Calcul matriciel : cours de maths sup en PDF.

Une matrice à \(n\) lignes et \(p\) colonnes à coefficients dans \(\mathbb{K}\) est une famille \(A = (a_{ij})_{1 \leq\, i \leq\, n,\, 1 \leq\, j \leq\, p}\) d’éléments de \(\mathbb{K}\). Le coefficient \(a_{ij}\) se lit à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\). On note \(\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) l’ensemble de ces matrices, et \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) lorsque \(n = p\) (matrices carrées).

Pour \(1 \leq\, k \leq\, n\) et \(1 \leq\, l \leq\, p\), la matrice élémentaire \(E_{kl} \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) a tous ses coefficients nuls, sauf celui d’indice \((k, l)\), qui vaut \(1\). Autrement dit, son coefficient d’indice \((i, j)\) vaut \(\delta_{ik}\delta_{jl}\), où \(\delta\) est le symbole de Kronecker.

Toute matrice \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) s’écrit de façon unique comme combinaison linéaire des matrices élémentaires :

\[A = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{p} a_{ij} E_{ij}.\]

Dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\), on a \(\begin{pmatrix} 3 -1 \\ 0 7 \end{pmatrix} = 3E_{11} – E_{12} + 7E_{22}\). Les coefficients de la combinaison sont exactement ceux du tableau.

Soient \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})\). Le produit \(AB\) est la matrice \(C \in \mathcal{M}_{n,q}(\mathbb{K})\) de coefficients

\[c_{ij} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}, \qquad 1 \leq\, i \leq\, n, \ 1 \leq\, j \leq\, q.\]

Le coefficient \(c_{ij}\) combine la ligne \(i\) de \(A\) et la colonne \(j\) de \(B\).

Avec \(A = \begin{pmatrix} 1 0 2 \\ -1 3 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}\), on obtient \(AB = \begin{pmatrix} 2 + 0 – 2 \\ -2 + 3 – 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\). Le produit est nul, alors qu’aucun des deux facteurs ne l’est. Par ailleurs, \(BA\) n’est pas défini.

Le produit matriciel est bilinéaire : \(A(\lambda B + \mu B^{\prime}) = \lambda AB + \mu AB^{\prime}\) et \((\lambda A + \mu A^{\prime})B = \lambda AB + \mu A^{\prime}B\). De plus, il est associatif : pour \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\), \(B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})\) et \(C \in \mathcal{M}_{q,r}(\mathbb{K})\), on a \((AB)C = A(BC)\).

La bilinéarité découle de celle de \((a, b) \mapsto ab\) dans \(\mathbb{K}\). Pour l’associativité, on calcule le coefficient d’indice \((i, l)\) des deux membres :

\[\big((AB)C\big)_{il} = \sum_{j=1}^{q} \Big(\sum_{k=1}^{p} a_{ik} b_{kj}\Big) c_{jl} = \sum_{k=1}^{p} a_{ik} \Big(\sum_{j=1}^{q} b_{kj} c_{jl}\Big) = \big(A(BC)\big)_{il}.\]

On a seulement échangé deux sommes finies. Donc les deux matrices sont égales.

Dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), les matrices élémentaires se multiplient selon la règle \(E_{ij}E_{kl} = \delta_{jk}E_{il}\).

La transposée de \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) est la matrice \(A^{T} \in \mathcal{M}_{p,n}(\mathbb{K})\) de coefficients \((A^{T})_{ij} = a_{ji}\). Les lignes de \(A\) deviennent les colonnes de \(A^{T}\).

La transposition est linéaire, vérifie \((A^{T})^{T} = A\), et renverse l’ordre des produits : \((AB)^{T} = B^{T}A^{T}\) pour \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\) et \(B \in \mathcal{M}_{p,q}(\mathbb{K})\).

Pour tous \(i\) et \(j\), on a \(\big((AB)^{T}\big)_{ij} = (AB)_{ji} = \sum_{k} a_{jk} b_{ki}\). D’autre part, \((B^{T}A^{T})_{ij} = \sum_{k} (B^{T})_{ik} (A^{T})_{kj} = \sum_{k} b_{ki} a_{jk}\). Les deux sommes coïncident, d’où l’égalité.

Le système \(\sum_{j=1}^{p} a_{ij} x_j = b_i\) \((1 \leq\, i \leq\, n)\) s’écrit \(AX = B\), avec \(A = (a_{ij}) \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\), \(X = (x_j) \in \mathcal{M}_{p,1}(\mathbb{K})\) et \(B = (b_i) \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\). Le système homogène associé est \(AX = 0\). Le système est compatible s’il admet au moins une solution.

Supposons que \(AX = B\) admette une solution \(X_0\). Alors ses solutions sont exactement les colonnes \(X_0 + H\), où \(H\) parcourt l’ensemble des solutions du système homogène \(AX = 0\).

Par bilinéarité du produit, \(AX = B\) équivaut à \(AX = AX_0\), c’est-à-dire à \(A(X – X_0) = 0\). Autrement dit, \(X\) est solution si et seulement si \(H = X – X_0\) est solution du système homogène.

Pour résoudre \(AX = B\), on travaille sur la matrice augmentée \((A \mid B)\).

• D’abord, on choisit dans la première colonne non nulle un coefficient non nul : c’est le pivot. On le place en première ligne par un échange.
• Ensuite, on annule les coefficients situés sous le pivot par des opérations \(L_i arrow L_i – \lambda L_1\).
• On recommence sur les lignes suivantes, jusqu’à obtenir une forme échelonnée.
• Enfin, une ligne \(0 = c\) avec \(c \neq 0\) rend le système incompatible. Sinon, on exprime les inconnues principales en fonction des inconnues secondaires, en remontant.

Résolvons le système \(x + z = 2\), \(y – z = 0\), \(x + y + z = 3\). L’opération \(L_3 arrow L_3 – L_1\) donne \(y = 1\). Puis \(L_3 arrow L_3 – L_2\) donne \(z = 1\). En remontant, \(y = z = 1\) et \(x = 2 – z = 1\). L’unique solution est donc \((1, 1, 1)\).

Un système homogène possédant plus d’inconnues que d’équations admet une solution non nulle. En effet, sa forme échelonnée compte au plus \(n\) pivots, donc au moins une inconnue secondaire, que l’on peut choisir égale à \(1\).

Dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), on appelle :

• matrice de transvection : \(T_{ij}(\lambda) = I_n + \lambda E_{ij}\), avec \(i \neq j\) ;
• matrice de dilatation : \(D_i(\alpha) = I_n + (\alpha – 1)E_{ii}\), avec \(\alpha \neq 0\) ;
• matrice de permutation : \(P_{ij}\), obtenue en échangeant les lignes \(i\) et \(j\) de \(I_n\).

Soit \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\). Alors \(T_{ij}(\lambda)A\) s’obtient par \(L_i arrow L_i + \lambda L_j\), \(D_i(\alpha)A\) par \(L_i arrow \alpha L_i\), et \(P_{ij}A\) par \(L_i rightarrow L_j\). De même, multiplier à droite par ces matrices (de taille \(p\)) agit sur les colonnes. Enfin, ces matrices sont inversibles :

\[T_{ij}(\lambda)^{-1} = T_{ij}(-\lambda), \qquad D_i(\alpha)^{-1} = D_i(1/\alpha), \qquad P_{ij}^{-1} = P_{ij}.\]

La ligne \(k\) de \(E_{ij}A\) vaut \(\sum_{l} \delta_{ki}\delta_{lj} \times (\text{ligne } l \text{ de } A)\). Elle est donc nulle si \(k \neq i\), et égale à la ligne \(j\) de \(A\) si \(k = i\). Ainsi, \((I_n + \lambda E_{ij})A\) ajoute \(\lambda L_j\) à \(L_i\). Pour l’inverse, comme \(i \neq j\), on a \(E_{ij}^2 = \delta_{ji}E_{ij} = 0\), donc \((I_n + \lambda E_{ij})(I_n – \lambda E_{ij}) = I_n – \lambda^2 E_{ij}^2 = I_n\). Les deux autres cas se traitent de la même façon.

Pour toute \(A \in \mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})\), il existe une matrice \(G\), produit de matrices élémentaires, telle que \(GA\) soit échelonnée. En particulier, \(GA\) et \(A\) ont les mêmes systèmes homogènes associés : \(AX = 0 \Leftrightarrow GAX = 0\).

Une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est :

• diagonale si \(a_{ij} = 0\) pour \(i \neq j\) ; on note \(A = \mathrm{diag}(a_{11}, \ldots, a_{nn})\) ;
• triangulaire supérieure si \(a_{ij} = 0\) pour \(i > j\), et triangulaire inférieure si \(a_{ij} = 0\) pour \(i < j\) ;
• symétrique si \(A^{T} = A\), et antisymétrique si \(A^{T} = -A\).

Le produit de deux matrices triangulaires supérieures est triangulaire supérieur. De plus, ses coefficients diagonaux sont les produits des coefficients diagonaux : \((AB)_{ii} = a_{ii}b_{ii}\). Le même énoncé vaut pour les matrices diagonales et pour les triangulaires inférieures.

Soient \(A\) et \(B\) triangulaires supérieures, et \(i \geq\, j\). Dans \((AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}\), le terme \(a_{ik}\) est nul si \(k < i\), et \(b_{kj}\) est nul si \(k > j\). Un terme non nul exige donc \(i \leq\, k \leq\, j\). Si \(i > j\), aucun \(k\) ne convient et \((AB)_{ij} = 0\). Si \(i = j\), seul \(k = i\) reste, d’où \((AB)_{ii} = a_{ii}b_{ii}\).

Toute matrice \(M \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) s’écrit de façon unique \(M = S + A\) avec \(S\) symétrique et \(A\) antisymétrique. Précisément, \(S = \frac{1}{2}(M + M^{T})\) et \(A = \frac{1}{2}(M – M^{T})\).

Une matrice \(A \neq 0\) est un diviseur de zéro s’il existe \(B \neq 0\) telle que \(AB = 0\) ou \(BA = 0\). Une matrice \(N\) est nilpotente s’il existe \(q \geq\, 1\) tel que \(N^q = 0\). Le plus petit tel \(q\) est l’indice de nilpotence.

Dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{K})\), on a \(E_{22}E_{11} = 0\) avec \(E_{11} \neq 0\) et \(E_{22} \neq 0\). De même, \(N = E_{12}\) vérifie \(N^2 = E_{12}E_{12} = 0\). La figure ci-dessous illustre ces deux phénomènes sur des vecteurs du plan.

Une matrice triangulaire supérieure à diagonale nulle \(N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est nilpotente : \(N^n = 0\).

Si \(A, B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) commutent, c’est-à-dire \(AB = BA\), alors pour tout \(m \in \mathbb{N}\) :

\[(A + B)^m = \sum_{k=0}^{m} \binom\,{m}{k} A^{k} B^{m-k}.\]

Pour calculer \(M^m\), on cherche une écriture \(M = \lambda I_n + N\) avec \(N\) nilpotente. Comme \(\lambda I_n\) commute avec toute matrice, le binôme s’applique. De plus, la somme s’arrête dès que \(N^k = 0\) :

\[M^m = \sum_{k=0}^{q-1} \binom\,{m}{k} \lambda^{m-k} N^{k} \quad \text{si } N^q = 0.\]

Soit \(M = \begin{pmatrix} 3 2 \\ 0 3 \end{pmatrix} = 3I_2 + 2E_{12}\). Posons \(N = 2E_{12}\). Alors \(N^2 = 4E_{12}E_{12} = 0\). Par conséquent, \(M^m = 3^m I_2 + m 3^{m-1} N = \begin{pmatrix} 3^m 2m3^{m-1} \\ 0 3^m \end{pmatrix}\).

Une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) est inversible s’il existe \(B \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) telle que \(AB = BA = I_n\). Cette matrice \(B\) est unique ; on la note \(A^{-1}\). L’ensemble des matrices inversibles est noté \(GL_n(\mathbb{K})\).

\(GL_n(\mathbb{K})\) est un groupe pour le produit, appelé groupe linéaire. Pour \(A, B \in GL_n(\mathbb{K})\), on a \((AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}\) et \((A^{T})^{-1} = (A^{-1})^{T}\).

D’abord, \(I_n\) est inversible. Ensuite, \((AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AA^{-1} = I_n\), et de même dans l’autre sens, par associativité. Enfin, en transposant \(AA^{-1} = I_n\), on obtient \((A^{-1})^{T}A^{T} = I_n\), et de même \(A^{T}(A^{-1})^{T} = I_n\).

Pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), les propriétés suivantes sont équivalentes :

• \(A\) est inversible ;
• le système \(AX = 0\) n’admet que la solution nulle ;
• pour tout \(Y \in \mathcal{M}_{n,1}(\mathbb{K})\), le système \(AX = Y\) admet une unique solution ;
• il existe \(B\) telle que \(BA = I_n\), ou il existe \(B\) telle que \(AB = I_n\).

Un diviseur de zéro n’est jamais inversible. En effet, si \(AB = 0\) avec \(B \neq 0\) et si \(A\) était inversible, on aurait \(B = A^{-1}AB = 0\). De même, une matrice nilpotente n’est jamais inversible : si \(N^q = 0\) et si \(N\) était inversible, la matrice \(N^q\) serait inversible, ce qui est absurde.

Une matrice triangulaire est inversible si et seulement si tous ses coefficients diagonaux sont non nuls. Dans ce cas, son inverse est triangulaire du même type, de diagonale \((1/t_{11}, \ldots, 1/t_{nn})\).

Soit \(T\) triangulaire supérieure. Si tous les \(t_{ii}\) sont non nuls, le système \(TX = Y\) se résout en remontant : la dernière ligne donne \(x_n = y_n/t_{nn}\), puis chaque ligne donne \(x_i\) en fonction des \(x_j\), \(j > i\). La solution est unique, donc \(T\) est inversible. De plus, chaque \(x_i\) ne dépend que de \(y_i, \ldots, y_n\) : l’inverse est triangulaire supérieur.

Réciproquement, supposons \(t_{kk} = 0\), avec \(k\) minimal. On cherche \(X\) avec \(x_k = 1\) et \(x_j = 0\) pour \(j > k\). Les lignes \(i \geq\, k\) de \(TX = 0\) sont alors vérifiées. Ensuite, les lignes \(i < k\) se résolvent en remontant, car \(t_{ii} \neq 0\). Ainsi, \(TX = 0\) a une solution non nulle, et \(T\) n’est pas inversible.

Méthode de Gauss-Jordan. On écrit le tableau \((A \mid I_n)\). Puis on applique des opérations élémentaires sur les lignes jusqu’à transformer la partie gauche en \(I_n\). La partie droite est alors \(A^{-1}\). Si une ligne nulle apparaît à gauche, \(A\) n’est pas inversible.

Résolution de \(AX = Y\). On résout le système pour un second membre \(Y = (y_1, \ldots, y_n)\) quelconque. Si l’on obtient \(X = BY\) pour tout \(Y\), alors \(A\) est inversible et \(A^{-1} = B\). Cette méthode est souvent la plus rapide pour les matrices creuses.

Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 1 \\ 5 3 \end{pmatrix}\). Le système \(2x + y = a\), \(5x + 3y = b\) donne, par \(3L_1 – L_2\), \(x = 3a – b\). Ensuite, \(y = a – 2x = -5a + 2b\). Donc \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 3 -1 \\ -5 2 \end{pmatrix}\). On vérifie enfin que \(AA^{-1} = I_2\).

La matrice \(\begin{pmatrix} a b \\ c d \end{pmatrix}\) est inversible si et seulement si \(ad – bc \neq 0\). Son inverse vaut alors \(\dfrac{1}{ad – bc}\begin{pmatrix} d -b \\ -c a \end{pmatrix}\).