Voici le corrigé complet du brevet de maths de mars 2019 en Nouvelle-Calédonie, une épreuve de deux heures composée de huit exercices indépendants. On y trouve un QCM (décomposition en facteurs premiers, théorème de Thalès, développement d’une expression), le calcul du volume d’une demi-boule pour préparer des takoyakis, et une étude de fonctions linéaire et affine avec lecture graphique et résolution d’une équation. Le sujet aborde aussi la vitesse moyenne et un pourcentage d’augmentation autour du bus Calédorail, les statistiques et probabilités sur les médailles d’or des Jeux olympiques d’hiver, un programme Scratch qui trace des parallélogrammes, trois affirmations à justifier (réciproque de Pythagore, signe d’un produit, échelle) et enfin un problème d’aires de triangles rectangles utilisant Pythagore et la trigonométrie. Chaque réponse est justifiée et rédigée comme on l’attend le jour de l’examen.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet de maths 2019 en Nouvelle-Calédonie : sujet et corrigé en PDF : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Questions à choix multiples, 12 points
Aucune justification n’était exigée, mais on explique ici chaque choix.
1. Il fallait trouver la décomposition en produit de facteurs premiers de 1 600.
\[1\,600 = 16 \times 100 = 2^4 \times (2 \times 5)^2 = 2^4 \times 2^2 \times 5^2 = 2^6 \times 5^2.\]
Vérification : \(2^6 \times 5^2 = 64 \times 25 = 1\,600\). Une écriture comme \(4^2 \times 10^2\) donne bien 1 600, mais 4 et 10 ne sont pas premiers ; quant à \(2^8 \times 5^2\), il vaut \(6\,400\). Réponse C : \(2^6 \times 5^2\).
2. Les points E, A, M d’une part et F, A, N d’autre part sont alignés dans le même ordre, avec \((EF)\) parallèle à \((MN)\) ; on connaît \(AE = 2\) cm, \(AM = 5\) cm et \(EF = 4\) cm, et on cherche \(MN\).
D’après le théorème de Thalès :
\[\frac{AE}{AM} = \frac{AF}{AN} = \frac{EF}{MN}, \quad \text{donc} \quad \frac{2}{5} = \frac{4}{MN}.\]
Par produit en croix : \(MN = \dfrac{4 \times 5}{2} = 10\). Réponse B : \(MN = 10\) cm.
3. On développe et on réduit \(6x(3x-5)+7x\) :
\[6x(3x-5)+7x = 18x^2 – 30x + 7x = 18x^2 – 23x.\]
L’expression \(18x^2 – 30x + 7x\) est égale mais n’est pas réduite. Réponse A : \(18x^2 – 23x\).
Exercice 2 :
Volume d’une demi-boule, 9 points
1. Chaque moule à takoyaki est une demi-boule de rayon \(r = 3\) cm. Son volume vaut la moitié de celui de la boule :
\[V_{\text{moule}} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{2}{3} \pi \times 3^3 = 18\pi \approx 56{,}5 \text{ cm}^3.\]
Le volume d’un moule est donc environ 57 cm³ (arrondi à l’unité), comme l’annonce l’énoncé.
2. Jade remplit chaque moule aux trois quarts et dispose de 1 litre de pâte. Quantité de pâte par takoyaki :
\[\frac{3}{4} \times 57 = 42{,}75 \text{ cm}^3.\]
Or \(1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1\,000 \text{ cm}^3\), donc le nombre de takoyakis possibles est :
\[\frac{1\,000}{42{,}75} \approx 23{,}4.\]
On ne peut pas faire un takoyaki incomplet : Jade peut préparer 23 takoyakis.
Exercice 3 :
Fonctions linéaire et affine, 17 points
La fonction \(g\) est représentée par une droite passant notamment par les points \((0\,;\,8)\) et \((4\,;\,0)\) ; il s’agit de \(g(x) = -2x + 8\). La fonction \(f\) est définie par \(f(x) = 2x\).
1. a. On cherche par lecture graphique l’antécédent de 4 par \(g\) : on part de 4 sur l’axe des ordonnées, on rejoint la droite de \(g\) puis on lit l’abscisse. L’antécédent de 4 par \(g\) est 2 (en effet \(g(2) = -4 + 8 = 4\)).
b. Tableau de valeurs de \(g\) complété par lecture graphique :
| \(x\) | \(-2\) | 0 | 4 | 6 |
|---|---|---|---|---|
| \(g(x)\) | 12 | 8 | 0 | \(-4\) |
2. a. \(f(-2) = 2 \times (-2) = \mathbf{-4}\).
b. \(f(3) = 2 \times 3 = \mathbf{6}\).
c. Il faut tracer la représentation graphique de \(f\). La fonction \(f\) est linéaire : sa représentation est une droite qui passe par l’origine du repère. D’après les questions précédentes, elle passe aussi par \(A(-2\,;\,-4)\) et \(B(3\,;\,6)\). On trace donc la droite \((AB)\), qui passe par l’origine.
3. On lit les coordonnées du point d’intersection S des deux droites : S a pour abscisse 2 (et pour ordonnée 4).
4. a. On résout l’équation \(2x = -2x + 8\) :
\[2x = -2x + 8 \iff 2x + 2x = 8 \iff 4x = 8 \iff x = 2.\]
L’équation a une unique solution : \(x = 2\).
b. Comme \(f(x) = 2x\) et \(g(x) = -2x + 8\), l’équation résolue s’écrit \(f(x) = g(x)\). Sa solution est la valeur de \(x\) pour laquelle \(f\) et \(g\) ont la même image : c’est l’abscisse du point d’intersection S des deux droites. Le calcul confirme la lecture graphique de la question 3 : \(f(2) = g(2) = 4\), donc \(S(2\,;\,4)\).
Remarque : le corrigé PDF d’origine écrivait par erreur « \(g(x) = 2x\) » au lieu de \(f(x) = 2x\).
Exercice 4 :
Le bus Calédorail, 11 points
1. Les stations sont espacées d’environ 450 m. Entre la station 1 et la station 4, il y a \(4 – 1 = 3\) intervalles, donc la distance est d’environ :
\[3 \times 450 = 1\,350 \text{ m}.\]
2. Le bus parcourt 9,9 km en 24 minutes ; on cherche sa vitesse moyenne en km/h. On convertit la durée en heures :
\[24 \text{ min} = \frac{24}{60} \text{ h} = 0{,}4 \text{ h}.\]
\[v = \frac{d}{t} = \frac{9{,}9}{0{,}4} = 24{,}75 \text{ km/h}.\]
La vitesse moyenne du bus est de 24,75 km/h.
3. Le ticket coûte 190 F et son prix augmenterait de 40 %. Augmenter de 40 % revient à multiplier par \(1 + \dfrac{40}{100} = 1{,}4\) :
\[190 \times 1{,}4 = 266.\]
Le nouveau prix serait de 266 F.
Exercice 5 :
Statistiques et probabilités : médailles d’or des Jeux olympiques d’hiver 2018, 17 points
La série donne le nombre de médailles d’or des 21 pays qui en ont obtenu au moins une :
| Médailles d’or | 14 | 11 | 9 | 8 | 7 | 5 | 4 | 3 | 2 | 1 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Nombre de pays | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 4 | 1 | 1 | 3 | 6 |
(14 : Norvège, Allemagne ; 11 : Canada ; 9 : États-Unis ; 8 : Pays-Bas ; 7 : Suède ; 5 : République de Corée, Suisse, France, Autriche ; 4 : Japon ; 3 : Italie ; 2 : Russie, République tchèque, Biélorussie ; 1 : Chine, Slovaquie, Finlande, Grande-Bretagne, Pologne, Hongrie.)
1. a. On calcule le nombre moyen de médailles d’or par pays. Nombre total de médailles d’or :
\[14 \times 2 + 11 + 9 + 8 + 7 + 5 \times 4 + 4 + 3 + 2 \times 3 + 1 \times 6 = 102.\]
Il y a \(2+1+1+1+1+4+1+1+3+6 = 21\) pays, donc la moyenne vaut :
\[\frac{102}{21} = \frac{34}{7} \approx 4{,}9.\]
En moyenne, ces pays ont obtenu environ 4,9 médailles d’or (au dixième près).
b. L’effectif total est 21, nombre impair. Comme \(\dfrac{21+1}{2} = 11\), la médiane est la 11e valeur de la série rangée dans l’ordre. En rangeant les valeurs par ordre décroissant : les 10 premiers pays ont 14, 14, 11, 9, 8, 7, 5, 5, 5, 5 médailles, et le 11e (le Japon) en a 4. La médiane est 4.
c. Interprétation de la médiane : au moins la moitié des pays ont obtenu 4 médailles d’or ou moins, et au moins la moitié en ont obtenu 4 ou plus.
En effet, 11 pays ont au plus 4 médailles d’or (Japon, Italie, Russie, République tchèque, Biélorussie, Chine, Slovaquie, Finlande, Grande-Bretagne, Pologne, Hongrie) et 11 pays en ont au moins 4 (Norvège, Allemagne, Canada, États-Unis, Pays-Bas, Suède, République de Corée, Suisse, France, Autriche, Japon) ; or \(11 \gt \dfrac{21}{2}\).
Remarque : le corrigé PDF d’origine avait inversé les deux listes de pays et comportait une coquille (« 55 ») dans la somme.
2. Dans la feuille de calcul, la ligne 2 (cellules B2 à K2) contient les effectifs, c’est-à-dire le nombre de pays pour chaque nombre de médailles. Pour obtenir le nombre total de pays, il faut additionner ces effectifs ; la formule la plus efficace est :
=SOMME(B2:K2)
Elle renvoie 21.
3. On choisit un pays au hasard parmi les 21 : c’est une situation d’équiprobabilité avec 21 issues, et la probabilité d’un évènement est égale au nombre d’issues favorables divisé par 21.
a. Le pays choisi n’a obtenu qu’une seule médaille d’or : 6 pays sont dans ce cas (Chine, Slovaquie, Finlande, Grande-Bretagne, Pologne, Hongrie). La probabilité est :
\[P_1 = \frac{6}{21} = \frac{2}{7}.\]
b. Le pays choisi a obtenu au moins 5 médailles d’or (donc plus que la médiane) : 10 pays sont dans ce cas (Norvège, Allemagne, Canada, États-Unis, Pays-Bas, Suède, République de Corée, Suisse, France, Autriche). La probabilité est :
\[P_2 = \frac{10}{21}.\]
Exercice 6 :
Programme Scratch et parallélogrammes, 10 points
Le programme demande deux valeurs, angle et longueur. Le lutin, orienté vers la droite, trace deux fois de suite : un côté de 100 pas, une rotation de angle degrés vers la droite, un côté de longueur pas, puis une rotation de \(180 – \text{angle}\) degrés. Sur le quadrillage, un carreau représente 20 pas.
1. On trace la figure obtenue avec angle = 90 et longueur = 80 :
- le lutin avance de 100 pas vers la droite : segment horizontal de 5 carreaux ;
- il tourne de 90° vers la droite : il est orienté vers le bas, puis avance de 80 pas : segment vertical de 4 carreaux ;
- il tourne de \(180 – 90 = 90\)° : il est orienté vers la gauche et avance de 100 pas ;
- il tourne de 90° (vers le haut) et avance de 80 pas, ce qui le ramène au point de départ.
On obtient un rectangle de 100 pas sur 80 pas (5 carreaux sur 4), premier dessin ci-dessous.
2. Il fallait trouver les valeurs donnant un carré de côté 100 pas. Un carré a des angles droits, donc angle = 90 ; ses quatre côtés ont la même longueur, donc longueur = 100.
3. Il fallait reconnaître la figure tracée avec angle = 75 et longueur = 50. Sur les trois figures proposées, les côtés non horizontaux mesurent bien la moitié des côtés horizontaux (50 pas contre 100), donc seul l’angle permet de choisir. Le lutin tourne de 75° après le premier côté : l’angle intérieur formé en ce sommet entre les deux côtés tracés est le supplémentaire, soit \(180 – 75 = 105\)°, et les deux autres angles du parallélogramme mesurent 75°. La bonne figure est donc le parallélogramme dont un angle, au bout du premier côté horizontal, mesure 105° (troisième dessin ci-dessus).
Exercice 7 :
Vrai ou faux justifié, 12 points
1. Affirmation : le triangle ABC, avec \(AB = 7{,}5\) cm, \(AC = 4{,}5\) cm et \(BC = 6\) cm, est rectangle. L’affirmation est vraie.
Le plus long côté est \([AB]\). On calcule séparément :
\[AB^2 = 7{,}5^2 = 56{,}25 \quad \text{et} \quad AC^2 + BC^2 = 4{,}5^2 + 6^2 = 20{,}25 + 36 = 56{,}25.\]
Comme \(AB^2 = AC^2 + BC^2\), d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en C.
Remarque : le corrigé PDF d’origine désignait par erreur \([AC]\) comme le plus long côté.
2. Affirmation : un produit de cinq nombres relatifs dont deux sont négatifs est négatif. L’affirmation est fausse.
Contre-exemple : \((-1) \times (-2) \times 3 \times 4 \times 5 = 120\), qui est positif. Un produit de nombres non nuls est positif quand le nombre de facteurs négatifs est pair ; ici il y en a deux.
3. Affirmation : une maquette de 20 cm d’un bateau de 56 m est à l’échelle \(\dfrac{1}{28}\). L’affirmation est fausse.
À l’échelle \(\dfrac{1}{28}\), la maquette mesurerait \(56 \times \dfrac{1}{28} = 2\) m, soit 200 cm, et non 20 cm. Le bon rapport est :
\[\frac{20 \text{ cm}}{56 \text{ m}} = \frac{20}{5\,600} = \frac{1}{280}.\]
La maquette est à l’échelle \(\dfrac{1}{280}\).
Exercice 8 :
Aires de voiles triangulaires, 12 points
Lisa doit choisir, parmi trois modèles de voiles triangulaires, celle qui a l’aire demandée par l’énoncé (les calculs montrent qu’il s’agit de 9 m²). Les trois triangles sont rectangles : on prend comme base un côté de l’angle droit, la hauteur associée étant l’autre côté de l’angle droit : l’aire est donc le demi-produit des deux côtés de l’angle droit.
Modèle 1 (triangle SEL rectangle en E, \(ES = 4\) m, \(EL = 3{,}5\) m) :
\[\mathcal{A}_1 = \frac{ES \times EL}{2} = \frac{4 \times 3{,}5}{2} = 7 \text{ m}^2.\]
Le modèle 1 ne convient pas.
Modèle 2 (triangle POT rectangle en P, \(PO = 3\) m, hypoténuse \(OT = 5\) m). D’après le théorème de Pythagore :
\[PT^2 = OT^2 – PO^2 = 5^2 – 3^2 = 25 – 9 = 16, \quad \text{donc} \quad PT = \sqrt{16} = 4 \text{ m}.\]
\[\mathcal{A}_2 = \frac{PO \times PT}{2} = \frac{3 \times 4}{2} = 6 \text{ m}^2.\]
Le modèle 2 ne convient pas non plus.
Modèle 3 (triangle MUR rectangle et isocèle en U, hypoténuse \(MR = 6\) m, \(\widehat{MRU} = 45\)°). Dans le triangle rectangle MUR :
\[\cos \widehat{MRU} = \frac{UR}{MR}, \quad \text{donc} \quad UR = 6 \cos 45^\circ = 6 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2} \approx 4{,}24 \text{ m}.\]
Le triangle étant isocèle en U, \(MU = UR = 3\sqrt{2}\) m, d’où :
\[\mathcal{A}_3 = \frac{MU \times UR}{2} = \frac{3\sqrt{2} \times 3\sqrt{2}}{2} = \frac{9 \times 2}{2} = 9 \text{ m}^2.\]
On peut vérifier avec Pythagore : \(MU^2 + UR^2 = 18 + 18 = 36 = MR^2\).
Seul le modèle 3 convient à Lisa.
