Séries entières : cours de maths en L2 en PDF.

Soit \((a_n)_{n \geq\, 0}\) une suite de nombres complexes. On appelle série entière de coefficients \(a_n\) la série de fonctions \(\sum a_n z^n\), où la variable \(z\) décrit \(\mathbb{C}\). Lorsque la série converge, sa somme est \(f(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n\).

Lemme d’Abel. Soit \(z_0 \in \mathbb{C}\) tel que la suite \((a_n z_0^n)\) soit bornée. Alors, pour tout \(z\) tel que \(|z| < |z_0|\), la série \(\sum a_n z^n\) converge absolument.

Soit \(M\) tel que \(|a_n z_0^n| \leq\, M\) pour tout \(n\). Si \(|z| < |z_0|\), alors \(z_0 \neq 0\) et on pose \(q = |z|/|z_0| \in [0, 1[\). On a ainsi

\[|a_n z^n| = |a_n z_0^n| | \frac{z}{z_0} |^n \leq\, M q^n.\]

Or la série géométrique \(\sum M q^n\) converge. Par comparaison de séries à termes positifs, \(\sum |a_n z^n|\) converge donc.

L’hypothèse est faible : il suffit que la suite \((a_n z_0^n)\) soit bornée. En particulier, c’est le cas dès que \(\sum a_n z_0^n\) converge, car son terme général tend alors vers \(0\).

Le rayon de convergence de \(\sum a_n z^n\) est l’élément de \([0, +\infty]\) défini par

\[R = \sup \{ r \geq\, 0 \ : \ (a_n r^n)_{n \geq\, 0} \text{ est bornée} \}.\]

Le disque ouvert de convergence est \(D(0, R) = \{ z \in \mathbb{C} \ : \ |z| < R \}\). Pour une variable réelle, on parle d’intervalle ouvert de convergence \(]-R, R[\).

Soit \(R\) le rayon de convergence de \(\sum a_n z^n\).

• Si \(|z| < R\), la série \(\sum a_n z^n\) converge absolument.
• Si \(|z| > R\), la suite \((a_n z^n)\) n’est pas bornée ; la série diverge alors grossièrement.

D’abord, si \(|z| < R\), on choisit \(r\) avec \(|z| < r < R\) et \((a_n r^n)\) bornée, ce qui est possible par définition de la borne supérieure. Le lemme d’Abel appliqué à \(z_0 = r\) donne la convergence absolue. Ensuite, si \(|z| > R\), le réel \(|z|\) n’appartient pas à l’ensemble définissant \(R\). Par conséquent, \((a_n z^n)\) n’est pas bornée et ne tend pas vers \(0\).

Les trois séries \(\sum z^n\), \(\sum \frac{z^n}{n}\) et \(\sum \frac{z^n}{n^2}\) ont toutes pour rayon \(1\). Pourtant, sur le cercle unité, la première diverge partout. La deuxième diverge en \(z = 1\) mais converge en \(z = -1\). Enfin, la troisième converge absolument en tout point du cercle, car \(| \frac{z^n}{n^2} | = \frac{1}{n^2}\).

Règle de d’Alembert. Supposons \(a_n \neq 0\) à partir d’un certain rang et \(| \frac{a_{n+1}}{a_n} | \to \ell \in [0, +\infty]\). Alors \(R = \frac{1}{\ell}\), avec les conventions \(\frac{1}{0} = +\infty\) et \(\frac{1}{+\infty} = 0\).

Soit \(z \neq 0\). On applique la règle de d’Alembert des séries numériques à \(u_n = |a_n z^n|\) :

\[\frac{u_{n+1}}{u_n} = | \frac{a_{n+1}}{a_n} | |z| \longrightarrow \ell |z|.\]

Si \(\ell |z| < 1\), la série converge absolument, donc \(R \geq\, |z|\). Si \(\ell |z| > 1\), la suite \((u_n)\) croît à partir d’un certain rang et ne tend pas vers \(0\), donc \(R \leq\, |z|\). Ainsi \(R = 1/\ell\).

Pour déterminer un rayon de convergence :

• si le quotient \(| a_{n+1}/a_n |\) a une limite simple, on applique la règle de d’Alembert ;
• si la série est lacunaire (par exemple \(\sum a_n z^{2n}\)), on applique d’Alembert au terme général complet \(u_n(z)\), et non aux coefficients ;
• sinon, on encadre \(R\) : un point \(z_0\) où \((a_n z_0^n)\) est bornée donne \(R \geq\, |z_0|\), un point où la série diverge donne \(R \leq\, |z_0|\) ;
• on compare enfin aux séries connues : si \(|a_n| \leq\, |b_n|\), alors \(R_a \geq\, R_b\) ; si \(a_n \sim b_n\), alors \(R_a = R_b\).

Pour \(\sum \frac{z^n}{n!}\), on a \(\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{1}{n+1} \to 0\), donc \(R = +\infty\). Pour \(\sum \frac{z^{2n}}{4^n}\), les coefficients d’indice impair sont nuls. On étudie donc \(u_n(z) = \frac{z^{2n}}{4^n}\) : le quotient \(| \frac{u_{n+1}}{u_n} | = \frac{|z|^2}{4}\) est strictement inférieur à \(1\) si et seulement si \(|z| < 2\). Par conséquent, \(R = 2\).

Les séries \(\sum a_n z^n\), \(\sum n a_n z^n\) et \(\sum \frac{a_n}{n+1} z^n\) ont le même rayon de convergence.

Notons \(R\) et \(R^{\prime}\) les rayons de \(\sum a_n z^n\) et \(\sum n a_n z^n\). Comme \(|a_n| \leq\, n |a_n|\) pour \(n \geq\, 1\), on a \(R \geq\, R^{\prime}\). Réciproquement, soit \(0 < r < \rho < R\). La suite \((a_n \rho^n)\) est bornée par un réel \(M\). Alors \(n |a_n| r^n \leq\, M n (r/\rho)^n\), qui tend vers \(0\) par croissances comparées. Ainsi \(R^{\prime} \geq\, r\) pour tout \(r < R\), donc \(R^{\prime} \geq\, R\). Le troisième cas s’en déduit, car \(\sum a_n z^n\) s’obtient à partir de \(\sum \frac{a_n}{n+1} z^n\) en multipliant les coefficients par \(n + 1\).

Soient \(\sum a_n z^n\) et \(\sum b_n z^n\) de rayons \(R_a\) et \(R_b\).

• Somme : le rayon \(R\) de \(\sum (a_n + b_n) z^n\) vérifie \(R \geq\, \min(R_a, R_b)\), avec égalité si \(R_a \neq R_b\). De plus, pour \(|z| < \min(R_a, R_b)\), la somme est \(\sum a_n z^n + \sum b_n z^n\).
• Produit de Cauchy : on pose \(c_n = \sum_{k=0}^{n} a_k b_{n-k}\). Le rayon de \(\sum c_n z^n\) est au moins \(\min(R_a, R_b)\), et pour \(|z| < \min(R_a, R_b)\) :

\[\sum_{n=0}^{+\infty} c_n z^n = ( \sum_{n=0}^{+\infty} a_n z^n ) ( \sum_{n=0}^{+\infty} b_n z^n ).\]

Pour la somme, si \(|z| < \min(R_a, R_b)\), les deux séries convergent, donc leur somme aussi. Supposons ensuite \(R_a < R_b\) et prenons \(R_a < |z| < R_b\). Si \(\sum (a_n + b_n) z^n\) convergeait, alors \(\sum a_n z^n\) convergerait aussi, par différence : c’est absurde. Pour le produit, les deux séries convergent absolument lorsque \(|z| < \min(R_a, R_b)\). Le théorème sur le produit de Cauchy de deux séries absolument convergentes s’applique donc.

Le produit de Cauchy de \(\sum z^n\) par elle-même a pour coefficients \(c_n = \sum_{k=0}^{n} 1 = n + 1\). Ainsi, pour \(|z| < 1\), on obtient \(\frac{1}{(1-z)^2} = \sum_{n=0}^{+\infty} (n+1) z^n\).

Si \(R_a = R_b\), le rayon de la somme peut être strictement plus grand. Par exemple, \(\sum z^n\) et \(\sum (-1) z^n\) ont pour rayon \(1\), mais leur somme est la série nulle, de rayon \(+\infty\).

Soit \(\sum a_n z^n\) de rayon \(R > 0\) et soit \(0 \leq\, r < R\). La série converge normalement sur le disque fermé \(\overline{D}(0, r)\). Par conséquent, elle converge normalement sur tout compact inclus dans \(D(0, R)\).

Pour \(|z| \leq\, r\), on a \(|a_n z^n| \leq\, |a_n| r^n\). Or \(r < R\), donc la série numérique \(\sum |a_n| r^n\) converge, d’après le théorème du paragraphe II. C’est exactement la convergence normale sur \(\overline{D}(0, r)\). Enfin, un compact \(K\) de \(D(0, R)\) est fermé et borné. La fonction continue \(z \mapsto |z|\) atteint donc sur \(K\) un maximum \(r < R\). Ainsi \(K \subset \overline{D}(0, r)\).

La somme \(f\) d’une série entière de rayon \(R > 0\) est continue sur le disque ouvert \(D(0, R)\).

Soit \(z_0\) avec \(|z_0| < R\). On choisit \(r\) tel que \(|z_0| < r < R\). Chaque fonction \(z \mapsto a_n z^n\) est continue. Or la série converge normalement, donc uniformément, sur \(\overline{D}(0, r)\). D’après le théorème de continuité d’une somme uniformément convergente, \(f\) est continue sur \(\overline{D}(0, r)\), qui est un voisinage de \(z_0\). Ainsi \(f\) est continue en \(z_0\).

Pour la série géométrique, le reste vaut \(\frac{x^{n+1}}{1-x}\). Il n’est pas borné sur \(]-1, 1[\), donc la convergence n’est pas uniforme sur tout l’intervalle ouvert. C’est pourquoi on raisonne toujours sur un segment \([-r, r]\) avec \(r < R\), puis on conclut point par point.

Lorsque la série \(\sum |a_n| R^n\) converge, la convergence est normale sur le disque fermé \(\overline{D}(0, R)\) tout entier. Dans ce cas, la somme est continue jusqu’au bord. C’est par exemple le cas de \(\sum \frac{z^n}{n^2}\).

Intégration terme à terme. La fonction \(f\) admet sur \(]-R, R[\) la primitive nulle en \(0\) suivante :

\[F(x) = \int_0^x f(t)\, \mathrm{d}t = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{a_n}{n+1} x^{n+1},\]

et cette série entière a encore pour rayon \(R\).

Soit \(x \in ]-R, R[\). Le segment d’extrémités \(0\) et \(x\) est inclus dans \([-|x|, |x|]\), sur lequel la série converge normalement. D’après le théorème d’intégration d’une série uniformément convergente sur un segment, on peut intervertir somme et intégrale. Par ailleurs, le rayon est conservé d’après la proposition du paragraphe II.

Dérivation terme à terme. La fonction \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]-R, R[\), et ses dérivées s’obtiennent en dérivant terme à terme :

\[f^{(k)}(x) = \sum_{n=k}^{+\infty} \frac{n!}{(n-k)!} a_n x^{n-k}.\]

En particulier, \(a_n = \dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}\) pour tout \(n\).

La série dérivée \(\sum n a_n x^{n-1}\) a pour rayon \(R\). Elle converge donc normalement sur tout segment \([-r, r]\) avec \(r < R\). De plus, la série \(\sum a_n x^n\) converge en \(0\). Le théorème de dérivation des séries de fonctions s’applique donc sur \([-r, r]\) : \(f\) y est de classe \(\mathcal{C}^1\) et \(f^{\prime}\) est la somme de la série dérivée. Comme \(r\) est arbitraire, cela vaut sur \(]-R, R[\). Enfin, une récurrence sur \(k\) donne la classe \(\mathcal{C}^\infty\). En évaluant \(f^{(n)}\) en \(0\), seul le terme d’indice \(n\) subsiste, ce qui donne \(f^{(n)}(0) = n!\, a_n\).

Unicité des coefficients. Si \(\sum a_n x^n = \sum b_n x^n\) pour tout \(x\) d’un intervalle \(]-r, r[\) avec \(r > 0\), alors \(a_n = b_n\) pour tout \(n\).

Pour \(|x| < 1\), on a \(\frac{1}{1+x} = \sum_{n=0}^{+\infty} (-1)^n x^n\). En intégrant terme à terme, on obtient \(\ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n\). De même, \(\frac{1}{1+x^2} = \sum (-1)^n x^{2n}\) donne \(\arctan x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}\). Ces deux développements ont pour rayon \(1\).

Pour calculer la somme d’une série entière :

• on détermine d’abord le rayon \(R\) ;
• on reconnaît une série usuelle, éventuellement après décomposition des coefficients (par exemple \(n^2 = n(n-1) + n\), ou une décomposition en éléments simples de \(\frac{1}{(n+1)(n+2)}\)) ;
• on fait apparaître des facteurs \(n\) par dérivation, via \(x f^{\prime}(x) = \sum n a_n x^n\), et des facteurs \(\frac{1}{n+1}\) par intégration ;
• enfin, on précise l’ensemble de validité et on traite à part les valeurs particulières, comme \(x = 0\).

Une fonction \(f\) définie au voisinage de \(0\) est développable en série entière (DSE) sur \(]-r, r[\), avec \(r > 0\), s’il existe une série entière de rayon au moins \(r\) telle que \(f(x) = \sum_{n=0}^{+\infty} a_n x^n\) pour tout \(x \in ]-r, r[\).

Si \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) au voisinage de \(0\), sa série de Taylor en \(0\) est \(\sum \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\).

La fonction \(f\) définie par \(f(x) = e^{-1/x^2}\) si \(x \neq 0\) et \(f(0) = 0\) est de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(\mathbb{R}\), et toutes ses dérivées sont nulles en \(0\). Sa série de Taylor est donc nulle. Or \(f(x) > 0\) pour \(x \neq 0\) : ainsi, \(f\) n’est pas DSE en \(0\).

Soit \(f\) de classe \(\mathcal{C}^\infty\) sur \(]-r, r[\). Alors \(f\) est DSE sur \(]-r, r[\) si et seulement si, pour tout \(x \in ]-r, r[\), le reste de Taylor tend vers \(0\) :

\[R_n(x) = f(x) – \sum_{k=0}^{n} \frac{f^{(k)}(0)}{k!} x^k = \int_0^x \frac{(x-t)^n}{n!} f^{(n+1)}(t)\, \mathrm{d}t \xrightarrow[n \to +\infty]{ 0.\]

C’est notamment le cas s’il existe \(M\) tel que \(|f^{(n)}(t)| \leq\, M\) pour tout \(n\) et tout \(t \in ]-r, r[\).

L’équivalence traduit la définition : la série de Taylor converge vers \(f(x)\) si et seulement si \(R_n(x) \to 0\). Sous l’hypothèse de majoration, on obtient \(|R_n(x)| \leq\, M | \int_0^x \frac{|x-t|^n}{n!}\, \mathrm{d}t | = \frac{M |x|^{n+1}}{(n+1)!}\). Ce majorant tend vers \(0\) par croissances comparées.

Les développements suivants sont valables sur \(\mathbb{R}\) (rayon infini) :

\[e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}, \quad \cos x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}, \quad \sin x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!},\]

\[\mathrm{ch}\, x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!}, \quad \mathrm{sh}\, x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.\]

Les suivants sont valables sur \(]-1, 1[\) (rayon \(1\), sauf si \(\alpha \in \mathbb{N}\)) :

\[\frac{1}{1-x} = \sum_{n=0}^{+\infty} x^n, \quad \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{(-1)^{n+1}}{n} x^n, \quad \arctan x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1},\]

\[(1+x)^\alpha = 1 + \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots (\alpha-n+1)}{n!} x^n.\]

Établissons le développement de \((1+x)^\alpha\) avec \(\alpha \notin \mathbb{N}\). On pose \(c_n = \frac{\alpha(\alpha-1) \cdots (\alpha-n+1)}{n!}\), de sorte que \(\frac{c_{n+1}}{c_n} = \frac{\alpha – n}{n+1} \to -1\). Le rayon de \(S(x) = \sum c_n x^n\) vaut donc \(1\). De plus, \((n+1) c_{n+1} + n c_n = \alpha c_n\). Par dérivation terme à terme, on en déduit \((1+x) S^{\prime}(x) = \alpha S(x)\) sur \(]-1, 1[\), avec \(S(0) = 1\). Or \(g(x) = (1+x)^\alpha\) vérifie le même problème de Cauchy. Ensuite, \(( S(x)(1+x)^{-\alpha} )^{\prime} = 0\), donc \(S(x) = (1+x)^\alpha\).

Pour développer une fonction en série entière, on privilégie dans l’ordre :

• les opérations sur les développements usuels : somme, produit, décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle ;
• la dérivation ou l’intégration : on développe \(f^{\prime}\), puis on intègre terme à terme (cas de \(\ln\), \(\arctan\), \(\arcsin\)) ;
• une équation différentielle vérifiée par \(f\) (voir la partie suivante) ;
• en dernier recours, la majoration du reste de Taylor.

• On suppose \(y(x) = \sum a_n x^n\) de rayon \(R > 0\), puis on calcule \(y^{\prime}\) et \(y^{\prime\prime}\) terme à terme.
• On reporte dans l’équation, on réindexe pour faire apparaître \(x^n\) partout, puis on identifie les coefficients grâce à l’unicité.
• On résout la récurrence obtenue, en tenant compte des conditions initiales.
• Réciproquement, on vérifie que la série trouvée a un rayon \(R > 0\) : c’est indispensable, car les calculs précédents la supposaient convergente.
• Enfin, on reconnaît si possible une fonction usuelle et on conclut par le théorème de Cauchy-Lipschitz linéaire.

Cherchons la solution de \(y^{\prime\prime} + x y^{\prime} + y = 0\) telle que \(y(0) = 1\) et \(y^{\prime}(0) = 0\). Avec \(y = \sum a_n x^n\), on obtient

\[y^{\prime\prime} + x y^{\prime} + y = \sum_{n=0}^{+\infty} [ (n+2)(n+1) a_{n+2} + (n+1) a_n ] x^n.\]

Par unicité des coefficients, \(a_{n+2} = -\frac{a_n}{n+2}\). Ainsi \(a_0 = 1\) et \(a_1 = 0\) donnent \(a_{2k+1} = 0\) et \(a_{2k} = \frac{(-1)^k}{2^k k!}\). Cette série a un rayon infini, et sa somme vaut \(\sum \frac{(-x^2/2)^k}{k!} = e^{-x^2/2}\). Réciproquement, cette fonction est solution du problème de Cauchy, qui possède une unique solution : c’est donc la solution cherchée.

Toutes les solutions ne sont pas développables en série entière. Par exemple, l’équation \(4x y^{\prime\prime} + 2y^{\prime} – y = 0\) admet sur \(]0, +\infty[\) la solution \(\mathrm{sh}\sqrt{x}\), qui n’est pas dérivable en \(0\). La méthode fournit alors seulement une partie des solutions.