Ce QCM de maths spé vérifie les bases des espaces vectoriels normés : définition d’une norme, normes usuelles sur \(\mathbb{K}^n\) et sur les fonctions, suites convergentes, valeurs d’adhérence et normes équivalentes. Ainsi, ce questionnaire à choix multiples reprend le chapitre Normes, espaces vectoriels normés et suites du programme de maths spé (MP, deuxième année de classe préparatoire), en dix questions corrigées. De plus, chaque réponse est justifiée dès le clic. Enfin, le score final indique ce qu’il reste à revoir.
🎓 Espaces vectoriels normés - QCM de maths spé
Score : 0 / 10
Répondues : 0 / 10
Question 1
Laquelle des propriétés suivantes fait partie de la définition d’une norme \(N\) sur un \(\mathbb{K}\)-espace vectoriel ?
A\(N(x + y) = N(x) + N(y)\) pour tous \(x, y \in E\)
B\(N(\lambda x) = |\lambda|\,N(x)\) pour tous \(\lambda \in \mathbb{K}\), \(x \in E\)
C\(N(x) \geqslant 1\) pour tout \(x \neq 0\)
D\(N(\lambda x) = \lambda\,N(x)\) pour tous \(\lambda \in \mathbb{K}\), \(x \in E\)
Question 2
Pour \(x = (3, -4, 12) \in \mathbb{R}^3\), le triplet \(\big(\|x\|_1, \|x\|_2, \|x\|_\infty\big)\) vaut :
A\((19, 13, 12)\)
B\((19, \sqrt{13}, 12)\)
C\((11, 13, 12)\)
D\((19, 169, 12)\)
Question 3
Sur \(\mathbb{K}^n\), laquelle des inégalités suivantes est vraie pour tout \(x\) ?
A\(\|x\|_1 \leqslant \|x\|_\infty\)
B\(\|x\|_2 \leqslant \|x\|_\infty\)
C\(\|x\|_1 \leqslant n\,\|x\|_\infty\)
D\(n\,\|x\|_\infty \leqslant \|x\|_1\)
Question 4
Sur \(\mathcal{C}([0,1], \mathbb{R})\), on pose \(f_n(x) = x^n\). Que montre le rapport \(\frac{\|f_n\|_\infty}{\|f_n\|_1}\) ?
Ail tend vers \(1\), donc les deux normes sont équivalentes
Bil vaut \(\frac{1}{n + 1}\), donc les deux normes ne sont pas équivalentes
Cil vaut \(n + 1\), donc \(\|\cdot\|_1\) et \(\|\cdot\|_\infty\) ne sont pas équivalentes
Dil vaut \(n + 1\), donc \(\|\cdot\|_1\) n’est pas dominée par \(\|\cdot\|_\infty\)
Question 5
Pour \(f(x) = x\) sur \([0,1]\), que vaut la norme de la convergence en moyenne quadratique \(\|f\|_2 = \left(\int_0^1 f^2\right)^{1/2}\) ?
A\(\frac{1}{2}\)
B\(\frac{1}{3}\)
C\(\frac{1}{\sqrt{2}}\)
D\(\frac{1}{\sqrt{3}}\)
Question 6
Dans \(\mathbb{R}^2\), à quoi ressemble la boule unité fermée de la norme \(\|\cdot\|_1\) ?
Aau disque de centre \(0\) et de rayon \(1\)
Bau carré \([0, 1]^2\)
Cau carré \([-1, 1]^2\)
Dau carré de sommets \((\pm 1, 0)\) et \((0, \pm 1)\)
Question 7
Que peut-on dire de la suite \(u_n = \left((-1)^n, \frac{1}{n}\right)\) de \(\mathbb{R}^2\) ?
Aelle converge pour \(\|\cdot\|_1\) mais pas pour \(\|\cdot\|_\infty\)
Belle diverge, car elle a deux valeurs d’adhérence \((1, 0)\) et \((-1, 0)\)
Celle converge vers \((0, 0)\)
Delle diverge, car elle n’est pas bornée
Question 8
Quelle est la limite de \(A_n = \begin{pmatrix} \frac{1}{n} & \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n \\ n \sin\frac{1}{n} & 2 \end{pmatrix}\) dans \(\mathcal{M}_2(\mathbb{R})\) ?
A\(\begin{pmatrix} 0 & e \\ 0 & 2 \end{pmatrix}\)
B\(\begin{pmatrix} 0 & e \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)
C\(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)
D\(\begin{pmatrix} 1 & e \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\)
Question 9
Deux normes \(N\) et \(N'\) sur \(E\) sont équivalentes si et seulement si :
Ail existe \(\alpha, \beta > 0\) tels que \(\alpha N \leqslant N' \leqslant \beta N\)
Bil existe \(\alpha > 0\) tel que \(N \leqslant \alpha N'\)
Cil existe \(\alpha > 0\) tel que \(N' = \alpha N\)
Dil existe \(\alpha, \beta \geqslant 0\) tels que \(\alpha N \leqslant N' \leqslant \beta N\)
Question 10
L’application \(P \mapsto |P(0)| + |P(1)|\) est une norme sur :
A\(\mathbb{R}_1[X]\), mais pas sur \(\mathbb{R}_2[X]\)
B\(\mathbb{R}_n[X]\) pour tout \(n\)
Caucun \(\mathbb{R}_n[X]\), car elle n’est pas homogène
D\(\mathbb{R}_2[X]\), mais pas sur \(\mathbb{R}_1[X]\)
🎉 QCM terminé !
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Ce que vérifie ce QCM de espaces vectoriels normés en maths spé
Les questions mêlent énoncés du cours, calculs courts et pièges de raisonnement. En particulier, elles portent sur :
les trois axiomes d’une norme : séparation, homogénéité, inégalité triangulaire ;
les normes \(\|\cdot\|_1\), \(\|\cdot\|_2\), \(\|\cdot\|_\infty\) et leurs boules unité ;
les normes de la convergence uniforme, en moyenne et en moyenne quadratique ;
les valeurs d’adhérence pour prouver la divergence d’une suite ;
les normes équivalentes et la méthode de la suite pour prouver la non-équivalence.
L’erreur la plus fréquente
L’erreur classique : conclure que deux normes ne sont pas équivalentes parce que le rapport \(\frac{N(x)}{N'(x)}\) n’est pas constant. Il faut montrer qu’il n’est pas borné (ou pas minoré par un réel strictement positif) le long d’une suite.
Comment réviser avant de refaire le test
Pour comparer deux normes, cherchez d’abord l’inégalité facile (souvent \(\|f\|_1 \leq\, \|f\|_\infty\) sur \([0,1]\)), puis testez l’autre sens avec une suite simple comme \(x \mapsto x^n\). Pour vérifier une norme, commencez par l’axiome de séparation, le plus souvent en défaut. Ensuite, refaites le questionnaire quelques jours plus tard, sans relire les corrections. C’est en effet le meilleur moyen de vérifier que la notion est fixée.
Pourquoi la limite d’une suite dépend-elle de la norme ?
En dimension infinie, deux normes peuvent ne pas être équivalentes : \(f_n(x) = x^n\) tend vers \(0\) pour \(\|\cdot\|_1\) sur \(\mathcal{C}([0,1])\), mais pas pour \(\|\cdot\|_\infty\). En dimension finie, en revanche, la convergence ne dépend pas de la norme.
Comment montrer qu’une suite de matrices converge ?
Dans \(\mathcal{M}_n(\mathbb{K})\), de dimension finie, il suffit de montrer que chaque coefficient converge : c’est la convergence pour la norme infinie des coefficients, équivalente à toutes les autres.
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