Corrigé du contrôle de maths 3ème : trigonométrie : angles et problèmes

Exercice 1 : Trouver un angle (4 points)

1. À la calculatrice : \(x = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13^\circ\). Donc \(x \approx 53{,}1^\circ\).
2. À la calculatrice : \(y = \arctan(2{,}5) \approx 68{,}20^\circ\). Donc \(y \approx 68{,}2^\circ\).
3. Dans le triangle \(ABC\) rectangle en \(C\), \([AC]\) est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{BAC}\). Puis \([AB]\) est l’hypoténuse : on utilise donc le cosinus.
   Ainsi, \(\cos \widehat{BAC} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{9}\).
   Alors \(\widehat{BAC} = \arccos(\frac{4}{9}) \approx 63{,}61^\circ\).
   Donc \(\widehat{BAC} \approx 63{,}6^\circ\).
4. Dans un triangle, la somme des angles vaut \(180^\circ\). Or le triangle est rectangle en \(C\), donc les angles \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{ABC}\) sont complémentaires.
   Ainsi, \(\widehat{ABC} \approx 90^\circ – 63{,}61^\circ \approx 26{,}39^\circ\).
   Donc \(\widehat{ABC} \approx 26{,}4^\circ\). On peut aussi vérifier avec \(\sin \widehat{ABC} = \frac{AC}{AB} = \frac{4}{9}\), qui donne \(26{,}4^\circ\).

Erreur fréquente : taper \(\cos(0{,}6)\) au lieu de \(\arccos(0{,}6)\). Lorsque l’on connaît le rapport et que l’on cherche l’angle, on utilise la touche inverse. C’est souvent « 2nde » ou « shift » puis « cos ».

Barème : a) 1 point. Puis la b) vaut 1 point. Ensuite, la c) donne 0,5 point pour le rapport \(\frac{4}{9}\) justifié, 0,5 point pour \(63{,}6^\circ\). Enfin, la d) donne 0,5 point pour la méthode, 0,5 point pour \(26{,}4^\circ\).

Exercice 2 : L’échelle contre le mur (4 points)

1. Le mur est vertical et le sol horizontal, donc le triangle \(MPH\) est rectangle en \(M\). Ensuite, \([PM]\) est le côté adjacent à l’angle \(\widehat{MPH}\) et \([PH]\) l’hypoténuse.
   Ainsi, \(\cos \widehat{MPH} = \frac{PM}{PH} = \frac{1{,}8}{6} = 0{,}3\).
   Alors \(\widehat{MPH} = \arccos(0{,}3) \approx 72{,}54^\circ\).
   Donc \(\widehat{MPH} \approx 72{,}5^\circ\).
2. \(65^\circ < 72{,}5^\circ < 75^\circ\). Ainsi, l’échelle est placée en sécurité.
3. Dans le triangle \(MPH\) rectangle en \(M\), d’après le théorème de Pythagore :
   \(MH^2 = PH^2 – PM^2 = 6^2 – 1{,}8^2 = 36 – 3{,}24 = 32{,}76\)
   Donc \(MH = \sqrt{32{,}76} \approx 5{,}724\).
   L’échelle atteint donc une hauteur d’environ \(5{,}72\) m.
4. Avec \(\widehat{MPH} = 75^\circ\) :
   \(\cos 75^\circ = \frac{PM}{6}\), donc \(PM = 6 \times \cos 75^\circ \approx 1{,}553\).
   Puis \(\sin 75^\circ = \frac{MH}{6}\), donc \(MH = 6 \times \sin 75^\circ \approx 5{,}796\).
   Il faut poser le pied à environ \(1{,}55\) m du mur ; l’échelle atteint alors environ \(5{,}80\) m de hauteur.

Barème : a) 0,5 point pour le cosinus justifié, 0,5 point pour \(72{,}5^\circ\). Puis la b) donne 0,5 point pour la comparaison. Ensuite, la c) donne 0,5 point pour Pythagore, 0,5 point pour \(5{,}72\) m. Enfin, la d) donne 0,5 point pour la méthode, 0,5 point pour \(1{,}55\) m, 0,5 point pour \(5{,}80\) m.

Exercice 3 : Une rampe d’accès (4 points)

1. Le triangle \(RKH\) est rectangle en \(K\). On connaît le côté opposé \([KH]\) et le côté adjacent \([RK]\) à l’angle \(\widehat{HRK}\). On utilise donc la tangente.
   Ainsi, \(\tan \widehat{HRK} = \frac{KH}{RK} = \frac{0{,}25}{4} = 0{,}0625\).
   Alors \(\widehat{HRK} = \arctan(0{,}0625) \approx 3{,}58^\circ\).
   Donc \(\widehat{HRK} \approx 3{,}6^\circ\). Comme \(3{,}6^\circ > 3^\circ\), la rampe prévue n’est pas conforme : elle est trop raide.
2. On veut \(\tan 3^\circ = \frac{0{,}25}{RK}\), donc \(RK = \frac{0{,}25}{\tan 3^\circ} \approx 4{,}770\).
   Avec une longueur plus petite, l’angle dépasserait \(3^\circ\) : on arrondit donc au-dessus. Il faut une longueur horizontale d’au moins \(4{,}8\) m.
3. Dans le triangle \(RKH\) rectangle en \(K\), d’après le théorème de Pythagore :
   \(RH^2 = RK^2 + KH^2 = 4{,}8^2 + 0{,}25^2 = 23{,}04 + 0{,}0625 = 23{,}1025\)
   Donc \(RH = \sqrt{23{,}1025} \approx 4{,}807\).
   Ainsi, la rampe mesure environ \(4{,}81\) m.

Erreur fréquente : en b), arrondir \(4{,}770\) à \(4{,}7\) m ou \(4{,}77\) m. En effet, une rampe de \(4{,}7\) m donnerait un angle d’environ \(3{,}04^\circ\), donc non conforme. Ici, l’arrondi doit donc se faire par excès.

Barème : a) 0,5 point pour la tangente, 0,5 point pour \(3{,}6^\circ\), 0,5 point pour la conclusion. Puis la b) donne 0,5 point pour l’égalité, 0,5 point pour la division, 0,5 point pour \(4{,}8\) m. Enfin, la c) donne 0,5 point pour Pythagore (ou le cosinus), 0,5 point pour \(4{,}81\) m.

Exercice 4 : Le cerf-volant (4 points)

1. Le triangle \(MHK\) est rectangle en \(H\). Ensuite, \([KH]\) est le côté opposé à l’angle \(\widehat{KMH}\) et \([MK]\) l’hypoténuse. On utilise donc le sinus.
   \(\sin \widehat{KMH} = \frac{KH}{MK}\), donc \(\sin 35^\circ = \frac{KH}{40}\).
   Ainsi, \(KH = 40 \times \sin 35^\circ \approx 22{,}94\).
   Le point \(H\) est à \(1{,}2\) m du sol, donc \(KS = KH + HS \approx 22{,}94 + 1{,}2 \approx 24{,}14\).
   Le cerf-volant est donc à environ \(24{,}1\) m du sol.
2. Le cerf-volant est maintenant à 30 m du sol, donc \(KH = 30 – 1{,}2 = 28{,}8\) m.
   Ainsi, \(\sin \widehat{KMH} = \frac{KH}{MK} = \frac{28{,}8}{40} = 0{,}72\).
   Alors \(\widehat{KMH} = \arcsin(0{,}72) \approx 46{,}05^\circ\).
   Le fil forme donc un angle d’environ \(46{,}1^\circ\) avec l’horizontale.

Erreur fréquente : oublier la hauteur de la main. En effet, le triangle rectangle s’arrête au point \(H\), pas au sol. Il faut donc ajouter \(1{,}2\) m en a) et les retirer en b).

Barème : a) 0,5 point pour le sinus justifié, 0,5 point pour \(KH\), 0,5 point pour l’ajout de \(1{,}2\) m, 0,5 point pour \(24{,}1\) m. Puis la b) donne 0,5 point pour \(KH = 28{,}8\) m, 0,5 point pour le rapport \(0{,}72\), 1 point pour \(46{,}1^\circ\).

Exercice 5 : Un triangle et sa hauteur (4 points)

1. \((AH)\) est la hauteur issue de \(A\), donc le triangle \(ABH\) est rectangle en \(H\). D’après le théorème de Pythagore :
   \(AH^2 = AB^2 – BH^2 = 10^2 – 6^2 = 100 – 36 = 64\)
   \(AH = \sqrt{64} = 8\)
   Donc \(AH = 8\) cm.
2. Dans le triangle \(ABH\) rectangle en \(H\) :
   \(\cos \widehat{ABH} = \frac{BH}{AB} = \frac{6}{10} = 0{,}6\)
   Ainsi, \(\widehat{ABC} = \widehat{ABH} = \arccos(0{,}6) \approx 53{,}13^\circ\).
   Donc \(\widehat{ABC} \approx 53{,}1^\circ\).
3. Le triangle \(AHC\) est rectangle en \(H\). Ensuite, \([AH]\) est le côté opposé à l’angle \(\widehat{ACH}\) et \([HC]\) le côté adjacent. On utilise donc la tangente.
   \(\tan \widehat{ACH} = \frac{AH}{HC}\), donc \(\tan 40^\circ = \frac{8}{HC}\).
   Ainsi, \(HC = \frac{8}{\tan 40^\circ} \approx 9{,}53\).
   Donc \(HC \approx 9{,}5\) cm.
4. Dans le triangle \(ABC\), la somme des angles vaut \(180^\circ\).
   Ainsi, \(\widehat{BAC} \approx 180^\circ – 53{,}13^\circ – 40^\circ \approx 86{,}87^\circ\).
   Donc \(\widehat{BAC} \approx 86{,}9^\circ\). Cet angle n’est pas égal à \(90^\circ\), donc le triangle \(ABC\) n’est pas rectangle en \(A\).

Erreur fréquente : en d), croire le triangle rectangle en \(A\) parce que l’angle « a l’air droit » sur la figure. Seul le calcul permet de conclure.

Barème : a) 0,5 point pour le triangle rectangle et Pythagore, 0,5 point pour 8 cm. Puis la b) donne 0,5 point pour le rapport, 0,5 point pour \(53{,}1^\circ\). Ensuite, la c) donne 0,5 point pour la tangente, 0,5 point pour \(9{,}5\) cm. Enfin, la d) donne 0,5 point pour \(86{,}9^\circ\), 0,5 point pour la conclusion.

Revenir à l’énoncé du contrôle

Après le corrigé du contrôle : trigonométrie : angles et problèmes

Pour consolider ce que le corrigé t’a appris, relis le cours « Trigonométrie dans le triangle rectangle » en 3ème puis entraîne-toi avec les exercices corrigés trigonométrie.

Retrouve tous les contrôles de maths en 3ème classés par chapitre, ou choisis un autre niveau sur la page contrôles de maths du CP à la Terminale.

Autres contrôles de maths en 3ème sur ce thème

• Contrôle de maths 3ème : trigonométrie : calculer des longueurs
• Contrôle de maths 3ème : théorème de Thalès et trigonométrie

Le livre MathovoreContrôles corrigés de mathématiques 3ePour s’entraîner en conditions réelles : les 25 devoirs de 3e à faire chronomètre en main, puis à noter avec leur barème.Ouvrir le livre de contrôles ↗