Ce chapitre de dérivation L1 construit rigoureusement la notion de nombre dérivé à partir du taux d’accroissement. Vous y étudiez la dérivabilité en un point, à gauche et à droite, puis les règles de calcul : produit, composée et fonction réciproque. Chaque résultat important est démontré.
Le cœur du chapitre est une chaîne de théorèmes. La condition nécessaire d’extremum conduit au théorème de Rolle, qui donne à son tour l’égalité et l’inégalité des accroissements finis. On en déduit enfin, avec une vraie preuve, le lien entre le signe de la dérivée et la monotonie. Le chapitre se termine par les dérivées successives, les fonctions de classe C^n et la formule de Leibniz.
Placé au premier semestre, après les limites et la continuité, ce cours prépare les développements limités, l’intégration et les équations différentielles. Les accroissements finis servent aussi à étudier les suites récurrentes.
Pour vous entraîner ensuite, travaillez les exercices de maths en L1 sur dérivation.
I. Nombre dérivé et dérivation en un point
Dans tout le chapitre, \(I\) désigne un intervalle de \(\mathbb{R}\) non réduit à un point. De plus, \(f\) est une fonction de \(I\) dans \(\mathbb{R}\) et \(a\) un point de \(I\). L’idée est simple : on compare \(f\) à une fonction affine au voisinage de \(a\).
1. Taux d’accroissement et nombre dérivé
Le taux d’accroissement de \(f\) en \(a\) est la fonction définie sur \(I \setminus \{a\}\) par \[\tau_a(x) = \frac{f(x) – f(a)}{x – a}.\] On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) si \(\tau_a\) admet une limite finie en \(a\). Cette limite est le nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f^{\prime}(a)\). Autrement dit, \[f^{\prime}(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) – f(a)}{h}.\]
Géométriquement, \(\tau_a(x)\) est la pente de la sécante qui joint \(A(a, f(a))\) au point \(M(x, f(x))\). Ainsi, quand \(x\) tend vers \(a\), les sécantes pivotent autour de \(A\). Comme le montre la figure ci-dessous, elles se rapprochent d’une droite limite : la tangente.
Si \(f\) est dérivable en \(a\), la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(a\) est la droite d’équation \[y = f(a) + f^{\prime}(a)(x – a).\]
Soit \(f(x) = x^2\) et \(a \in \mathbb{R}\). Pour \(x \neq a\), on a \(\tau_a(x) = \dfrac{x^2 – a^2}{x – a} = x + a\). Par conséquent, \(\tau_a(x) \to 2a\) quand \(x \to a\). Donc \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f^{\prime}(a) = 2a\). En \(a = 1\), la tangente a pour équation \(y = 2x – 1\).
2. Développement limité à l’ordre 1
La dérivabilité se traduit aussi par une approximation affine. Cette forme est souvent la plus commode dans les démonstrations.
La fonction \(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement s’il existe un réel \(\ell\) et une fonction \(\varepsilon\) de limite nulle en \(0\) tels que, pour tout \(h\) avec \(a + h \in I\), \[f(a + h) = f(a) + \ell h + h\,\varepsilon(h).\] Dans ce cas, \(\ell = f^{\prime}(a)\).
Supposons \(f\) dérivable en \(a\). On pose \(\varepsilon(h) = \tau_a(a + h) – f^{\prime}(a)\) pour \(h \neq 0\), et \(\varepsilon(0) = 0\). Alors \(\varepsilon\) tend vers \(0\) et l’égalité a lieu avec \(\ell = f^{\prime}(a)\). Réciproquement, si l’égalité a lieu, on divise par \(h \neq 0\). On obtient \(\tau_a(a + h) = \ell + \varepsilon(h)\), qui tend vers \(\ell\).
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\).
D’après la proposition précédente, \(f(a + h) – f(a) = h\,(f^{\prime}(a) + \varepsilon(h))\). Le second membre est un produit de deux facteurs : le premier tend vers \(0\), le second reste borné. Donc \(f(a + h) \to f(a)\) quand \(h \to 0\).
La réciproque est fausse. En effet, la fonction \(x \mapsto |x|\) est continue en \(0\). Cependant, son taux d’accroissement vaut \(1\) à droite et \(-1\) à gauche : il n’a pas de limite en \(0\).
II. Dérivabilité à gauche et à droite
Certaines fonctions sont définies par des formules différentes de part et d’autre d’un point. On étudie alors le taux d’accroissement séparément de chaque côté.
On dit que \(f\) est dérivable à droite en \(a\) si \(\tau_a(x)\) admet une limite finie quand \(x \to a^{+}\). On note cette limite \(f^{\prime}_d(a)\). De même, la dérivée à gauche \(f^{\prime}_g(a)\) est la limite de \(\tau_a(x)\) quand \(x \to a^{-}\).
Soit \(a\) un point intérieur à \(I\). Alors \(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si \(f\) est dérivable à gauche et à droite en \(a\) avec \(f^{\prime}_g(a) = f^{\prime}_d(a)\). Dans ce cas, \(f^{\prime}(a)\) est cette valeur commune.
Cette propriété découle directement de la caractérisation d’une limite par ses limites à gauche et à droite. Lorsque les deux dérivées latérales existent mais diffèrent, la courbe présente un point anguleux. Elle possède alors deux demi-tangentes distinctes, comme on le voit sur la figure ci-dessous.
Soit \(f(x) = |x^2 – 1|\). Pour \(x > 1\), \(f(x) = x^2 – 1\), donc \(\tau_1(x) = x + 1 \to 2\). Pour \(x \in \,]-1, 1[\), \(f(x) = 1 – x^2\), donc \(\tau_1(x) = -(x + 1) \to -2\). Ainsi \(f^{\prime}_d(1) = 2\) et \(f^{\prime}_g(1) = -2\). Par conséquent, \(f\) n’est pas dérivable en \(1\).
Pour étudier la dérivabilité d’une fonction en un point \(a\) :
1. vérifiez d’abord la continuité en \(a\) (sinon, la fonction n’est pas dérivable) ;
2. écrivez le taux d’accroissement \(\tau_a(x)\) et simplifiez-le ;
3. cherchez sa limite, séparément à gauche et à droite si la formule change en \(a\) ;
4. concluez. Si le taux tend vers \(\pm\infty\), la courbe admet une tangente verticale.
La fonction racine carrée est continue en \(0\). Pourtant, \(\tau_0(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} \to +\infty\) quand \(x \to 0^{+}\). Elle n’est donc pas dérivable en \(0\), et sa courbe y admet une demi-tangente verticale.
III. Opérations sur les fonctions dérivables
On dit que \(f\) est dérivable sur \(I\) si elle est dérivable en tout point de \(I\). On définit alors la fonction dérivée \(f^{\prime}\). Les règles de calcul suivantes permettent d’obtenir la dérivabilité sans revenir au taux d’accroissement.
1. Somme, produit, quotient
Soit \(f\) et \(g\) dérivables en \(a\), et \(\lambda \in \mathbb{R}\). Alors \(f + g\), \(\lambda f\) et \(fg\) sont dérivables en \(a\), avec \[(fg)^{\prime}(a) = f^{\prime}(a)g(a) + f(a)g^{\prime}(a).\] Si de plus \(g(a) \neq 0\), alors \(\dfrac{f}{g}\) est dérivable en \(a\) et \((\dfrac{f}{g})^{\prime}(a) = \dfrac{f^{\prime}(a)g(a) – f(a)g^{\prime}(a)}{g(a)^2}\).
Montrons la formule du produit. Pour \(x \neq a\), on intercale le terme \(f(a)g(x)\) : \[\frac{f(x)g(x) – f(a)g(a)}{x – a} = \frac{f(x) – f(a)}{x – a}\,g(x) + f(a)\,\frac{g(x) – g(a)}{x – a}.\] Or \(g\) est continue en \(a\), car dérivable. Le membre de droite tend donc vers \(f^{\prime}(a)g(a) + f(a)g^{\prime}(a)\). Pour le quotient, on traite d’abord \(\dfrac{1}{g}\), puis on applique la formule du produit.
2. Dérivée d’une composée
Soit \(f : I \to J\) dérivable en \(a\), et \(g : J \to \mathbb{R}\) dérivable en \(b = f(a)\). Alors \(g \circ f\) est dérivable en \(a\) et \[(g \circ f)^{\prime}(a) = g^{\prime}(f(a))\,f^{\prime}(a).\]
On ne peut pas écrire naïvement un quotient par \(f(x) – f(a)\), qui peut s’annuler. On introduit donc la fonction \(\varphi\) définie sur \(J\) par \(\varphi(y) = \dfrac{g(y) – g(b)}{y – b}\) si \(y \neq b\), et \(\varphi(b) = g^{\prime}(b)\). Par définition, \(\varphi\) est continue en \(b\). De plus, pour tout \(y \in J\), on a \(g(y) – g(b) = \varphi(y)(y – b)\). Ainsi, pour \(x \neq a\) : \[\frac{g(f(x)) – g(f(a))}{x – a} = \varphi(f(x))\,\frac{f(x) – f(a)}{x – a}.\] Enfin, \(f\) est continue en \(a\), donc \(\varphi(f(x)) \to g^{\prime}(b)\). Le résultat s’en déduit.
La fonction \(x \mapsto x^x = e^{x \ln x}\) est dérivable sur \(]0, +\infty[\) comme composée. Sa dérivée vaut \((\ln x + 1)\,x^x\).
3. Dérivée d’une fonction réciproque
Soit \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\). On sait que \(f\) réalise une bijection de \(I\) sur l’intervalle \(J = f(I)\), et que \(f^{-1}\) est continue. La question est alors de savoir si \(f^{-1}\) hérite de la dérivabilité.
Soit \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\), dérivable en \(a\), et \(b = f(a)\). Alors \(f^{-1}\) est dérivable en \(b\) si et seulement si \(f^{\prime}(a) \neq 0\). Dans ce cas, \[(f^{-1})^{\prime}(b) = \frac{1}{f^{\prime}(a)} = \frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(b))}.\]
Pour \(y \in J\), \(y \neq b\), posons \(x = f^{-1}(y)\). Comme \(f^{-1}\) est injective, \(x \neq a\). On a alors \[\frac{f^{-1}(y) – f^{-1}(b)}{y – b} = \frac{x – a}{f(x) – f(a)}.\] Quand \(y \to b\), la continuité de \(f^{-1}\) donne \(x \to a\). Si \(f^{\prime}(a) \neq 0\), le quotient tend donc vers \(\dfrac{1}{f^{\prime}(a)}\). Si \(f^{\prime}(a) = 0\), sa valeur absolue tend vers \(+\infty\) : il n’y a pas de dérivabilité.
Géométriquement, les courbes de \(f\) et de \(f^{-1}\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Cette symétrie échange une pente \(m\) et la pente \(\dfrac{1}{m}\). La figure ci-dessous l’illustre avec la tangente et l’arctangente.
Pour dériver une fonction réciproque \(f^{-1}\) en \(b\) :
1. justifiez que \(f\) est continue et strictement monotone sur un intervalle ;
2. trouvez l’antécédent \(a = f^{-1}(b)\) et vérifiez que \(f^{\prime}(a) \neq 0\) ;
3. écrivez \((f^{-1})^{\prime}(b) = \dfrac{1}{f^{\prime}(a)}\), puis exprimez le résultat en fonction de \(b\) si c’est possible.
La fonction \(\tan\) est strictement croissante de \(]-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[\) sur \(\mathbb{R}\). De plus, \(\tan^{\prime} = 1 + \tan^2\) ne s’annule pas. Donc \(\arctan\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\arctan^{\prime}(y) = \dfrac{1}{1 + \tan^2(\arctan y)} = \dfrac{1}{1 + y^2}\).
IV. Extremum local et théorème de Rolle
1. Condition nécessaire d’extremum
On dit que \(f\) admet un maximum local en \(a\) s’il existe \(\delta > 0\) tel que \(f(x) \leq\, f(a)\) pour tout \(x \in I \cap \,]a – \delta, a + \delta[\). On définit de même un minimum local. Un extremum local est un maximum local ou un minimum local.
Soit \(a\) un point intérieur à \(I\). Si \(f\) admet un extremum local en \(a\) et si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f^{\prime}(a) = 0\).
Supposons que \(f\) admet un maximum local en \(a\). Comme \(a\) est intérieur, on choisit \(\delta\) tel que \(]a – \delta, a + \delta[ \subset I\). Pour \(a < x < a + \delta\), on a \(\tau_a(x) \leq\, 0\). Par passage à la limite, \(f^{\prime}(a) = f^{\prime}_d(a) \leq\, 0\). De même, pour \(a – \delta < x < a\), on a \(\tau_a(x) \geq\, 0\), donc \(f^{\prime}(a) = f^{\prime}_g(a) \geq\, 0\). Finalement, \(f^{\prime}(a) = 0\). Le cas d’un minimum se traite en remplaçant \(f\) par \(-f\).
D’abord, la réciproque est fausse : \(x \mapsto x^3\) a une dérivée nulle en \(0\) sans y avoir d’extremum. Ensuite, l’hypothèse « intérieur » est indispensable : sur \([0, 1]\), la fonction \(x \mapsto x\) atteint son maximum en \(1\) alors que sa dérivée vaut \(1\). Enfin, un extremum peut se trouver en un point où \(f\) n’est pas dérivable, comme \(|x|\) en \(0\).
2. Le théorème de Rolle
Théorème de Rolle. Soit \(a < b\) et \(f\) une fonction continue sur \([a, b]\), dérivable sur \(]a, b[\), telle que \(f(a) = f(b)\). Alors il existe \(c \in \,]a, b[\) tel que \(f^{\prime}(c) = 0\).
La fonction \(f\) est continue sur le segment \([a, b]\). Par le théorème des bornes atteintes, elle y admet un maximum \(M\) et un minimum \(m\). Si \(m = M\), alors \(f\) est constante et tout \(c \in \,]a, b[\) convient. Sinon, l’une des deux valeurs diffère de \(f(a) = f(b)\). Supposons par exemple \(M \neq f(a)\). Alors \(M\) est atteint en un point \(c\) qui n’est ni \(a\) ni \(b\). Ainsi \(c\) est intérieur, \(f\) y est dérivable et y admet un maximum. Par conséquent, \(f^{\prime}(c) = 0\).
Autrement dit, entre deux points de même hauteur, la courbe possède au moins une tangente horizontale. La figure ci-dessous en donne une illustration.
Soit \(P\) un polynôme réel ayant \(n\) racines réelles distinctes \(x_1 < \cdots < x_n\). On applique le théorème de Rolle sur chaque \([x_k, x_{k+1}]\). On obtient ainsi \(n – 1\) racines distinctes de \(P^{\prime}\), une dans chaque intervalle \(]x_k, x_{k+1}[\).
V. Les accroissements finis
1. Égalité des accroissements finis
Égalité des accroissements finis. Soit \(f\) continue sur \([a, b]\) et dérivable sur \(]a, b[\). Alors il existe \(c \in \,]a, b[\) tel que \[f(b) – f(a) = f^{\prime}(c)(b – a).\]
On pose \(p = \dfrac{f(b) – f(a)}{b – a}\) et \(g(x) = f(x) – p\,(x – a)\). La fonction \(g\) est continue sur \([a, b]\) et dérivable sur \(]a, b[\). De plus, \(g(a) = f(a)\) et \(g(b) = f(b) – (f(b) – f(a)) = f(a)\). Le théorème de Rolle fournit donc \(c \in \,]a, b[\) tel que \(g^{\prime}(c) = 0\), c’est-à-dire \(f^{\prime}(c) = p\).
Ainsi, il existe au moins un point où la tangente est parallèle à la corde \([AB]\). La figure ci-dessous montre qu’il peut en exister plusieurs. En revanche, le théorème ne dit rien sur la position exacte de \(c\).
Ce théorème concerne les fonctions à valeurs réelles. Par exemple, pour \(f(t) = e^{it}\) sur \([0, 2\pi]\), on a \(f(2\pi) – f(0) = 0\). Cependant, \(|f^{\prime}(t)| = 1\) ne s’annule jamais. L’égalité est donc fausse pour une fonction à valeurs complexes.
2. Inégalité des accroissements finis
Inégalité des accroissements finis. Soit \(f\) continue sur \(I\), dérivable à l’intérieur de \(I\). On suppose qu’il existe \(M \geq\, 0\) tel que \(|f^{\prime}(t)| \leq\, M\) pour tout \(t\) intérieur à \(I\). Alors, pour tous \(x, y \in I\), \[|f(x) – f(y)| \leq\, M\,|x – y|.\] On dit que \(f\) est \(M\)-lipschitzienne sur \(I\).
Soit \(x < y\) dans \(I\). On applique l’égalité des accroissements finis sur \([x, y]\). Il existe donc \(c \in \,]x, y[\) tel que \(f(y) – f(x) = f^{\prime}(c)(y – x)\). Or \(c\) est intérieur à \(I\), donc \(|f^{\prime}(c)| \leq\, M\). Le résultat en découle. Le cas \(x = y\) est immédiat.
Pour majorer un écart \(|f(x) – f(y)|\) :
1. choisissez un intervalle contenant \(x\) et \(y\) sur lequel \(f\) est dérivable ;
2. majorez \(|f^{\prime}|\) sur cet intervalle par une constante \(M\), la plus petite possible ;
3. concluez par l’inégalité des accroissements finis : \(|f(x) – f(y)| \leq\, M\,|x – y|\).
Comme \(|\sin^{\prime}| = |\cos| \leq\, 1\), on obtient \(|\sin x – \sin y| \leq\, |x – y|\) pour tous réels \(x, y\). En particulier, avec \(y = 0\), on retrouve \(|\sin x| \leq\, |x|\).
VI. Monotonie et signe de la dérivée
Le lien entre variations et signe de la dérivée est connu depuis le lycée. Désormais, les accroissements finis permettent de le démontrer.
Soit \(f\) continue sur l’intervalle \(I\) et dérivable à l’intérieur de \(I\). Alors :
1. \(f\) est croissante sur \(I\) si et seulement si \(f^{\prime} \geq\, 0\) à l’intérieur de \(I\) ;
2. \(f\) est constante sur \(I\) si et seulement si \(f^{\prime} = 0\) à l’intérieur de \(I\) ;
3. si \(f^{\prime} > 0\) à l’intérieur de \(I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
Supposons \(f^{\prime} \geq\, 0\) et prenons \(x < y\) dans \(I\). D’après l’égalité des accroissements finis, \(f(y) – f(x) = f^{\prime}(c)(y – x)\) avec \(c \in \,]x, y[\). Ce nombre est positif, donc \(f(x) \leq\, f(y)\). Si \(f^{\prime} > 0\), il est strictement positif. Réciproquement, si \(f\) est croissante, tous les taux d’accroissement sont positifs. Par passage à la limite, \(f^{\prime} \geq\, 0\). Le point 2 s’obtient en appliquant le point 1 à \(f\) et à \(-f\).
D’une part, l’hypothèse d’intervalle est essentielle. Par exemple, \(x \mapsto -\dfrac{1}{x}\) a une dérivée strictement positive sur \(\mathbb{R}^{*}\), mais elle n’est pas croissante sur \(\mathbb{R}^{*}\). D’autre part, la réciproque du point 3 est fausse : \(x \mapsto x^3\) est strictement croissante et pourtant sa dérivée s’annule en \(0\).
Soit \(f\) continue sur \(I\) et dérivable à l’intérieur de \(I\), avec \(f^{\prime} \geq\, 0\). Si \(f^{\prime}\) ne s’annule qu’en un nombre fini de points, alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
La fonction \(f(x) = x – \sin x\) a pour dérivée \(1 – \cos x \geq\, 0\). Sur \([0, 1]\), celle-ci ne s’annule qu’en \(0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \([0, 1]\), d’où \(\sin x < x\) pour \(x \in \,]0, 1]\). Pour \(x > 1\), cette inégalité est évidente.
Théorème de la limite de la dérivée. Soit \(f\) continue sur \(I\), dérivable sur \(I \setminus \{a\}\). Si \(f^{\prime}(x) \to \ell \in \mathbb{R}\) quand \(x \to a\), alors \(f\) est dérivable en \(a\) et \(f^{\prime}(a) = \ell\).
Pour \(x \neq a\), l’égalité des accroissements finis sur le segment d’extrémités \(a\) et \(x\) fournit \(c_x\) strictement entre \(a\) et \(x\) tel que \(\tau_a(x) = f^{\prime}(c_x)\). Quand \(x \to a\), on a aussi \(c_x \to a\). Donc \(\tau_a(x) \to \ell\).
VII. Dérivées successives et fonctions de classe C^n
1. Dérivées successives
On pose \(f^{(0)} = f\). Si \(f^{(n)}\) existe et est dérivable sur \(I\), on pose \(f^{(n+1)} = (f^{(n)})^{\prime}\). On dit que \(f\) est \(n\) fois dérivable si \(f^{(n)}\) existe. De plus, \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) si elle est \(n\) fois dérivable et si \(f^{(n)}\) est continue. Enfin, \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) si elle est de classe \(\mathcal{C}^n\) pour tout \(n\).
Par récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\), \(\sin^{(n)}(x) = \sin(x + \dfrac{n\pi}{2})\). En effet, dériver \(\sin\) revient à ajouter \(\dfrac{\pi}{2}\) à l’argument, car \(\cos x = \sin(x + \dfrac{\pi}{2})\).
Les inclusions \(\mathcal{C}^{n+1} \subset \mathcal{C}^n\) sont strictes. Considérons en effet \(f(x) = x^2 \sin(\dfrac{1}{x})\), prolongée par \(f(0) = 0\). D’une part, \(|\dfrac{f(x)}{x}| \leq\, |x|\), donc \(f^{\prime}(0) = 0\). D’autre part, pour \(x \neq 0\), \(f^{\prime}(x) = 2x \sin(\dfrac{1}{x}) – \cos(\dfrac{1}{x})\), qui n’a pas de limite en \(0\). Ainsi \(f\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) mais n’est pas de classe \(\mathcal{C}^1\). La figure ci-dessous montre les oscillations de \(f^{\prime}\).
Les sommes, produits, quotients (à dénominateur non nul) et composées de fonctions de classe \(\mathcal{C}^n\) sont de classe \(\mathcal{C}^n\). En particulier, les polynômes, \(\exp\), \(\sin\), \(\cos\) sont de classe \(\mathcal{C}^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\), et \(\ln\) l’est sur \(]0, +\infty[\).
2. Formule de Leibniz
Formule de Leibniz. Si \(f\) et \(g\) sont \(n\) fois dérivables sur \(I\), alors \(fg\) l’est aussi et \[(fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} f^{(k)}\,g^{(n-k)}.\]
On raisonne par récurrence sur \(n\). Pour \(n = 0\), la formule est évidente. Supposons-la vraie au rang \(n\), avec \(f\) et \(g\) \(n + 1\) fois dérivables. Chaque terme \(f^{(k)}g^{(n-k)}\) est dérivable, d’où \[(fg)^{(n+1)} = \sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} f^{(k+1)}g^{(n-k)} + \sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} f^{(k)}g^{(n+1-k)}.\] Dans la première somme, on pose \(j = k + 1\). On regroupe ensuite les termes de même indice. Enfin, la relation de Pascal \(\binom\,{n}{j-1} + \binom\,{n}{j} = \binom\,{n+1}{j}\) donne la formule au rang \(n + 1\).
Pour calculer \((fg)^{(n)}\) avec la formule de Leibniz, placez en \(f\) un polynôme de petit degré \(d\). En effet, ses dérivées d’ordre \(k > d\) sont nulles. La somme ne compte alors que \(d + 1\) termes.
Calculons la dérivée \(n\)-ième de \(h(x) = x\,e^{2x}\). On prend \(f(x) = x\) et \(g(x) = e^{2x}\), avec \(g^{(k)}(x) = 2^k e^{2x}\). Seuls les termes \(k = 0\) et \(k = 1\) subsistent : \[h^{(n)}(x) = x\,2^n e^{2x} + n\,2^{n-1} e^{2x} = 2^{n-1}(2x + n)\,e^{2x}.\]
Ce qu’il faut retenir
- \(f\) est dérivable en \(a\) si le taux d’accroissement \(\dfrac{f(x) – f(a)}{x – a}\) a une limite finie ; la tangente a pour équation \(y = f(a) + f^{\prime}(a)(x – a)\).
- Dérivable implique continue, mais la réciproque est fausse : pensez à \(|x|\) et à \(\sqrt{x}\) en \(0\).
- En un point intérieur, \(f\) est dérivable si et seulement si ses dérivées à gauche et à droite existent et sont égales.
- \((g \circ f)^{\prime} = (g^{\prime} \circ f) \times f^{\prime}\), et \((f^{-1})^{\prime}(b) = \dfrac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(b))}\) lorsque \(f^{\prime}(f^{-1}(b)) \neq 0\).
- En un point intérieur, un extremum local d’une fonction dérivable annule la dérivée ; la réciproque est fausse.
- Rolle : \(f(a) = f(b)\) entraîne l’existence de \(c \in \,]a, b[\) tel que \(f^{\prime}(c) = 0\).
- Accroissements finis : \(f(b) – f(a) = f^{\prime}(c)(b – a)\) ; si \(|f^{\prime}| \leq\, M\), alors \(|f(x) – f(y)| \leq\, M|x – y|\).
- Sur un intervalle, le signe de \(f^{\prime}\) donne les variations de \(f\), et \(f^{\prime} = 0\) caractérise les fonctions constantes.
- Formule de Leibniz : \((fg)^{(n)} = \sum_{k=0}^{n} \binom\,{n}{k} f^{(k)} g^{(n-k)}\), à utiliser avec un facteur polynomial.
- Une fonction dérivable n’est pas forcément de classe \(\mathcal{C}^1\), comme le montre \(x^2 \sin(1/x)\).
Questions fréquentes sur dérivation
Quelle différence entre dérivable et de classe C1 ?
Une fonction est de classe C1 si elle est dérivable et si sa dérivée est continue. La fonction égale à \(x^2 \sin(1/x)\), prolongée par \(0\) en \(0\), est dérivable sur \(\mathbb{R}\), mais sa dérivée n’a pas de limite en \(0\). Elle est donc dérivable sans être de classe C1.
Quand utiliser l'inégalité plutôt que l'égalité des accroissements finis ?
L’inégalité suffit pour majorer un écart \(|f(x) – f(y)|\) dès que \(|f^{\prime}|\) est bornée par \(M\). L’égalité est utile quand on veut un encadrement strict ou quand on doit localiser le point \(c\). Dans les deux cas, vérifiez la continuité sur le segment et la dérivabilité à l’intérieur.
Une dérivée nulle en un point implique-t-elle un extremum ?
Non. La fonction \(x \mapsto x^3\) a une dérivée nulle en \(0\) sans y admettre d’extremum. La condition \(f^{\prime}(a) = 0\) est seulement nécessaire, et seulement en un point intérieur où \(f\) est dérivable.
Pourquoi le théorème de Rolle demande-t-il la continuité sur le segment fermé ?
La preuve utilise le théorème des bornes atteintes, qui exige une fonction continue sur un segment. Sans continuité en une borne, le résultat tombe : la fonction égale à \(x\) sur \([0, 1[\) et à \(0\) en \(1\) vérifie \(f(0) = f(1)\), mais sa dérivée vaut toujours \(1\).
Pour aller plus loin en L1
- Les énoncés : exercices de maths en L1 sur dérivation
- À maîtriser avant : Limites et continuité des fonctions
- Chapitre précédent : Limites et continuité des fonctions
- Chapitre suivant : Fonctions usuelles et fonctions réciproques
- Tester vos connaissances : QCM de maths en L1 par chapitre
- Le sommaire : tous les chapitres de maths de L1 et la licence de maths de L1 à L3
