Voici le corrigé du brevet de maths 2016 en Polynésie (session de juin, série générale, épreuve de 2 heures). Le sujet comporte sept exercices indépendants très variés. On commence par des probabilités sur les tickets à gratter du jeu Solitaire, avec un bilan financier pour un lot complet. Vient ensuite un programme de calcul qui se prouve par le calcul littéral et une identité remarquable. L’exercice de géométrie mobilise le théorème des milieux, la réciproque de Pythagore, la trigonométrie et le cercle circonscrit à un triangle rectangle. On travaille ensuite les vitesses moyennes et les formules de tableur, le patron et le volume d’une pyramide découpée dans un cube, une comparaison de budget carburant essence/diesel et enfin des fractions de la superficie de la Terre. Chaque réponse est justifiée et les calculs ont été revérifiés.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Probabilités, jeu de grattage – 6 points
Un lot de tickets Solitaire contient 750 000 tickets vendus 2 € pièce. Le tableau de l’énoncé donne le nombre de tickets pour chaque montant de gain : 532 173 tickets à 0 €, 100 000 à 2 €, 83 000 à 4 €, 20 860 à 6 €, 5 400 à 12 €, 8 150 à 20 €, 400 à 150 €, 15 à 1 000 € et 2 à 15 000 €.
1) a) On cherche la probabilité de tirer un ticket qui rapporte exactement 4 €.
On prélève un ticket au hasard : les 750 000 issues sont équiprobables. 83 000 tickets rapportent 4 €, donc :
\[ P = \frac{83\,000}{750\,000} = \frac{83}{750} \approx 0{,}111 \]
La probabilité d’obtenir un ticket de 4 € est \( \frac{83}{750} \approx 0{,}11 \), soit environ 11 %.
b) On cherche la probabilité d’obtenir un ticket gagnant (gain d’au moins 2 €).
Il y a 532 173 tickets perdants, donc \( 750\,000 – 532\,173 = 217\,827 \) tickets gagnants.
\[ P = \frac{217\,827}{750\,000} \approx 0{,}29 \]
La probabilité d’obtenir un ticket gagnant est environ 0,29, soit 29 %. (On peut aussi calculer \( 1 – \frac{532\,173}{750\,000} \), ce qui donne le même résultat.)
c) Il faut expliquer pourquoi la probabilité d’un gain supérieur ou égal à 10 € est inférieure à 2 %.
Les gains d’au moins 10 € sont 12 €, 20 €, 150 €, 1 000 € et 15 000 €. Le nombre de tickets correspondants est :
\[ 5\,400 + 8\,150 + 400 + 15 + 2 = 13\,967 \]
\[ P = \frac{13\,967}{750\,000} \approx 0{,}0186 \]
Cette probabilité vaut environ 1,86 %, ce qui est bien inférieur à 2 %.
2) Tom pense qu’en achetant un lot complet il s’enrichirait. Vérifions.
Coût du lot : \( 750\,000 \times 2 = 1\,500\,000 \) €.
Total des gains du lot :
\[ 100\,000\times 2 + 83\,000\times 4 + 20\,860\times 6 + 5\,400\times 12 + 8\,150\times 20 + 400\times 150 + 15\times 1\,000 + 2\times 15\,000 \]
\[ = 200\,000 + 332\,000 + 125\,160 + 64\,800 + 163\,000 + 60\,000 + 15\,000 + 30\,000 = 989\,960 \]
Bilan : \( 989\,960 – 1\,500\,000 = -510\,040 \) €.
Tom a tort : en achetant un lot complet, il perdrait 510 040 €.
Exercice 2 :
Programme de calcul, calcul littéral – 6 points
Le programme : choisir un entier positif, ajouter 1, élever le résultat au carré, puis enlever le carré du nombre de départ.
1) On applique le programme à 3 :
\[ 3 + 1 = 4 \; ; \quad 4^2 = 16 \; ; \quad 16 – 3^2 = 16 – 9 = 7 \]
On obtient bien 7.
2) Affirmation 1 : « le chiffre des unités du résultat est 7 ». Affirmation 2 : « chaque résultat s’obtient en ajoutant le nombre de départ et l’entier qui le suit ».
a) Vérification pour 8 et 13.
- Avec 8 : \( 8 + 1 = 9 \), \( 9^2 = 81 \), \( 81 – 8^2 = 81 – 64 = 17 \). Et \( 8 + 9 = 17 \).
- Avec 13 : \( 13 + 1 = 14 \), \( 14^2 = 196 \), \( 196 – 13^2 = 196 – 169 = 27 \). Et \( 13 + 14 = 27 \).
Les résultats 17 et 27 se terminent par 7, et ils sont égaux à la somme du nombre de départ et de son suivant : les deux affirmations sont vraies pour 8 et 13.
b) Notons \( x \) le nombre de départ. Le programme donne :
\[ (x+1)^2 – x^2 = x^2 + 2x + 1 – x^2 = 2x + 1 \]
- Affirmation 1 : fausse. Contre-exemple : avec \( x = 2 \), on obtient \( 2\times 2 + 1 = 5 \), dont le chiffre des unités n’est pas 7.
- Affirmation 2 : vraie. Le nombre de départ plus l’entier qui le suit vaut \( x + (x+1) = 2x + 1 \), c’est exactement le résultat du programme, quel que soit \( x \).
Exercice 3 :
Géométrie : milieux, Pythagore, trigonométrie, cercle – 6 points
ABE est un triangle avec AB = 6 cm, AE = 8 cm et BE = 10 cm ; I et J sont les milieux de [AB] et [AE] ; le cercle (C) passe par A, I et J.
1) Les droites (IJ) et (BE) sont-elles parallèles ?
Dans le triangle ABE, I est le milieu de [AB] et J le milieu de [AE]. D’après le théorème des milieux, la droite qui passe par les milieux de deux côtés d’un triangle est parallèle au troisième côté. Donc (IJ) et (BE) sont parallèles.
2) Montrons que ABE est rectangle.
[BE] est le plus grand côté. On compare :
\[ BE^2 = 10^2 = 100 \qquad AB^2 + AE^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 \]
Comme \( BE^2 = AB^2 + AE^2 \), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABE est rectangle en A.
3) Mesure de l’angle \( \widehat{AEB} \) au degré près.
Dans le triangle ABE rectangle en A, pour l’angle en E, [AE] est le côté adjacent, [AB] le côté opposé et [BE] l’hypoténuse :
\[ \cos \widehat{AEB} = \frac{AE}{BE} = \frac{8}{10} = 0{,}8 \]
À la calculatrice : \( \widehat{AEB} = \arccos(0{,}8) \approx 36{,}87^\circ \). (On trouve la même valeur avec \( \tan \widehat{AEB} = \frac{6}{8} \) ou \( \sin \widehat{AEB} = \frac{6}{10} \).)
\( \widehat{AEB} \approx 37^\circ \).
4) a) Justifions que le centre de (C) est le milieu de [IJ].
I appartient à [AB] et J à [AE] ; comme l’angle \( \widehat{BAE} \) est droit, l’angle \( \widehat{IAJ} \) est droit aussi : le triangle AIJ est rectangle en A. Or le cercle circonscrit à un triangle rectangle a pour diamètre son hypoténuse. Le cercle (C), qui passe par A, I et J, est le cercle circonscrit à AIJ : il a donc pour diamètre [IJ], et son centre est le milieu de [IJ].
b) Rayon du cercle (C).
D’après le théorème des milieux, le segment qui joint les milieux de deux côtés mesure la moitié du troisième côté :
\[ IJ = \frac{BE}{2} = \frac{10}{2} = 5 \text{ cm} \]
[IJ] étant un diamètre, le rayon vaut \( \frac{5}{2} \) : le rayon de (C) mesure 2,5 cm.
Exercice 4 :
Vitesses moyennes et tableur – 7 points
Le tableau donne les distances et durées : Alix 35 km en 2 h (17,5 km/h), David 42 km en 3 h, Gwenn 27 km en 1 h 30 min, Yassin 35 km en 1 h 45 min, Zoé 42 km en 1 h 36 min.
1) D’après le tableau, David a parcouru 42 km.
2) Vitesses moyennes de David et de Gwenn. La vitesse moyenne est le quotient de la distance par la durée.
- David : \( v = \frac{42}{3} = 14 \), soit 14 km/h.
- Gwenn : 1 h 30 min = 1,5 h, donc \( v = \frac{27}{1{,}5} = 18 \), soit 18 km/h.
3) a) Dans le tableur, les durées sont écrites en heures décimales. Pour Yassin : 45 min représentent \( \frac{45}{60} = 0{,}75 \) h, donc 1 h 45 min = 1,75 h. Il faut saisir 1,75 dans la cellule E3.
b) Pour Zoé : 36 min représentent \( \frac{36}{60} = 0{,}6 \) h, donc 1 h 36 min = 1,6 h. C’est pourquoi on saisit 1,6 dans la cellule F3 (et non 1,36, car une heure compte 60 minutes et pas 100).
c) La vitesse s’obtient en divisant la distance (ligne 2) par la durée (ligne 3). On saisit dans B4 la formule =B2/B3, que l’on étire ensuite vers la droite sur la ligne 4.
Pour information, on obtiendrait alors 20 km/h pour Yassin (\( 35 : 1{,}75 \)) et 26,25 km/h pour Zoé (\( 42 : 1{,}6 \)).
4) Stefan a fait 35 km à la vitesse moyenne de 25 km/h. On cherche la durée en heures et minutes.
\[ t = \frac{d}{v} = \frac{35}{25} = 1{,}4 \text{ h} \]
Or \( 0{,}4 \text{ h} = 0{,}4 \times 60 = 24 \) min. Stefan a donc mis 1 h 24 min.
Exercice 5 :
Pyramide dans un cube : vraie grandeur, patron, volume – 4 points
La pyramide FIJK est découpée dans le cube ABCDEFGH d’arête 6 cm ; I, J et K sont les milieux des arêtes [FE], [FB] et [FG].
1) Tracer le triangle IFK en vraie grandeur.
I et K sont les milieux de [FE] et [FG], donc FI = FK = 3 cm. Les arêtes [FE] et [FG] sont perpendiculaires (face EFGH carrée). Le triangle IFK est donc rectangle et isocèle en F, avec deux côtés de l’angle droit de 3 cm.
2) Parmi les quatre schémas, lequel est le patron de FIJK ?
Les trois faces qui contiennent F (FIJ, FJK, FKI) sont des triangles rectangles isocèles en F, identiques à IFK. La quatrième face IJK a trois côtés égaux (ce sont les hypoténuses de ces trois triangles) : c’est un triangle équilatéral. Le patron doit donc montrer un triangle équilatéral entouré de trois triangles rectangles isocèles dont les sommets de l’angle droit se rejoignent en F. Le schéma 1 n’est même pas un patron de pyramide, et les schémas 2 et 4 ne présentent pas ces quatre faces. Le patron est le schéma 3.
3) Volume de la pyramide FIJK.
On choisit pour base le triangle IFK et pour hauteur FJ : en effet (FJ) est portée par l’arête [FB], perpendiculaire à la face EFGH qui contient IFK. FJ = 3 cm.
\[ \mathcal{A}_{IFK} = \frac{FI \times FK}{2} = \frac{3 \times 3}{2} = 4{,}5 \text{ cm}^2 \]
\[ V = \frac{\mathcal{A}_{IFK} \times FJ}{3} = \frac{4{,}5 \times 3}{3} = 4{,}5 \text{ cm}^3 \]
Le volume de la pyramide FIJK est 4,5 cm³.
Exercice 6 :
Essence ou diesel ? Proportionnalité – 4 points
Version essence : 6,2 L aux 100 km, 21 550 € ; version diesel : 5,2 L aux 100 km, 23 950 €. Prix du litre : SP 95 à 1,415 €, gazole à 1,224 €. M. Durand roule 22 300 km par an.
1) Compléter le tableau pour la version diesel.
22 300 km représentent \( 22\,300 : 100 = 223 \) fois 100 km.
- Consommation : \( 223 \times 5{,}2 = 1\,159{,}6 \) L, soit environ 1 160 L (le tableau arrondit à l’unité, comme 1 383 L pour l’essence).
- Budget : \( 1\,160 \times 1{,}224 = 1\,419{,}84 \), soit environ 1 420 €.
| Version ESSENCE | Version DIESEL | |
|---|---|---|
| Consommation de carburant (en L) | 1 383 | 1 160 |
| Budget de carburant (en €) | 1 957 | 1 420 |
2) Au bout de combien d’années l’économie de carburant compense-t-elle la différence de prix d’achat ?
Surcoût à l’achat du diesel : \( 23\,950 – 21\,550 = 2\,400 \) €.
Économie de carburant par an : \( 1\,957 – 1\,420 = 537 \) €.
\[ \frac{2\,400}{537} \approx 4{,}47 \]
Après 4 ans, l’économie n’est que de \( 4 \times 537 = 2\,148 \) €, ce qui est insuffisant ; après 5 ans, elle atteint \( 5 \times 537 = 2\,685 \) €. La différence de prix est donc compensée au cours de la 5e année : au bout de 5 ans, le diesel est rentabilisé.
Exercice 7 :
Fractions – 3 points
Les continents occupent \( \frac{5}{17} \) de la superficie de la Terre.
1) Le Pacifique recouvre la moitié de la superficie restante. Quelle fraction de la Terre occupe-t-il ?
La superficie restante représente \( 1 – \frac{5}{17} = \frac{12}{17} \). Sa moitié vaut :
\[ \frac{1}{2} \times \frac{12}{17} = \frac{6}{17} \]
L’océan Pacifique occupe \( \frac{6}{17} \) de la superficie de la Terre.
2) Le Pacifique mesure 180 000 000 km². Superficie de la Terre ?
Si \( S \) est la superficie de la Terre, \( \frac{6}{17} \times S = 180\,000\,000 \), donc :
\[ S = 180\,000\,000 \times \frac{17}{6} = 30\,000\,000 \times 17 = 510\,000\,000 \]
La superficie de la Terre est de 510 000 000 km² (510 millions de km²).
