Voici le corrigé du brevet de maths 2019 en Asie-Pacifique, épreuve passée le 24 juin 2019 dans les centres d’Asie. Le sujet comporte sept exercices indépendants, tous corrigés ici pas à pas avec des justifications complètes. On y travaille deux programmes de calcul traduits en expressions littérales, des pourcentages et fractions appliqués aux émissions de gaz à effet de serre, un exercice d’algorithmique où un robot colorie un quadrillage, le volume d’un cylindre creux et la masse volumique du béton, la nature d’un quadrilatère avec la réciproque du théorème de Pythagore, une proportion statistique sur le parc automobile français et enfin la fonction affine \( f(x)=-2x+8 \) avec lecture graphique et formule de tableur. Les motifs du robot et le graphique sont redessinés pour suivre le raisonnement.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Asie 2019 : brevet de maths avec sujet et corrigé : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Programmes de calcul, 14 points
Le programme de Nina : choisir un nombre, soustraire 1, multiplier le résultat par \( -2 \), ajouter 2. Le programme de Claire : choisir un nombre, le multiplier par \( -\dfrac{1}{2} \), ajouter 1 au résultat.
1. On vérifie qu’avec 1 au départ, le résultat de Nina est quatre fois celui de Claire.
- Nina : \( 1-1=0 \), puis \( 0\times (-2)=0 \), puis \( 0+2=2 \).
- Claire : \( 1\times (-\dfrac{1}{2})=-\dfrac{1}{2} \), puis \( -\dfrac{1}{2}+1=\dfrac{1}{2} \).
Or \( 4\times \dfrac{1}{2}=2 \) : Nina obtient bien un résultat 4 fois plus grand que celui de Claire.
2. On cherche le nombre de départ qui donne 0 à la fin du programme de Nina.
Notons \( x \) ce nombre. Le programme donne successivement \( x-1 \), puis \( -2(x-1) \), puis \( -2(x-1)+2 \). On résout :
\[ -2(x-1)+2=0 \iff -2x+2+2=0 \iff -2x+4=0 \iff -2x=-4 \iff x=\dfrac{-4}{-2}=2. \]
On peut aussi « remonter » le programme : on retranche 2 à 0, soit \( -2 \) ; on divise par \( -2 \), soit 1 ; on ajoute 1, soit 2. Vérification : \( 2-1=1 \), \( 1\times (-2)=-2 \), \( -2+2=0 \).
Nina doit choisir 2 comme nombre de départ.
3. Nina affirme que, pour un même nombre de départ, son résultat est toujours le quadruple de celui de Claire.
Pour un nombre de départ \( x \) :
- Nina obtient \( -2(x-1)+2=-2x+2+2=-2x+4 \) ;
- Claire obtient \( -\dfrac{1}{2}x+1 \).
Or \( 4(-\dfrac{1}{2}x+1)=-2x+4 \). Le résultat de Nina est donc égal à 4 fois celui de Claire quel que soit \( x \) : Nina a raison.
Exercice 2 :
Pourcentages et fractions, 11 points
Le tableau donne les émissions de gaz à effet de serre en millions de tonnes équivalent CO2 : France 549,4 en 1990 et 490,2 en 2013 ; Union européenne 5 680,9 en 1990 (valeur de 2013 à trouver).
1. Entre 1990 et 2013, les émissions de l’Union européenne ont baissé de 21 %. On cherche la quantité émise en 2013, à 0,1 million de tonnes près.
Diminuer une quantité de 21 % revient à la multiplier par \( 1-\dfrac{21}{100}=0{,}79 \) :
\[ 5\,680{,}9\times 0{,}79=4\,487{,}911. \]
(On peut aussi calculer la baisse \( 5\,680{,}9\times 0{,}21=1\,192{,}989 \) puis la soustraire : \( 5\,680{,}9-1\,192{,}989=4\,487{,}911 \).)
En 2013, l’Union européenne a émis environ 4 487,9 millions de tonnes équivalent CO2.
2. La France veut, d’ici 2030, diminuer ses émissions de \( \dfrac{2}{5} \) par rapport à 1990. Il faut justifier que cela revient à peu près à les diminuer de \( \dfrac{1}{3} \) par rapport à 2013.
Baisse visée par rapport à 1990 : \( \dfrac{2}{5}\times 549{,}4=219{,}76 \). Objectif pour 2030 :
\[ 549{,}4-219{,}76=329{,}64 \text{ millions de tonnes.} \]
Par rapport à 2013, la baisse à réaliser est donc \( 490{,}2-329{,}64=160{,}56 \) millions de tonnes, ce qui représente la fraction
\[ \dfrac{160{,}56}{490{,}2}\approx 0{,}328\quad\text{et}\quad \dfrac{1}{3}\approx 0{,}333. \]
Autre façon de le voir : baisser de \( \dfrac{1}{3} \) les émissions de 2013 donnerait \( 490{,}2-\dfrac{490{,}2}{3}=490{,}2-163{,}4=326{,}8 \), très proche de 329,64.
L’objectif de 2030 correspond bien à une diminution d’environ un tiers des émissions de 2013.
Exercice 3 :
Algorithmique : déplacements d’un robot, 17 points
Un robot se déplace case par case sur un quadrillage (N = nord, S = sud, E = est, W = ouest) et colore en gris chaque case atteinte, y compris la case de départ « d ». Par exemple « 2E » signifie avancer de 2 cases vers l’est, et « 3(1S 2E) » signifie répéter 3 fois le déplacement « 1 case au sud puis 2 cases à l’est ».
1. On dessine le motif du programme 1W 2N 2E 4S 2W.
Depuis d : 1 case vers l’ouest, puis 2 cases vers le nord, puis 2 cases vers l’est (on repasse au-dessus de d et on s’arrête une colonne à droite), puis 4 cases vers le sud (on descend deux lignes sous le niveau de d), puis 2 cases vers l’ouest. On obtient le motif suivant, formé de 12 cases :
2. On compare le programme n° 1 : 1S 3(1N 3E 2S) et le programme n° 2 : 3(1S 1N 3E 1S). Le motif proposé (en gris sur la figure ci-dessous) est formé de trois « marches » qui descendent vers l’est, la dernière se terminant par une seule case sous son extrémité droite.
a. Le motif demandé est obtenu avec le programme n° 2 : 3(1S 1N 3E 1S).
b. Écrivons les deux programmes déplacement par déplacement, sans les répétitions :
- Programme n° 1 : S N E E E S S N E E E S S N E E E S S ;
- Programme n° 2 : S N E E E S S N E E E S S N E E E S.
Les deux suites sont identiques, sauf que le programme n° 1 se termine par un déplacement S supplémentaire. Le programme n° 1 colore donc une case de plus, sous la dernière case du motif : il ne donne pas le motif proposé, qui s’arrête une case plus haut.
3. Le programme n° 3 : 4(1S 1E 1N) donne un rectangle gris de 2 lignes sur 5 colonnes. On veut, en ne changeant qu’une seule instruction, obtenir un motif « crénelé » : la ligne du bas est entièrement grise sur 9 cases, et la ligne du haut n’est grise qu’une case sur deux.
Chaque répétition doit maintenant faire descendre le robot, avancer de deux cases vers l’est, puis remonter : on remplace 1E par 2E. Nouveau programme : 4(1S 2E 1N).
Exercice 4 :
Volume et masse volumique, 16 points
Mme Martin doit rapporter 5 cylindres creux en béton (diamètre intérieur 90 cm, diamètre extérieur 101 cm, hauteur 50 cm, masse volumique du béton 2 400 kg/m³). Sa remorque supporte au plus 500 kg. On cherche le nombre minimum d’allers-retours.
Volume de béton d’un cylindre. Le cylindre creux est un cylindre plein de rayon \( \dfrac{101}{2}=50{,}5 \) cm dont on a retiré un cylindre de rayon \( \dfrac{90}{2}=45 \) cm, les deux de hauteur 50 cm. Travaillons directement en mètres : rayons 0,505 m et 0,45 m, hauteur 0,5 m.
\[ V=\pi\times 0{,}505^2\times 0{,}5-\pi\times 0{,}45^2\times 0{,}5=\pi\times 0{,}5\times (0{,}255025-0{,}2025)=0{,}0262625\,\pi\ \text{m}^3, \]
soit \( V\approx 0{,}0825\ \text{m}^3 \) (environ 82 506 cm³).
Masse d’un cylindre. Un mètre cube de béton pèse 2 400 kg, donc
\[ m=0{,}0262625\,\pi\times 2\,400\approx 198\ \text{kg}. \]
Chargement de la remorque. Deux cylindres pèsent environ \( 2\times 198=396 \) kg, ce qui est inférieur à 500 kg ; trois cylindres pèsent environ \( 3\times 198=594 \) kg, ce qui dépasse 500 kg. Elle peut donc transporter au plus 2 cylindres par voyage.
Pour 5 cylindres : \( 5=2+2+1 \), il faut 3 voyages (deux voyages ne permettraient d’en rapporter que 4).
Mme Martin doit faire au minimum 3 allers-retours.
Exercice 5 :
Nature d’un quadrilatère, 12 points
La figure, codée et tracée à main levée, montre un quadrilatère ABCD dont les diagonales se coupent en O ; le codage indique OA = OB = OC = OD. On donne OA = 3,5 cm et AB = 5 cm.
1. Peut-on affirmer que ABCD est un rectangle ?
D’après le codage, O est le milieu de [AC] et de [BD] : les diagonales se coupent en leur milieu, donc ABCD est un parallélogramme.
De plus \( AC=2\times 3{,}5=7 \) cm et \( BD=2\times 3{,}5=7 \) cm : les diagonales ont la même longueur. Un parallélogramme dont les diagonales ont la même longueur est un rectangle.
Oui, ABCD est un rectangle.
2. Peut-on affirmer que ABCD est un carré ?
Un rectangle est un carré si et seulement si ses diagonales sont perpendiculaires. Regardons si le triangle AOB est rectangle en O. Son plus grand côté est [AB].
\[ OA^2+OB^2=3{,}5^2+3{,}5^2=12{,}25+12{,}25=24{,}5\qquad AB^2=5^2=25. \]
Comme \( OA^2+OB^2\neq AB^2 \), d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle AOB n’est pas rectangle en O : les diagonales ne sont pas perpendiculaires.
Non, ABCD n’est pas un carré (la figure à main levée est trompeuse).
Exercice 6 :
Statistiques et probabilités, 14 points
Document 1 (France, 2014) : 19 741 milliers de voitures diesel, qui parcourent en moyenne 15 430 km par an ; 11 984 milliers de voitures essence, qui parcourent en moyenne 8 344 km par an.
1. On vérifie qu’il y avait 31 725 000 voitures diesel ou essence en circulation.
\[ 19\,741+11\,984=31\,725\ \text{milliers}, \]
soit 31 725 000 voitures.
2. On cherche la proportion de voitures essence, en pourcentage arrondi à l’unité.
\[ \dfrac{11\,984}{31\,725}\approx 0{,}378. \]
Les voitures essence représentent environ 38 % des voitures diesel ou essence.
3. Une voiture a été tirée au sort ; son propriétaire, Hugo, indique qu’elle a 7 ans et exactement 103 824 km au compteur.
a. Pourquoi le présentateur pense-t-il à un diesel ? Kilométrage moyen annuel de la voiture de Hugo :
\[ \dfrac{103\,824}{7}=14\,832\ \text{km par an}. \]
Cette valeur est proche du parcours moyen d’un diesel (15 430 km) et bien supérieure à celui d’une voiture essence (8 344 km). C’est pour cela que le présentateur pense que la voiture est un diesel.
b. Est-il possible que ce soit une voiture essence ? Oui. Les valeurs du document 1 sont des moyennes : certaines voitures essence roulent beaucoup plus que 8 344 km par an, et rien n’interdit qu’une voiture essence parcoure environ 14 800 km par an. De plus, la voiture a été tirée au sort parmi toutes les voitures diesel ou essence, et environ 38 % d’entre elles roulent à l’essence : cette éventualité est loin d’être négligeable.
Il est donc possible que la voiture de Hugo soit une voiture essence, même si le diesel reste plus probable.
Exercice 7 :
Fonction affine, lecture graphique et tableur, 16 points
Deux courbes C1 et C2 sont tracées dans un repère ; l’une représente la fonction \( f \) définie par \( f(x)=-2x+8 \).
1. Laquelle des deux courbes représente \( f \) ?
La fonction \( f \) est une fonction affine : sa représentation graphique est une droite (de coefficient directeur \( -2 \), donc « descendante », et d’ordonnée à l’origine 8). La courbe C1 n’est pas une droite.
C’est C2 qui représente la fonction \( f \).
2. Calcul de \( f(3) \) :
\[ f(3)=-2\times 3+8=-6+8=2. \]
\( f(3)=2 \), ce que confirme le graphique : le point de coordonnées \( (3\,;2) \) est sur C2.
3. On cherche le nombre \( x \) tel que \( f(x)=6 \) :
\[ -2x+8=6\iff -2x=6-8\iff -2x=-2\iff x=1. \]
Le nombre qui a pour image 6 par \( f \) est 1. (Vérification : \( f(1)=-2+8=6 \).)
4. Dans le tableur, les valeurs de \( x \) sont en ligne 1 (de B1 à G1 : \( -2 \) ; \( -1 \) ; 0 ; 1 ; 2 ; 3) et on veut leurs images en ligne 2. Dans la cellule B2, on remplace \( x \) par B1 :
=-2*B1+8
On saisit =-2*B1+8 en B2, puis on étire jusqu’à G2. On obtient alors 12 ; 10 ; 8 ; 6 ; 4 ; 2.
