Ce QCM vérifie la maîtrise des polynômes d’endomorphismes et de la trigonalisation en L2 : polynômes annulateurs, polynôme minimal, lemme des noyaux, théorème de Cayley-Hamilton, sous-espaces caractéristiques et nilpotence. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Polynômes d’endomorphismes et trigonalisation du programme de deuxième année de licence de mathématiques (L2), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Trigonalisation et Cayley-Hamilton - QCM de maths en L2
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Que dit le théorème de Cayley-Hamilton pour \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{K})\) ?
A\(\chi_A(A) = 0\) seulement si \(A\) est diagonalisable.
B\(\chi_A\) est le polynôme minimal de \(A\).
C\(\chi_A(A) = 0\)
D\(\det(\chi_A(A)) = 0\), sans que \(\chi_A(A)\) soit nul.
Question 2
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 - 3A + 2I_n = 0\). Que vaut \(A^{-1}\) ?
A\(\frac{1}{3}(2I_n - A)\)
B\(\frac{1}{2}(3I_n - A)\)
C\(3I_n - A\)
D\(\frac{1}{2}(A - 3I_n)\)
Question 3
Quel est le polynôme minimal de \(D = \mathrm{diag}(2, 2, 3)\) ?
A\((X-2)(X-3)\)
B\((X-2)^2\)
C\(X - 2\)
D\((X-2)^2(X-3)\)
Question 4
Quel est l’énoncé du lemme des noyaux pour \(P, Q \in \mathbb{K}[X]\) et \(u \in \mathcal{L}(E)\) ?
APour tous \(P\) et \(Q\), \(\ker (PQ)(u) = \ker P(u) \oplus \ker Q(u)\).
BSi \(P\) et \(Q\) sont premiers entre eux, \(\ker (PQ)(u) = \ker P(u) \cap \ker Q(u)\).
CSi \(P\) et \(Q\) sont premiers entre eux, \(\ker (P+Q)(u) = \ker P(u) \oplus \ker Q(u)\).
DSi \(P\) et \(Q\) sont premiers entre eux, \(\ker (PQ)(u) = \ker P(u) \oplus \ker Q(u)\).
Question 5
Soit \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) telle que \(A^3 = A\). Est-elle diagonalisable ?
AOui dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), car \(X^3 - X\) est scindé à racines simples sur \(\mathbb{R}\).
BSeulement si \(A\) est inversible, car \(0\) est racine de \(X^3 - X\).
CSeulement dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{C})\), où tout polynôme est scindé.
DPas nécessairement, car \(X^3 - X\) n’est pas le polynôme caractéristique.
Question 6
Existe-t-il \(A \in \mathcal{M}_3(\mathbb{R})\) telle que \(A^2 = -I_3\) ?
AOui, par exemple une rotation d’angle \(\frac{\pi}{2}\) de \(\mathbb{R}^3\).
BOui, car \(X^2 + 1\) est annulateur de nombreuses matrices.
COui, mais elle ne serait pas diagonalisable sur \(\mathbb{C}\).
DNon, car on aurait \(\det(A)^2 = (-1)^3 = -1\).
Question 7
À quelle condition une matrice \(A \in \mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) est-elle trigonalisable dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\) ?
ASi et seulement si \(A\) est inversible.
BToujours.
CSi et seulement si \(\chi_A\) est scindé à racines simples sur \(\mathbb{R}\).
DSi et seulement si \(\chi_A\) est scindé sur \(\mathbb{R}\).
Question 8
Si \(N \in \mathcal{M}_n(\mathbb{C})\) est nilpotente, que vaut son polynôme caractéristique ?
A\((X-1)^n\)
B\(X^n\)
C\(X^n - 1\)
D\(X^{n-1}\)
Question 9
Soit \(A\) une matrice telle que \(A^2 = A + 2I_n\). Laquelle de ces égalités est vraie ?
A\(A^3 = 2A + 2I_n\)
B\(A^3 = 3A + I_n\)
C\(A^3 = 3A + 2I_n\)
D\(A^3 = A + 4I_n\)
Question 10
Soit \(u\) un endomorphisme dont le polynôme caractéristique est scindé, et \(\lambda\) une valeur propre de multiplicité \(m\). Quelle est la dimension du sous-espace caractéristique \(\ker (u - \lambda\,\mathrm{id})^{m}\) ?
A\(\dim \ker(u - \lambda\,\mathrm{id})\)
B\(m\)
C\(n - m\)
D\(1\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de trigonalisation et Cayley-Hamilton en L2
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les polynômes annulateurs et le calcul d’inverses et de puissances ;
le polynôme minimal et ses racines, qui sont exactement les valeurs propres ;
le lemme des noyaux pour des polynômes premiers entre eux ;
le théorème de Cayley-Hamilton \(\chi_u(u) = 0\) ;
la diagonalisabilité par un polynôme annulateur scindé à racines simples ;
la trigonalisation, les sous-espaces caractéristiques et les endomorphismes nilpotents.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : « démontrer » Cayley-Hamilton en remplaçant \(X\) par \(A\) dans \(\det(XI_n – A)\), ce qui donnerait \(\det(0) = 0\). Le résultat est une matrice nulle, pas un déterminant nul, et cette substitution n’a aucun sens.
Comment réviser avant de refaire le test
Dès qu’une relation polynomiale \(P(A) = 0\) apparaît, factorisez \(P\) : s’il est scindé à racines simples, \(A\) est diagonalisable ; si \(P(0) \neq 0\), vous obtenez \(A^{-1}\) comme polynôme en \(A\) ; et la division euclidienne de \(X^n\) par \(P\) donne \(A^n\). Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Le cours et les exercices du même chapitre
Un score faible signale donc simplement qu’il faut reprendre la leçon avant de recommencer :
Comment trouver le polynôme minimal sans tester tous les diviseurs ?
Il divise \(\chi_A\) et possède les mêmes racines. Il suffit donc de tester les diviseurs de \(\chi_A\) contenant chaque valeur propre au moins une fois, en augmentant les exposants.
Toute matrice réelle est-elle trigonalisable ?
Non : dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{R})\), il faut que \(\chi_A\) soit scindé sur \(\mathbb{R}\). En revanche toute matrice complexe est trigonalisable, car tout polynôme est scindé sur \(\mathbb{C}\).
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