Voici le corrigé complet du brevet de maths 2017 en Amérique du Nord, épreuve passée le 7 juin 2017. Le sujet compte six exercices variés. On commence par un QCM sur les fractions, une équation du premier degré et une valeur approchée d’un quotient avec racine carrée. Vient ensuite une construction géométrique où le théorème de Pythagore permet de prouver que l’aire d’un carré est le triple d’une autre. Le troisième exercice porte sur les probabilités avec une urne, les diviseurs et les nombres premiers. Le quatrième mélange pourcentages, lecture graphique et diagramme en barres autour des allergies alimentaires. Le cinquième est un exercice d’algorithmique Scratch avec des déplacements dans un repère. Enfin, le dernier étudie une fonction du second degré et un tableur pour trouver l’aire maximale d’un enclos. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet des Collèges 2017 Amérique du Nord 7 juin 2017 : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
QCM : fractions, équation, valeur approchée (4,5 points)
Pour chaque question, il faut choisir la bonne réponse parmi trois propositions.
1. On cherche la valeur de la somme \(\dfrac{7}{4} + \dfrac{2}{3}\) parmi \(\dfrac{9}{7}\), \(\dfrac{29}{12}\) et \(\dfrac{9}{12}\).
On réduit au même dénominateur 12 :
\[\frac{7}{4} + \frac{2}{3} = \frac{7 \times 3}{4 \times 3} + \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{21}{12} + \frac{8}{12} = \frac{29}{12}.\]
La bonne réponse est la réponse b : \(\dfrac{29}{12}\).
2. On cherche la solution de l’équation \(5x + 12 = 3\) parmi \(1{,}8\) ; \(3\) et \(-1{,}8\).
\[5x + 12 = 3 \iff 5x = 3 – 12 \iff 5x = -9 \iff x = \frac{-9}{5} = -1{,}8.\]
Vérification : \(5 \times (-1{,}8) + 12 = -9 + 12 = 3\). La bonne réponse est la réponse c : \(-1{,}8\).
3. On cherche une valeur approchée au dixième de \(\dfrac{\sqrt{5} + 1}{2}\) parmi \(2{,}7\) ; \(1{,}6\) et \(1{,}2\).
À la calculatrice, il ne faut pas oublier les parenthèses autour du numérateur : \((\sqrt{5} + 1) : 2 \approx 1{,}618\). Arrondi au dixième, on obtient \(1{,}6\) : c’est la réponse b. (Ce nombre est le célèbre nombre d’or.)
Exercice 2 :
Construction géométrique et théorème de Pythagore (9,5 points)
Le programme de construction est : construire un carré ABCD ; tracer le cercle de centre A et de rayon [AC] ; placer le point E à l’intersection du cercle et de la demi-droite [AB) ; construire le carré DEFG.
1. Réaliser la construction avec \(AB = 3\) cm.
On trace un carré ABCD de côté 3 cm, puis on prend au compas l’écartement AC pour tracer le cercle de centre A. Il coupe la demi-droite [AB) au-delà de B en E. On construit enfin le carré DEFG à partir du côté [DE], du côté opposé au point A.
2. Dans cette question, \(AB = 10\) cm.
a. Montrer que \(AC = \sqrt{200}\) cm.
ABCD est un carré, donc le triangle ABC est rectangle en B avec \(AB = BC = 10\) cm. D’après le théorème de Pythagore :
\[AC^2 = AB^2 + BC^2 = 10^2 + 10^2 = 100 + 100 = 200.\]
Comme AC est une longueur, elle est positive, donc \(AC = \sqrt{200}\) cm, soit environ \(14{,}14\) cm.
b. Expliquer pourquoi \(AE = \sqrt{200}\) cm.
Le point E est sur le cercle de centre A et de rayon AC. Tous les points de ce cercle sont à la distance AC de A, donc \(AE = AC = \sqrt{200}\) cm.
c. Montrer que l’aire du carré DEFG est le triple de l’aire du carré ABCD.
Le point E est sur la demi-droite [AB) et l’angle \(\widehat{DAB}\) est droit, donc le triangle ADE est rectangle en A, avec \(AD = 10\) cm et \(AE = \sqrt{200}\) cm. D’après le théorème de Pythagore :
\[DE^2 = AD^2 + AE^2 = 10^2 + (\sqrt{200})^2 = 100 + 200 = 300.\]
L’aire du carré DEFG de côté DE vaut \(DE^2 = 300\) cm², et l’aire du carré ABCD vaut \(AB^2 = 100\) cm². Comme \(300 = 3 \times 100\), l’aire du carré DEFG est bien le triple de celle du carré ABCD.
3. On admet que, quelle que soit la longueur AB, l’aire de DEFG est le triple de celle de ABCD. On veut un carré DEFG d’aire 48 cm² : quelle longueur AB choisir ?
L’aire de ABCD vaut \(AB^2\), donc :
\[3 \times AB^2 = 48 \iff AB^2 = 16 \iff AB = 4 \quad (\text{car } AB \gt 0).\]
Il faut choisir \(AB = 4\) cm.
Exercice 3 :
Probabilités, diviseurs et nombres premiers (6 points)
Une urne contient 12 boules indiscernables au toucher, numérotées de 1 à 12. On tire une boule au hasard : il y a équiprobabilité.
1. Est-il plus probable d’obtenir un numéro pair ou un multiple de 3 ?
- Numéros pairs : 2, 4, 6, 8, 10, 12, soit 6 issues, donc \(P(\text{pair}) = \dfrac{6}{12} = \dfrac{1}{2}\).
- Multiples de 3 : 3, 6, 9, 12, soit 4 issues, donc \(P(\text{multiple de } 3) = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}\).
Comme \(\dfrac{1}{2} \gt \dfrac{1}{3}\), il est plus probable d’obtenir un numéro pair.
2. Quelle est la probabilité d’obtenir un numéro inférieur à 20 ?
Tous les numéros (de 1 à 12) sont inférieurs à 20 : c’est un événement certain, sa probabilité est 1.
3. On retire les boules dont le numéro est un diviseur de 6, puis on tire à nouveau. Expliquer pourquoi la probabilité d’obtenir un nombre premier vaut \(0{,}375\).
- Les diviseurs de 6 sont 1, 2, 3 et 6 : on retire 4 boules.
- Il reste 8 boules : 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11 et 12.
- Parmi elles, les nombres premiers sont 5, 7 et 11 (4, 8, 10 et 12 sont pairs, 9 est divisible par 3) : 3 boules.
Les 8 boules restantes sont équiprobables, donc \(P = \dfrac{3}{8} = 0{,}375\). On retrouve bien \(0{,}375\).
Exercice 4 :
Pourcentages, lecture graphique et statistiques (10 points)
Le document 1 indique qu’en 2015, environ 4,7 % de la population française souffrait d’allergies alimentaires, qu’en 2010 les personnes concernées étaient deux fois moins nombreuses qu’en 2015, et qu’en 1970 seulement 1 % de la population était concernée. Le document 2 est la courbe de la population française (en millions) de 1970 à 2015.
Partie 1
1. Estimer, à 100 000 près, le nombre de personnes allergiques en France en 2010.
Par lecture graphique, la population française en 2015 est d’environ 64 millions. Le nombre d’allergiques en 2015 est donc d’environ :
\[64 \times \frac{4{,}7}{100} = 3{,}008 \text{ millions.}\]
En 2010, il y en avait deux fois moins : \(3{,}008 : 2 = 1{,}504\) million. À 100 000 près, on estime qu’environ 1 500 000 personnes souffraient d’allergies alimentaires en 2010.
2. Est-il vrai qu’en 2015 il y avait environ 6 fois plus de personnes concernées qu’en 1970 ?
Par lecture graphique, la population en 1970 est d’environ 50,5 millions. Avec 1 % d’allergiques :
\[50{,}5 \times \frac{1}{100} = 0{,}505 \text{ million.}\]
On compare avec 2015 : \(3{,}008 : 0{,}505 \approx 5{,}96\). C’est donc vrai : il y avait environ 6 fois plus de personnes concernées en 2015 qu’en 1970.
Partie 2
En 2015, dans un collège de 681 élèves, 32 élèves souffraient d’allergies alimentaires, réparties ainsi :
| Aliments | Lait | Fruits | Arachides | Poisson | Œuf |
|---|---|---|---|---|---|
| Nombre d’élèves concernés | 6 | 8 | 11 | 5 | 9 |
1. La proportion d’élèves allergiques du collège est-elle supérieure à celle de la population française ?
\[\frac{32}{681} \approx 0{,}0470 \text{, soit environ } 4{,}7\,\%.\]
Plus précisément \(\dfrac{32}{681} \approx 4{,}699\,\%\), ce qui est très légèrement inférieur à 4,7 %. La proportion n’est donc pas supérieure : elle est pratiquement égale à celle de la population française.
2. Jawad additionne les nombres du tableau et trouve 39 au lieu de 32. Expliquer cette différence.
On a bien \(6 + 8 + 11 + 5 + 9 = 39\). La différence vient du fait que certains élèves sont allergiques à plusieurs aliments : ils sont comptés dans plusieurs colonnes du tableau, d’où un total supérieur au nombre d’élèves allergiques.
3. Lucas a commencé un diagramme en barres et Margot un diagramme circulaire pour représenter ces allergies.
a. Quel est le choix le mieux adapté ?
Un diagramme circulaire représente le partage d’un tout : la somme des secteurs doit correspondre aux 32 élèves. Ici, les catégories se chevauchent (39 réponses pour 32 élèves), ce qui rend ce partage impossible. Le caractère étudié (l’aliment) est qualitatif et chaque barre peut être tracée indépendamment : c’est le diagramme en barres de Lucas qui est le mieux adapté.
b. Terminer le diagramme choisi.
Exercice 5 :
Algorithmique avec Scratch et repérage (5 points)
L’arrière-plan est une grille de points espacés de 40 unités. Au départ, le chat a pour coordonnées \((-120 \,;\, -80)\) ; le but est de l’amener sur la balle. Le script du chat est : flèche gauche, ajouter \(-40\) à x ; flèche droite, ajouter 80 à x ; flèche haut, ajouter 80 à y ; flèche bas, ajouter \(-40\) à y ; si la balle est touchée, dire « Je t’ai attrapé » pendant 2 secondes puis revenir au départ.
1. Coordonnées du centre de la balle.
Sur la figure, la balle se trouve 4 points à droite de l’axe vertical et 3 points au-dessus de l’axe horizontal. Ses coordonnées sont donc \((4 \times 40 \,;\, 3 \times 40)\), soit \((160 \,;\, 120)\).
2. a. Pourquoi le chat ne revient-il pas à sa position de départ après les touches → puis ← ?
La flèche droite ajoute 80 à l’abscisse alors que la flèche gauche n’ajoute que \(-40\). Après → puis ←, l’abscisse a varié de \(80 – 40 = 40\) : le chat s’est décalé de 40 unités vers la droite, il n’est pas revenu à son point de départ.
b. Coordonnées du chat après la succession → → ↑ ← ↓.
| Touche | Effet | Coordonnées |
|---|---|---|
| Départ | \((-120 \,;\, -80)\) | |
| → | \(+80\) sur x | \((-40 \,;\, -80)\) |
| → | \(+80\) sur x | \((40 \,;\, -80)\) |
| ↑ | \(+80\) sur y | \((40 \,;\, 0)\) |
| ← | \(-40\) sur x | \((0 \,;\, 0)\) |
| ↓ | \(-40\) sur y | \((0 \,;\, -40)\) |
Après ce déplacement, \(x = 0\) et \(y = -40\).
c. Quelle succession de touches permet d’atteindre la balle ? Les propositions sont : déplacement 1 : → → → → → → → ↑ ↑ ↑ ↑ ↑ ; déplacement 2 : → → → ↑ ↑ ↑ → ↓ ← ; déplacement 3 : ↑ → ↑ → ↑ → → ↓ ↓.
- Déplacement 1 : \(x = -120 + 7 \times 80 = 440\) et \(y = -80 + 5 \times 80 = 320\). Le chat arrive en \((440 \,;\, 320)\) : raté.
- Déplacement 2 : 4 fois → et 1 fois ←, donc \(x = -120 + 4 \times 80 – 40 = 160\) ; 3 fois ↑ et 1 fois ↓, donc \(y = -80 + 3 \times 80 – 40 = 120\). Le chat arrive en \((160 \,;\, 120)\) : c’est la balle.
- Déplacement 3 : 4 fois → donc \(x = -120 + 4 \times 80 = 200\) ; 3 fois ↑ et 2 fois ↓ donc \(y = -80 + 3 \times 80 – 2 \times 40 = 80\). Le chat arrive en \((200 \,;\, 80)\) : raté.
C’est le déplacement 2 qui permet au chat d’atteindre la balle.
3. Que se passe-t-il quand le chat atteint la balle ?
Le bloc « si Balle touché ? alors » s’exécute : le chat dit « Je t’ai attrapé » pendant 2 secondes, puis le bloc Départ le replace à sa position initiale \((-120 \,;\, -80)\).
Exercice 6 :
Aire d’un enclos, fonction du second degré et tableur (10 points)
Leïla dispose de deux murs [OB] et [OF] avec \(OB = 6\) m et \(OF = 4\) m. Elle veut délimiter un enclos rectangulaire OCDE (C sur la demi-droite [OB), E sur la demi-droite [OF)) avec la ligne de grillage BCDEF, en utilisant entièrement un rouleau de 50 m.
1. En plaçant C tel que \(BC = 5\) m, elle obtient \(FE = 15\) m.
a. Vérifier qu’elle utilise les 50 m de grillage.
- \(OC = OB + BC = 6 + 5 = 11\) m et \(OE = OF + FE = 4 + 15 = 19\) m.
- OCDE est un rectangle, donc \(ED = OC = 11\) m et \(CD = OE = 19\) m.
- Le grillage ne couvre pas les murs [OB] et [OF] ; sa longueur est :
\[BC + CD + DE + EF = 5 + 19 + 11 + 15 = 50 \text{ m}.\]
Elle utilise bien les 50 m de grillage.
b. Justifier que l’aire de l’enclos est 209 m².
\[\mathcal{A} = OC \times OE = 11 \times 19 = 209 \text{ m}^2.\]
2. La voisine affirme qu’en notant \(BC = x\), on a \(\mathcal{A}(x) = -x^2 + 18x + 144\). Vérifier que cette formule est cohérente avec la question 1.
\[\mathcal{A}(5) = -5^2 + 18 \times 5 + 144 = -25 + 90 + 144 = 209.\]
On retrouve l’aire de 209 m² obtenue pour \(BC = 5\) m : la formule est cohérente.
Pour aller plus loin : si \(BC = x\), alors \(OC = 6 + x\). En notant \(OE = y\), on a \(FE = y – 4\) et la longueur de grillage vaut \(x + y + (6 + x) + (y – 4) = 2x + 2y + 2 = 50\), d’où \(y = 24 – x\). L’aire est alors \((6 + x)(24 – x) = 144 – 6x + 24x – x^2 = -x^2 + 18x + 144\) : la formule de la voisine est exacte.
3. Leïla utilise un tableur : la ligne 1 contient les valeurs de x de 5 à 12 (colonnes B à I) et la ligne 2 les aires correspondantes. Elle a saisi une formule en B2 puis l’a étirée vers la droite.
a. Quelle formule est inscrite dans la cellule F2 ?
La formule de B2 est =-B1*B1+18*B1+144 ; en l’étirant, la référence de colonne s’adapte. Dans F2, on lit =-F1*F1+18*F1+144.
b. Quelle valeur de BC choisir pour obtenir une aire maximale ?
| x | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(\mathcal{A}(x)\) | 209 | 216 | 221 | 224 | 225 | 224 | 221 | 216 |
La plus grande aire du tableau est 225 m², obtenue pour \(BC = 9\) m.
c. Donner les dimensions de l’enclos obtenu.
- \(OC = OB + BC = 6 + 9 = 15\) m, donc \(ED = 15\) m.
- Comme \(OE = 24 – x\), on a \(OE = CD = 24 – 9 = 15\) m. On peut le retrouver avec le grillage : \(FE = CD – 4\), donc \(9 + CD + 15 + (CD – 4) = 50\), soit \(2CD + 20 = 50\), d’où \(CD = 15\) m.
L’enclos mesure 15 m sur 15 m : c’est un carré de 15 m de côté, d’aire \(15^2 = 225\) m², ce qui confirme le tableau.
