Limites et continuité : cours de maths sup en PDF.

Soit \(a \in \mathbb{R}\) adhérent à \(D\) et \(\ell \in \mathbb{R}\). On dit que \(f\) tend vers \(\ell\) en \(a\) si :

\[\forall \varepsilon > 0,\ \exists \eta > 0,\ \forall x \in D,\quad |x – a| \leq\, \eta \Rightarrow |f(x) – \ell| \leq\, \varepsilon.\]

On écrit alors \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) ou \(f(x) \to \ell\) quand \(x \to a\).

• \(\lim_{x \to a} f(x) = +\infty\) signifie : \(\forall A \in \mathbb{R},\ \exists \eta > 0,\ \forall x \in D,\ |x – a| \leq\, \eta \Rightarrow f(x) \geq\, A\).
• \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell\) signifie : \(\forall \varepsilon > 0,\ \exists B \in \mathbb{R},\ \forall x \in D,\ x \geq\, B \Rightarrow |f(x) – \ell| \leq\, \varepsilon\).
• \(\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty\) signifie : \(\forall A \in \mathbb{R},\ \exists B \in \mathbb{R},\ \forall x \in D,\ x \geq\, B \Rightarrow f(x) \geq\, A\).

Les cas \(-\infty\) s’écrivent de la même façon, en renversant les inégalités.

Si \(f\) admet une limite en \(a\), cette limite est unique. De plus, si \(a \in D\) et si \(f\) admet une limite en \(a\), cette limite vaut \(f(a)\).

Supposons que \(f\) tende vers \(\ell\) et vers \(\ell^{\prime}\) en \(a\), avec \(\ell \neq \ell^{\prime}\) réels. Posons \(\varepsilon = |\ell – \ell^{\prime}|/3\). On obtient deux réels \(\eta_1\) et \(\eta_2\) associés à \(\varepsilon\). Pour \(\eta = \min(\eta_1, \eta_2)\), il existe \(x \in D\) avec \(|x – a| \leq\, \eta\), car \(a\) est adhérent à \(D\). Alors \(|\ell – \ell^{\prime}| \leq\, |\ell – f(x)| + |f(x) – \ell^{\prime}| \leq\, 2\varepsilon\), ce qui est absurde. Les cas infinis se traitent de même. Enfin, si \(a \in D\), on peut prendre \(x = a\) dans la définition : \(|f(a) – \ell| \leq\, \varepsilon\) pour tout \(\varepsilon > 0\), donc \(\ell = f(a)\).

Montrons que \(\lim_{x \to 2} x^2 = 4\). Pour \(|x – 2| \leq\, 1\), on a \(|x + 2| \leq\, 5\), donc \(|x^2 – 4| \leq\, 5|x – 2|\). Ainsi, pour \(\varepsilon > 0\), le choix \(\eta = \min(1, \varepsilon/5)\) convient.

On dit que \(f\) admet \(\ell\) pour limite à gauche en \(a\) si la restriction de \(f\) à \(D \cap \,]-\infty, a[\) tend vers \(\ell\) en \(a\). On note \(\lim_{x \to a^-} f(x) = \ell\) ou \(f(a^-) = \ell\). La limite à droite, notée \(f(a^+)\), se définit avec \(D \cap \,]a, +\infty[\).

Soit \(a\) un point intérieur à \(D\). Alors \(f\) admet une limite en \(a\) si et seulement si \(f(a^-)\) et \(f(a^+)\) existent et sont égales à \(f(a)\). Si \(a\) n’appartient pas à \(D\) mais que \(D\) contient des points des deux côtés de \(a\), il faut et il suffit que \(f(a^-)\) et \(f(a^+)\) existent et soient égales.

Pour \(n \in \mathbb{Z}\), la partie entière vérifie \(\lim_{x \to n^-} \lfloor x \rfloor = n – 1\) et \(\lim_{x \to n^+} \lfloor x \rfloor = n\). En effet, \(\lfloor x \rfloor = n – 1\) sur \([n – 1, n[\) et \(\lfloor x \rfloor = n\) sur \([n, n + 1[\). Ainsi, la partie entière n’a de limite en aucun entier.

(Caractérisation séquentielle de la limite.) Soit \(a\) adhérent à \(D\) et \(\ell \in \mathbb{R} \cup \{-\infty, +\infty\}\). Alors \(\lim_{x \to a} f(x) = \ell\) si et seulement si, pour toute suite \((x_n)\) d’éléments de \(D\) qui tend vers \(a\), la suite \((f(x_n))\) tend vers \(\ell\).

Traitons le cas \(a\) et \(\ell\) réels. Supposons d’abord que \(f\) tende vers \(\ell\) en \(a\). Soit \((x_n)\) une suite de \(D\) de limite \(a\) et soit \(\varepsilon > 0\). On prend \(\eta\) donné par la définition. Ensuite, il existe un rang \(N\) tel que \(|x_n – a| \leq\, \eta\) pour \(n \geq\, N\). Donc \(|f(x_n) – \ell| \leq\, \varepsilon\) pour \(n \geq\, N\).

Réciproquement, raisonnons par contraposée. Si \(f\) ne tend pas vers \(\ell\), il existe \(\varepsilon > 0\) tel que, pour tout \(\eta > 0\), un point \(x \in D\) vérifie \(|x – a| \leq\, \eta\) et \(|f(x) – \ell| > \varepsilon\). Pour \(\eta = 1/(n + 1)\), on obtient ainsi un point \(x_n\). La suite \((x_n)\) tend vers \(a\), mais \((f(x_n))\) ne tend pas vers \(\ell\).

Pour montrer que \(f\) n’a pas de limite en \(a\), on exhibe deux suites \((x_n)\) et \((y_n)\) de \(D\) qui tendent vers \(a\), telles que \((f(x_n))\) et \((f(y_n))\) aient des limites différentes. Par unicité de la limite, \(f\) ne peut pas avoir de limite. On peut aussi exhiber une seule suite \((x_n)\) pour laquelle \((f(x_n))\) diverge.

La fonction cosinus n’a pas de limite en \(+\infty\). En effet, \(x_n = 2n\pi\) et \(y_n = (2n + 1)\pi\) tendent vers \(+\infty\), alors que \(\cos(x_n) = 1\) et \(\cos(y_n) = -1\) pour tout \(n\).

• Somme, produit et quotient : si \(f \to \ell\) et \(g \to \ell^{\prime}\) en \(a\), alors \(f + g \to \ell + \ell^{\prime}\), \(fg \to \ell\ell^{\prime}\) et, si \(\ell^{\prime} \neq 0\), \(f/g \to \ell/\ell^{\prime}\). Les formes indéterminées restent celles connues pour les suites.
• Composition : si \(\lim_{x \to a} f(x) = b\) et \(\lim_{y \to b} g(y) = c\), alors \(\lim_{x \to a} g(f(x)) = c\).

(Théorème d’encadrement.) Si \(g \leq\, f \leq\, h\) au voisinage de \(a\) et si \(g\) et \(h\) tendent vers le même réel \(\ell\) en \(a\), alors \(f\) tend vers \(\ell\) en \(a\). De plus, si \(f \leq\, g\) au voisinage de \(a\) et si les deux limites existent, alors \(\lim_a f \leq\, \lim_a g\).

Pour \(x \neq 0\), on a \(|x \sin(1/x)| \leq\, |x|\). Donc \(-|x| \leq\, x \sin(1/x) \leq\, |x|\) et, par encadrement, \(\lim_{x \to 0} x \sin(1/x) = 0\).

(Théorème de la limite monotone.) Soit \(f\) croissante sur \(]a, b[\), avec \(-\infty \leq\, a < b \leq\, +\infty\).

• Si \(f\) est majorée, \(f\) admet en \(b\) la limite finie \(\sup_{]a, b[} f\) ; sinon, \(f\) tend vers \(+\infty\) en \(b\).
• Si \(f\) est minorée, \(f\) admet en \(a\) la limite finie \(\inf_{]a, b[} f\) ; sinon, \(f\) tend vers \(-\infty\) en \(a\).

Supposons \(f\) majorée et \(b\) réel. L’ensemble \(f(]a, b[)\) est non vide et majoré, donc il admet une borne supérieure \(M\). Soit \(\varepsilon > 0\). Par définition de la borne supérieure, il existe \(x_0 \in \,]a, b[\) tel que \(f(x_0) > M – \varepsilon\). Posons \(\eta = b – x_0\). Pour \(x \in [x_0, b[\), la croissance donne \(M – \varepsilon < f(x_0) \leq\, f(x) \leq\, M\). Donc \(|f(x) – M| \leq\, \varepsilon\) dès que \(b – \eta \leq\, x < b\). Les autres cas se traitent de la même manière.

Si \(f\) est croissante sur un intervalle \(I\) et si \(x\) est intérieur à \(I\), alors \(f(x^-)\) et \(f(x^+)\) existent, et \(f(x^-) \leq\, f(x) \leq\, f(x^+)\). Ainsi, une fonction monotone n’a que des discontinuités de saut.

Soit \(a \in D\). La fonction \(f\) est continue en \(a\) si \(\lim_{x \to a} f(x) = f(a)\). Elle est continue à gauche en \(a\) si \(\lim_{x \to a^-} f(x) = f(a)\), et continue à droite si \(\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)\). Enfin, \(f\) est continue sur \(D\) si elle est continue en tout point de \(D\).

Si \(f\) est continue en \(\ell\) et si \((u_n)\) est une suite de \(D\) qui tend vers \(\ell\), alors \((f(u_n))\) tend vers \(f(\ell)\). En particulier, si une suite définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers \(\ell \in D\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(\ell) = \ell\).

Soit \(a \notin D\), adhérent à \(D\). Si \(f\) admet une limite finie \(\ell\) en \(a\), la fonction \(\tilde{f}\) définie sur \(D \cup \{a\}\) par \(\tilde{f}(x) = f(x)\) pour \(x \in D\) et \(\tilde{f}(a) = \ell\) est continue en \(a\). On l’appelle le prolongement par continuité de \(f\) en \(a\).

Pour prolonger \(f\) par continuité en \(a\), on calcule la limite de \(f\) en \(a\), si besoin à gauche et à droite séparément. Si cette limite existe et est finie, on pose \(f(a) = \ell\). En revanche, si les limites latérales diffèrent, ou si l’une est infinie, aucun prolongement continu n’existe.

La fonction \(x \mapsto \dfrac{\sin x}{x}\), définie sur \(\mathbb{R}^*\), tend vers 1 en 0, car c’est le taux d’accroissement de \(\sin\) en 0. On la prolonge donc en posant sa valeur égale à 1 en 0. En revanche, \(x \mapsto \dfrac{|x|}{x}\) vaut \(-1\) à gauche de 0 et \(1\) à droite : elle n’est pas prolongeable par continuité.

(Théorème des valeurs intermédiaires.) Soit \(f\) continue sur un segment \([a, b]\). Pour tout réel \(y\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe \(c \in [a, b]\) tel que \(f(c) = y\).

Posons \(g = f – y\), quitte à remplacer \(f\) par \(-f\) : on peut supposer \(g(a) \leq\, 0 \leq\, g(b)\). On construit deux suites par dichotomie. D’abord, \(a_0 = a\) et \(b_0 = b\). Ensuite, on note \(m = (a_n + b_n)/2\). Si \(g(m) \leq\, 0\), on pose \(a_{n+1} = m\) et \(b_{n+1} = b_n\) ; sinon, on pose \(a_{n+1} = a_n\) et \(b_{n+1} = m\).

Par récurrence, \(g(a_n) \leq\, 0 \leq\, g(b_n)\) et \(b_n – a_n = (b – a)/2^n\). De plus, \((a_n)\) croît et \((b_n)\) décroît. Les deux suites sont donc adjacentes et convergent vers un même réel \(c \in [a, b]\). Enfin, la continuité de \(g\) en \(c\) donne \(g(c) = \lim g(a_n) \leq\, 0\) et \(g(c) = \lim g(b_n) \geq\, 0\). Donc \(g(c) = 0\), c’est-à-dire \(f(c) = y\).

L’image d’un intervalle par une fonction continue est un intervalle.

Une partie \(J\) de \(\mathbb{R}\) est un intervalle si et seulement si, pour tous \(y_1 \leq\, y_2\) de \(J\), tout réel compris entre eux appartient à \(J\). Soit donc \(y_1 = f(x_1)\) et \(y_2 = f(x_2)\) dans \(f(I)\), et \(y\) entre les deux. Le segment d’extrémités \(x_1\) et \(x_2\) est inclus dans \(I\). Le théorème des valeurs intermédiaires, appliqué sur ce segment, donne \(c\) tel que \(f(c) = y\). Donc \(y \in f(I)\).

Pour montrer qu’une équation \(f(x) = y\) admet une solution, on écrit l’équation sous la forme \(g(x) = 0\). Ensuite, on vérifie que \(g\) est continue sur un intervalle, puis on trouve deux points où \(g\) prend des valeurs de signes opposés. Pour l’unicité, on ajoute un argument de stricte monotonie.

Pour approcher un zéro de \(g\) continue sur \([a, b]\) avec \(g(a) \leq\, 0 \leq\, g(b)\) à \(\varepsilon\) près :

• on calcule \(g\) au milieu \(m\) de l’intervalle courant ;
• on garde la moitié dont les extrémités vérifient encore la condition de signe ;
• on s’arrête dès que la longueur de l’intervalle est inférieure à \(2\varepsilon\), puis on renvoie son milieu.

Le nombre d’étapes est le plus petit entier \(n\) tel que \((b – a)/2^{n+1} \leq\, \varepsilon\).

Montrons que \(x^5 + x = 1\) admet une solution dans \([0, 1]\). La fonction \(g : x \mapsto x^5 + x – 1\) est continue, \(g(0) = -1 < 0\) et \(g(1) = 1 > 0\). Le théorème des valeurs intermédiaires fournit donc \(c \in \,]0, 1[\) tel que \(g(c) = 0\). Comme \(g\) est strictement croissante, cette solution est unique. Pour l’approcher à \(10^{-3}\) près par dichotomie, il faut \(2^{n+1} \geq\, 1000\), soit \(n = 9\) étapes.

(Théorème des bornes atteintes.) Toute fonction continue sur un segment \([a, b]\) est bornée et atteint ses bornes : il existe \(x_m\) et \(x_M\) dans \([a, b]\) tels que \(f(x_m) = \min_{[a, b]} f\) et \(f(x_M) = \max_{[a, b]} f\).

D’abord, \(f\) est majorée. Sinon, pour tout \(n\), il existe \(x_n \in [a, b]\) tel que \(f(x_n) \geq\, n\). La suite \((x_n)\) est bornée. D’après le théorème de Bolzano-Weierstrass, elle admet une sous-suite \((x_{\varphi(n)})\) qui converge vers un réel \(c\). Par passage à la limite dans les inégalités, \(c \in [a, b]\). Alors, par continuité, \(f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)\), ce qui contredit \(f(x_{\varphi(n)}) \geq\, \varphi(n) \geq\, n\).

Ensuite, notons \(M = \sup_{[a, b]} f\). Pour tout \(n \geq\, 1\), il existe \(x_n \in [a, b]\) tel que \(M – 1/n < f(x_n) \leq\, M\). De nouveau, une sous-suite converge vers \(x_M \in [a, b]\). Par continuité, \(f(x_M) = \lim f(x_{\varphi(n)}) = M\). Le cas du minimum s’obtient en appliquant ce résultat à \(-f\).

L’image d’un segment par une fonction continue est un segment : \(f([a, b]) = [m, M]\), avec \(m = \min_{[a, b]} f\) et \(M = \max_{[a, b]} f\).

Les deux hypothèses sont indispensables. Par exemple, \(x \mapsto x\) est continue sur \([0, 1[\) mais n’y atteint pas sa borne supérieure 1. De même, la fonction définie par \(f(x) = x\) sur \([0, 1[\) et \(f(1) = 0\) n’est pas continue et n’atteint pas non plus son sup. Enfin, l’image d’un intervalle ouvert n’est pas toujours ouverte : \(\sin(]0, 2\pi[) = [-1, 1]\).

Soit \(f\) continue sur \([a, b]\) et strictement positive. Alors son minimum \(m = f(x_m)\) est atteint, donc \(m > 0\). Ainsi, \(f(x) \geq\, m > 0\) pour tout \(x\) : la fonction \(f\) est minorée par une constante strictement positive. Sur \(]0, 1]\), la fonction \(x \mapsto x\) montre que ce résultat tombe en défaut sans segment.

Une fonction continue et injective sur un intervalle \(I\) est strictement monotone sur \(I\).

(Théorème de la bijection.) Soit \(f\) continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\). Alors :

• \(J = f(I)\) est un intervalle, dont les bornes sont les limites de \(f\) aux bornes de \(I\) ;
• \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur \(J\) ;
• la réciproque \(f^{-1} : J \to I\) est continue et strictement monotone, de même sens que \(f\).

Supposons \(f\) strictement croissante. D’abord, \(J\) est un intervalle d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires. Ensuite, \(f\) est injective car strictement monotone, et surjective sur \(J\) par définition. Donc \(f : I \to J\) est bijective. La réciproque \(g = f^{-1}\) est strictement croissante : si \(y < y^{\prime}\) et \(g(y) \geq\, g(y^{\prime})\), la croissance de \(f\) donnerait \(y \geq\, y^{\prime}\).

Montrons enfin que \(g\) est continue en un point \(y_0\) intérieur à \(J\). D’après le théorème de la limite monotone, \(g(y_0^-)\) et \(g(y_0^+)\) existent et \(g(y_0^-) \leq\, g(y_0) \leq\, g(y_0^+)\). Supposons par exemple \(g(y_0^-) < g(y_0)\). Pour \(y < y_0\), on a \(g(y) \leq\, g(y_0^-)\) et, pour \(y > y_0\), on a \(g(y) > g(y_0)\). Donc l’intervalle \(]g(y_0^-), g(y_0)[\) ne contient aucune valeur de \(g\). Or \(g(J) = I\) est un intervalle qui contient \(g(y_0)\) et des valeurs inférieures à \(g(y_0^-)\) : c’est absurde. L’autre inégalité se traite de même. Donc \(g\) est continue en \(y_0\). Aux bornes de \(J\), l’argument est le même avec une seule limite latérale.

Pour établir que \(f\) réalise une bijection et étudier sa réciproque :

• on montre que \(f\) est continue et strictement monotone sur l’intervalle \(I\), souvent grâce au signe de la dérivée ;
• on calcule les limites de \(f\) aux bornes de \(I\) pour obtenir \(J = f(I)\) ;
• on en déduit que \(f^{-1}\) est continue, de même monotonie, et que ses limites aux bornes de \(J\) sont les bornes de \(I\) ;
• quand c’est possible, on résout \(f(x) = y\) pour obtenir une formule explicite de \(f^{-1}\).

La fonction \(\mathrm{sh}\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), avec des limites \(-\infty\) et \(+\infty\). C’est donc une bijection de \(\mathbb{R}\) sur \(\mathbb{R}\). Résolvons \(\mathrm{sh}(x) = y\) : en posant \(X = e^x > 0\), on obtient \(X^2 – 2yX – 1 = 0\). La seule racine positive est \(X = y + \sqrt{y^2 + 1}\). Ainsi, \(\mathrm{argsh}(y) = \ln(y + \sqrt{y^2 + 1})\), et cette réciproque est bien continue.

Soit \(f : D \to \mathbb{C}\) et \(\ell \in \mathbb{C}\). On dit que \(f\) tend vers \(\ell\) en \(a\) si \(|f(x) – \ell|\) tend vers 0 quand \(x\) tend vers \(a\). La fonction \(f\) est continue en \(a \in D\) si elle tend vers \(f(a)\) en \(a\).

La fonction \(f\) tend vers \(\ell\) en \(a\) si et seulement si \(\mathrm{Re}(f)\) tend vers \(\mathrm{Re}(\ell)\) et \(\mathrm{Im}(f)\) tend vers \(\mathrm{Im}(\ell)\). En effet, on a \(|\mathrm{Re}(z)| \leq\, |z|\), \(|\mathrm{Im}(z)| \leq\, |z|\) et \(|z| \leq\, |\mathrm{Re}(z)| + |\mathrm{Im}(z)|\). De même, \(f\) est continue si et seulement si ses parties réelle et imaginaire le sont.

Le théorème des valeurs intermédiaires n’a plus de sens dans \(\mathbb{C}\), car « être compris entre » n’y est pas défini. Par exemple, \(\varphi(t) = e^{i\pi t}\) est continue sur \([0, 1]\), avec \(\varphi(0) = 1\) et \(\varphi(1) = -1\). Pourtant, \(|\varphi(t)| = 1\), donc \(\varphi\) ne s’annule jamais. De même, la notion de fonction monotone n’existe pas pour des valeurs complexes.

Étudions \(h(t) = \dfrac{e^{it} – 1}{t}\) en 0. Sa partie réelle \(\dfrac{\cos t – 1}{t}\) tend vers \(\cos^{\prime}(0) = 0\), et sa partie imaginaire \(\dfrac{\sin t}{t}\) tend vers 1. Donc \(h\) tend vers \(i\) en 0, et on la prolonge par continuité en posant \(h(0) = i\).