Contrôle de maths 4ème : cosinus d’un angle dans un triangle rectangle

Exercice 1 : Côté adjacent et hypoténuse (3 points)

Calculatrice autorisée. Les figures ne sont pas à l’échelle.

Le triangle \(KLM\) ci-dessous est rectangle en \(L\).

1. Quelle est l’hypoténuse du triangle \(KLM\) ? (0,5 point)
2. Quel est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{LKM}\) ? (0,5 point)
3. Quel est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{LMK}\) ? (0,5 point)
4. Écris \(\cos \widehat{LKM}\) et \(\cos \widehat{LMK}\) sous la forme d’un quotient de deux longueurs. (1,5 point)

Exercice 2 : Calculer un angle (4 points)

Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), avec \(AB = 6\text{ cm}\) et \(AC = 10\text{ cm}\).

1. Calcule \(\cos \widehat{BAC}\). (1 point)
2. Déduis-en la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\), arrondie au degré. (1,5 point)
3. Déduis-en une mesure de l’angle \(\widehat{ACB}\), arrondie au degré. Justifie. (1,5 point)

Exercice 3 : Calculer une longueur (4 points)

Le triangle \(DEF\) est rectangle en \(E\), avec \(DF = 8\text{ cm}\) et \(\widehat{EDF} = 35^\circ\). Le triangle \(GHI\) est rectangle en \(H\), avec \(GH = 4{,}5\text{ cm}\) et \(\widehat{HGI} = 50^\circ\).

1. Calcule la longueur \(DE\), arrondie au millimètre. (2 points)
2. Calcule la longueur \(GI\), arrondie au millimètre. (2 points)

Exercice 4 : Le toboggan (4 points)

Dans un parc, la glissière \([SB]\) d’un toboggan part du sommet \(S\) de l’échelle, situé à \(2{,}4\text{ m}\) au-dessus du point \(H\) du sol. Elle touche le sol au point \(B\), à \(3{,}2\text{ m}\) de \(H\). Le triangle \(SHB\) est rectangle en \(H\).

1. Calcule la longueur \(SB\) de la glissière. (1,5 point)
2. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{SBH}\) formé par la glissière et le sol, arrondie au degré. (1,5 point)
3. Pour la sécurité des enfants, cet angle ne doit pas dépasser \(40^\circ\). Ce toboggan respecte-t-il cette règle ? (1 point)

Exercice 5 : La rampe du camion (5 points)

Pour charger un camion de déménagement, Clara pose une rampe \([AC]\) de \(3{,}7\text{ m}\) de long entre le sol et le plancher du camion, situé à \(1{,}2\text{ m}\) de haut. Le triangle \(ABC\) est rectangle en \(B\), avec \(BC = 1{,}2\text{ m}\). Le fabricant déconseille d’utiliser la rampe si l’angle \(\widehat{BAC}\) qu’elle forme avec le sol dépasse \(20^\circ\).

1. Calcule la distance \(AB\) au sol entre le pied de la rampe et le camion. (1,5 point)
2. Calcule la mesure de l’angle \(\widehat{BAC}\), arrondie au degré. (1,5 point)
3. Clara peut-elle utiliser cette rampe sans dépasser la limite du fabricant ? (0,5 point)
4. Son voisin propose une rampe plus courte, de \(3\text{ m}\), pour le même camion. Peut-on l’utiliser sans dépasser la limite ? Justifie par des calculs. (1,5 point)

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