A}_i = a + F_i\) pour tout \(i\). Donc \(x \in \bigcap \mathcal{A}_i\) si et seulement si \(x – a \in F_i\) pour tout \(i\). Autrement dit, \(\bigcap \mathcal{A}_i = a + \bigcap F_i\).

Soient \(\mathcal{A} = a + F\) et \(\mathcal{A}^{\prime} = b + G\). Alors \(\mathcal{A} \cap \mathcal{A}^{\prime} \neq \emptyset\) si et seulement si \(b – a \in F + G\). En particulier, si \(F + G = E\), l’intersection n’est jamais vide.

Si \(x = a + f = b + g\), alors \(b – a = f – g \in F + G\). Réciproquement, si \(b – a = f + g\), le point \(x = a + f = b – g\) est commun aux deux.

Pour déterminer l’intersection de sous-espaces affines :

1. on décrit chacun par des équations cartésiennes, ou l’un par une représentation paramétrique ;
2. on résout le système obtenu, par exemple par la méthode du pivot ;
3. on conclut : ensemble vide si le système est incompatible, sinon un point particulier plus la direction \(\bigcap F_i\).

Dans \(\mathbb{R}^2\), les droites \(x + 2y = 3\) et \(2x – y = 1\) ont des directions distinctes. Leur somme vaut \(\mathbb{R}^2\) et leur intersection vaut \(\{0\}\). L’intersection est donc un unique point : le système donne \(x = 1\) et \(y = 1\). En revanche, les droites \(x + 2y = 3\) et \(x + 2y = 5\) sont parallèles et disjointes.

L’ensemble \(S\) des solutions de \(u(x) = a\) est :

• vide si \(a \notin \operatorname{Im} u\) ;
• sinon, le sous-espace affine \(S = x_0 + \ker u\), où \(x_0\) est une solution particulière quelconque.

En dimension finie, lorsque \(S\) n’est pas vide, sa direction est de dimension \(\dim E – \operatorname{rg} u\).

L’équation a une solution exactement quand \(a \in \operatorname{Im} u\). Soit alors \(x_0\) une solution. Pour \(x \in E\), par linéarité, \(u(x) = a \Leftrightarrow u(x) = u(x_0) \Leftrightarrow u(x – x_0) = 0 \Leftrightarrow x – x_0 \in \ker u\). Ainsi \(S = x_0 + \ker u\). La dimension découle enfin du théorème du rang.

Pour \(y^{\prime} + y = x\) sur \(\mathbb{R}\), la fonction \(y_0(x) = x – 1\) convient, car \(1 + x – 1 = x\). Le noyau est \(\mathrm{Vect}(x \mapsto e^{-x})\). Les solutions sont donc les fonctions \(x \mapsto x – 1 + C e^{-x}\), \(C \in \mathbb{R}\). La figure ci-dessous représente cette droite affine de fonctions.

Pour résoudre une équation linéaire \(u(x) = a\) :

1. on identifie l’espace de départ, l’espace d’arrivée et l’application linéaire \(u\) ;
2. on détermine \(\ker u\), c’est-à-dire la solution générale de l’équation homogène ;
3. on cherche une solution particulière, en devinant une forme adaptée au second membre ;
4. on conclut \(S = x_0 + \ker u\), puis on exploite les conditions initiales ou supplémentaires.

L’ensemble des solutions d’une équation avec second membre non nul n’est jamais un sous-espace vectoriel. En effet, \(0\) n’est pas solution. Par conséquent, la somme de deux solutions n’est pas une solution ; en revanche, leur différence est solution de l’équation homogène.