Voici le corrigé du contrôle de maths de 5ème sur le thème : périmètres, aires et aire du disque.
Voici la correction rédigée pas à pas. Pour chaque cercle et chaque disque, on écrit d’abord la formule, puis la valeur exacte avec π, enfin l’arrondi demandé. Garde cet ordre : il rapporte des points même si l’arrondi est faux. Pour le triangle et le parallélogramme, repère bien quelle hauteur correspond à quelle base.
Ensuite, on fait les conversions avec la règle « une unité d’aire vaut 100 fois la suivante ». Puis on découpe la figure composée et le jardin en formes simples dont on additionne ou soustrait les aires. Le barème placé sous chaque exercice t’aide à évaluer ta copie honnêtement.
L’énoncé se trouve sur la page contrôle de maths 5ème : périmètres, aires et aire du disque.
| Exercice | Points |
| Exercice 1 : Cercles et disques | 4 points |
| Exercice 2 : Trois aires à calculer | 4 points |
| Exercice 3 : Conversions d’aires | 3 points |
| Exercice 4 : Un rectangle et un demi-disque | 4 points |
| Exercice 5 : La pelouse et la piscine ronde | 5 points |
| Total | 20 points |
Exercice 1 : Cercles et disques (4 points)
- La longueur d’un cercle de rayon \(r\) est \(2 \times \pi \times r\).
\(L = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi\)
\(10\pi \approx 31{,}415\)
La longueur du cercle est \(10\pi\text{ cm}\), soit environ \(31{,}4\text{ cm}\). - L’aire d’un disque de rayon \(r\) est \(\pi \times r^2\).
\(\text{Aire} = \pi \times 5^2 = \pi \times 25 = 25\pi\)
\(25\pi \approx 78{,}539\)
L’aire du disque est \(25\pi\text{ cm}^2\), soit environ \(78{,}5\text{ cm}^2\). - Le diamètre mesure \(12\text{ m}\), donc le rayon mesure \(12 : 2 = 6\text{ m}\).
\(\text{Aire} = \pi \times 6^2 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 113{,}097\)
L’aire du rond-point est \(36\pi\text{ m}^2\), soit environ \(113{,}1\text{ m}^2\).
Erreur fréquente : utiliser le diamètre à la place du rayon dans \(\pi \times r^2\). Avec 12 au lieu de 6, on trouverait une aire quatre fois trop grande.
Barème : a) 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour l’arrondi. b) 0,5 point pour la formule, 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour l’arrondi. c) 0,5 point pour le rayon, 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour l’arrondi.
Exercice 2 : Trois aires à calculer (4 points)
- L’aire d’un triangle est \(\dfrac{\text{base} \times \text{hauteur}}{2}\). La hauteur [AH] est associée à la base [BC].
\(\text{Aire} = \dfrac{8 \times 5}{2} = \dfrac{40}{2} = 20\)
L’aire du triangle ABC est \(20\text{ cm}^2\). - L’aire d’un parallélogramme est base \(\times \) hauteur. La hauteur de \(4{,}5\text{ cm}\) est associée au côté [MN] de \(7\text{ cm}\).
\(\text{Aire} = 7 \times 4{,}5 = 31{,}5\)
L’aire du parallélogramme MNPQ est \(31{,}5\text{ cm}^2\).
La longueur \(NP = 5\text{ cm}\) est celle d’un côté, pas d’une hauteur : elle n’est pas utile pour calculer l’aire (elle servirait pour le périmètre). - [TK] est la hauteur issue de T : elle est perpendiculaire à la droite (RS), même si son pied K est en dehors du segment [RS]. On garde la base \(RS = 6\text{ cm}\).
\(\text{Aire} = \dfrac{6 \times 4}{2} = \dfrac{24}{2} = 12\)
L’aire du triangle RST est \(12\text{ cm}^2\).
Erreur fréquente : multiplier les deux côtés du parallélogramme (\(7 \times 5 = 35\)) : on obtient alors une aire trop grande.
Barème : a) 0,5 point pour la formule, 1 point pour le résultat avec l’unité. b) 1 point pour l’aire, 0,5 point pour la remarque sur les 5 cm. c) 1 point (0,5 point si le calcul est juste mais sans unité).
Exercice 3 : Conversions d’aires (3 points)
Pour les aires, chaque unité vaut 100 fois l’unité immédiatement inférieure. Par exemple, \(1\text{ m}^2 = 100\text{ dm}^2 = 10\,000\text{ cm}^2\) et \(1\text{ dm}^2 = 100\text{ cm}^2 = 10\,000\text{ mm}^2\).
- \(3{,}5 \times 10\,000 = 35\,000\), donc \(3{,}5\text{ m}^2 = 35\,000\text{ cm}^2\).
- \(2\,400 : 100 = 24\), donc \(2\,400\text{ cm}^2 = 24\text{ dm}^2\).
- \(0{,}75 \times 10\,000 = 7\,500\), donc \(0{,}75\text{ dm}^2 = 7\,500\text{ mm}^2\).
- \(1\text{ km}^2 = 1\,000\,000\text{ m}^2\) (un carré de \(1\,000\text{ m}\) de côté). \(1\,250\,000 : 1\,000\,000 = 1{,}25\), donc \(1\,250\,000\text{ m}^2 = 1{,}25\text{ km}^2\).
Barème : 0,75 point par conversion juste (0,25 point si seul le rapport entre les unités est correct).
Exercice 4 : Un rectangle et un demi-disque (4 points)
- Le contour est formé des segments [AB], [AD], [DC] et du demi-cercle de diamètre [BC]. Ce demi-cercle a pour rayon \(6 : 2 = 3\text{ cm}\).
Longueur du demi-cercle : \(\dfrac{2 \times \pi \times 3}{2} = 3\pi\)
Périmètre : \(10 + 6 + 10 + 3\pi = 26 + 3\pi\)
\(26 + 3\pi \approx 35{,}42\)
Le périmètre de la figure est \((26 + 3\pi)\text{ cm}\), soit environ \(35{,}4\text{ cm}\). - Aire du rectangle : \(10 \times 6 = 60\), soit \(60\text{ cm}^2\).
Aire du demi-disque : \(\dfrac{\pi \times 3^2}{2} = \dfrac{9\pi}{2} = 4{,}5\pi\)
Aire totale : \(60 + 4{,}5\pi \approx 74{,}14\)
L’aire de la figure est \((60 + 4{,}5\pi)\text{ cm}^2\), soit environ \(74{,}1\text{ cm}^2\).
Erreur fréquente : compter le segment [BC] dans le périmètre : il est à l’intérieur de la figure, il ne fait pas partie du contour.
Barème : a) 0,5 point pour le rayon, 0,5 point pour le demi-cercle, 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour l’arrondi. b) 0,5 point pour le rectangle, 0,5 point pour le demi-disque, 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour l’arrondi.
Exercice 5 : La pelouse et la piscine ronde (5 points)
- \(20 \times 15 = 300\). L’aire du jardin est \(300\text{ m}^2\).
- Le rayon de la piscine est \(6 : 2 = 3\text{ m}\).
\(\pi \times 3^2 = 9\pi \approx 28{,}27\)
La piscine occupe \(9\pi\text{ m}^2\), soit environ \(28{,}3\text{ m}^2\). - \(300 – 9\pi \approx 271{,}73\)
L’aire de la pelouse est d’environ \(271{,}7\text{ m}^2\). - \(271{,}7 : 40 \approx 6{,}8\). Six sacs ne suffisent donc pas (\(6 \times 40 = 240\text{ m}^2\)) : il en faut sept (\(7 \times 40 = 280\text{ m}^2\)).
\(7 \times 12{,}90 = 90{,}30\)
Yanis doit acheter 7 sacs, qui lui coûtent \(90{,}30\) €. - La bordure fait le tour de la piscine. Sa longueur est donc celle d’un cercle de diamètre \(6\text{ m}\).
\(\pi \times 6 = 6\pi \approx 18{,}85\)
\(18\text{ m}\) ne suffisent pas, il faut arrondir au mètre supérieur.
Yanis doit acheter \(19\text{ m}\) de bordure.
Barème : a) 0,5 point ; b) 0,5 point pour la valeur exacte, 0,5 point pour l’arrondi ; c) 1 point. d) 0,5 point pour la division, 0,5 point pour le nombre entier de sacs justifié, 0,5 point pour le prix. e) 0,5 point pour la longueur du cercle, 0,5 point pour l’arrondi au mètre supérieur.
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Après le corrigé du contrôle : périmètres, aires et aire du disque
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