Ce brevet blanc de maths 2021 (sujet n° 6) est un devoir commun de janvier proposé aux élèves de 3e pour préparer le DNB. Il compte huit exercices sur 40 points. On y trouve un QCM de calcul (système de véhicules et de roues, expression littérale, fractions, écriture scientifique, identité remarquable), un problème de carrelage résolu par la décomposition en facteurs premiers et le plus grand diviseur commun, puis la réciproque du théorème de Thalès pour prouver que deux droites ne sont pas parallèles. Un problème concret sur le budget d’une piscine mobilise le volume d’un cylindre et les conversions d’unités, avant la réciproque du théorème de Pythagore appliquée à une étagère. Le sujet se termine par des scripts Scratch, un programme de calcul à démontrer avec le calcul littéral et un exercice de vitesse moyenne autour d’une course de fond.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Brevet Maths 2021 : sujet et corrigé du brevet blanc de maths : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
QCM, calcul numérique et littéral, 5 points
Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.
1. Un parking contient 28 véhicules, des voitures (4 roues) et des motos (2 roues), pour un total de 80 roues. Combien y a-t-il de voitures ?
Notons \( v \) le nombre de voitures et \( m \) le nombre de motos. On a \( v + m = 28 \) et \( 4v + 2m = 80 \). En doublant la première égalité, \( 2v + 2m = 56 \) ; par soustraction, \( 2v = 24 \), donc \( v = 12 \) et \( m = 28 – 12 = 16 \).
Vérification : \( 12 \times 4 + 16 \times 2 = 48 + 32 = 80 \) roues. La bonne réponse est la réponse C : 12 voitures.
À titre de contre-exemple, avec 20 voitures il y aurait 8 motos, soit \( 20 \times 4 + 8 \times 2 = 96 \) roues, et non 80 : la réponse A ne convient pas.
2. Valeur de l’expression \( x^2 + 3x + 4 \) pour \( x = -4 \).
\[ (-4)^2 + 3 \times (-4) + 4 = 16 – 12 + 4 = 8 \]
La bonne réponse est la réponse A : 8. Attention : \( (-4)^2 = 16 \) (et non \( -16 \)), car le carré d’un nombre négatif est positif.
3. Calcul de \( \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{4} \).
On réduit au même dénominateur 12 :
\[ \frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 \times 4}{3 \times 4} + \frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12} \]
La bonne réponse est la réponse C : \( \dfrac{7}{12} \).
4. Écriture scientifique de 1 500 000 000.
L’écriture scientifique d’un nombre décimal positif non nul est \( a \times 10^n \) avec \( 1 \leq\, a \lt 10 \) et \( n \) entier relatif. Ici :
\[ 1\,500\,000\,000 = 15 \times 10^8 = 1{,}5 \times 10 \times 10^8 = 1{,}5 \times 10^9 \]
La bonne réponse est la réponse D : \( 1{,}5 \times 10^9 \).
5. Développement de \( (x – 2)(x + 2) \).
On reconnaît l’identité remarquable \( (a – b)(a + b) = a^2 – b^2 \) avec \( a = x \) et \( b = 2 \) :
\[ (x – 2)(x + 2) = x^2 – 2^2 = x^2 – 4 \]
La bonne réponse est la réponse A : \( x^2 – 4 \).
Exercice 2 :
arithmétique, carrelage d’un mur, 6 points
Carole veut recouvrir une surface rectangulaire de 225 cm sur 108 cm avec des carreaux carrés identiques, sans découpe.
1. Décomposer 108 et 225 en produits de facteurs premiers.
\[ 108 = 2 \times 54 = 2 \times 2 \times 27 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^2 \times 3^3 \]
\[ 225 = 5 \times 45 = 5 \times 5 \times 9 = 5 \times 5 \times 3 \times 3 = 3^2 \times 5^2 \]
2. Rendre la fraction \( \dfrac{108}{225} \) irréductible.
On simplifie par tous les facteurs premiers communs au numérateur et au dénominateur, ici \( 3^2 = 9 \) :
\[ \frac{108}{225} = \frac{2^2 \times 3^3}{3^2 \times 5^2} = \frac{2^2 \times 3}{5^2} = \frac{12}{25} \]
12 et 25 n’ont plus aucun facteur premier commun : \( \dfrac{12}{25} \) est irréductible.
3. Carole peut-elle utiliser des carreaux de 3 cm de côté ? de 6 cm de côté ?
Notons \( c \) la longueur du côté d’un carreau (en cm). Pour carreler sans découpe, il faut un nombre entier \( a \) de carreaux sur la longueur et un nombre entier \( b \) sur la largeur : \( a \times c = 225 \) et \( b \times c = 108 \). Autrement dit, \( c \) doit être un diviseur commun de 225 et de 108.
- Carreaux de 3 cm : oui. La somme des chiffres de 225 vaut \( 2 + 2 + 5 = 9 \) et celle de 108 vaut \( 1 + 0 + 8 = 9 \) ; 9 étant divisible par 3, les deux nombres sont divisibles par 3 (\( 225 = 3 \times 75 \) et \( 108 = 3 \times 36 \)).
- Carreaux de 6 cm : non. 225 est impair, donc il n’est pas divisible par 2, ni par conséquent par 6.
4. Quelle est la plus grande taille possible pour les carreaux ?
D’après la question 3, on cherche le plus grand diviseur commun de 225 et 108. Avec les décompositions \( 108 = 2^2 \times 3^3 \) et \( 225 = 3^2 \times 5^2 \), le seul facteur premier commun est 3, avec l’exposant le plus petit, 2. Le plus grand diviseur commun est donc \( 3^2 = 9 \).
Les carreaux les plus grands possibles mesurent 9 cm de côté.
Carole posera alors \( 225 : 9 = 25 \) carreaux sur la longueur et \( 108 : 9 = 12 \) carreaux sur la largeur, soit \( 25 \times 12 = 300 \) carreaux en tout.
Exercice 3 :
réciproque de Thalès, 4 points
Les points A, E, D sont alignés, ainsi que les points C, E, B, avec \( EA = 7 \), \( ED = 9 \), \( EC = 10 \) et \( EB = 13 \). Les droites (AC) et (BD) sont-elles parallèles ?
Comparons les rapports \( \dfrac{EA}{ED} \) et \( \dfrac{EC}{EB} \) :
\[ \frac{EA}{ED} = \frac{7}{9} \qquad \text{et} \qquad \frac{EC}{EB} = \frac{10}{13} \]
Par les produits en croix : \( 7 \times 13 = 91 \) et \( 9 \times 10 = 90 \). Comme \( 91 \neq 90 \), on a \( \dfrac{EA}{ED} \neq \dfrac{EC}{EB} \).
Or, si les droites (AC) et (BD) étaient parallèles, le théorème de Thalès donnerait l’égalité \( \dfrac{EA}{ED} = \dfrac{EC}{EB} \). Ce n’est pas le cas, donc (c’est la contraposée du théorème de Thalès) les droites (AC) et (BD) ne sont pas parallèles.
Exercice 4 :
problème concret, budget d’une piscine, 7 points
On dispose d’un budget de 200 € pour une piscine hors-sol cylindrique à 80 € (diamètre 260 cm, hauteur d’eau 65 cm), en tenant compte de l’électricité consommée par la pompe (3,42 kWh par jour, à 0,15 € le kWh) pendant 4 mois et du prix de l’eau (2,03 € le m³). Le budget est-il suffisant ?
Coût de l’électricité. Les 4 mois d’utilisation représentent 122 jours. La pompe consomme :
\[ 122 \times 3{,}42 = 417{,}24 \text{ kWh} \]
ce qui coûte \( 417{,}24 \times 0{,}15 = 62{,}586 \), soit environ 62,59 €.
Coût de l’eau. On convertit en mètres : 260 cm = 2,6 m, donc le rayon vaut 1,3 m ; 65 cm = 0,65 m. Le volume d’eau est celui d’un cylindre :
\[ V = \pi \times r^2 \times h = \pi \times 1{,}3^2 \times 0{,}65 = 1{,}0985\,\pi \approx 3{,}45 \text{ m}^3 \]
Le remplissage coûte donc environ \( 3{,}45 \times 2{,}03 \approx 7{,}00 \) €.
Bilan. Le coût total est d’environ \( 80 + 62{,}59 + 7{,}00 = 149{,}59 \) €.
Comme \( 149{,}59 \lt 200 \), le budget de 200 € est largement suffisant pour acheter la piscine et payer son fonctionnement (il reste environ 50 €).
Exercice 5 :
réciproque de Pythagore, 4 points
Claude affirme que son étagère, modélisée par le triangle ABC avec \( AB = 65 \) cm, \( AC = 72 \) cm et \( BC = 97 \) cm, possède un angle droit. A-t-il raison ?
Le plus grand côté du triangle ABC est [BC]. On calcule séparément :
\[ BC^2 = 97^2 = 9\,409 \]
\[ AB^2 + AC^2 = 65^2 + 72^2 = 4\,225 + 5\,184 = 9\,409 \]
On a donc \( BC^2 = AB^2 + AC^2 \). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle ABC est rectangle en A (sommet opposé au plus grand côté).
Claude a raison : l’étagère forme bien un angle droit.
Exercice 6 :
algorithmique, Scratch, 3 points
Il s’agit d’associer chacune des trois figures (des spirales tracées par le lutin) au programme Scratch qui la produit. On observe, dans chaque script, l’évolution de la longueur du pas et le sens de rotation.
- Figure 1 → programme 2 : la longueur du pas augmente à chaque tour de boucle et le lutin tourne à droite, la spirale s’élargit dans le sens des aiguilles d’une montre.
- Figure 2 → programme 3 : la longueur du pas diminue, la spirale se resserre vers son centre.
- Figure 3 → programme 1 : la longueur du pas augmente et le lutin tourne à gauche, la spirale s’élargit dans le sens inverse des aiguilles d’une montre.
Exercice 7 :
programme de calcul, calcul littéral, 7 points
Le programme : choisir un nombre ; lui ajouter 7 ; lui soustraire 7 ; multiplier les deux résultats obtenus ; ajouter 50 au produit.
1. Résultat obtenu en partant de 2.
- \( 2 + 7 = 9 \)
- \( 2 – 7 = -5 \)
- \( 9 \times (-5) = -45 \)
- \( -45 + 50 = 5 \)
En partant de 2, on obtient 5.
2. Résultat obtenu en partant de \( -10 \).
- \( -10 + 7 = -3 \)
- \( -10 – 7 = -17 \)
- \( (-3) \times (-17) = 51 \)
- \( 51 + 50 = 101 \)
En partant de \( -10 \), on obtient 101.
3. et 4. Un élève pense que le programme donne toujours \( 2x + 1 \) ; on cherche l’expression du résultat en fonction du nombre de départ \( x \).
En partant de \( x \), on obtient successivement \( x + 7 \) et \( x – 7 \), puis, grâce à l’identité remarquable \( (a + b)(a – b) = a^2 – b^2 \) :
\[ (x + 7)(x – 7) = x^2 – 7^2 = x^2 – 49 \]
et enfin \( x^2 – 49 + 50 = x^2 + 1 \).
Le programme donne toujours \( x^2 + 1 \). On retrouve bien les résultats précédents : \( 2^2 + 1 = 5 \) et \( (-10)^2 + 1 = 101 \).
L’élève n’a pas raison : \( 2x + 1 \) et \( x^2 + 1 \) ne sont pas égaux pour toute valeur de \( x \). Par exemple, pour \( x = 3 \), on a \( 2 \times 3 + 1 = 7 \) alors que \( 3^2 + 1 = 10 \). (Pour \( x = 2 \), les deux expressions valent 5, ce qui explique sa conjecture, mais un seul exemple ne prouve rien.)
5. Quels nombres de départ permettent d’obtenir 17 ?
On résout l’équation \( x^2 + 1 = 17 \) :
\[ x^2 + 1 = 17 \iff x^2 = 16 \iff x = 4 \ \text{ou} \ x = -4 \]
car \( 4^2 = 16 \) et \( (-4)^2 = 16 \). Il faut choisir 4 ou \( -4 \) comme nombre de départ.
Exercice 8 :
grandeurs et mesures, vitesse moyenne, 3 points
1. Les élèves de 3e du collège Rimbaud parcourent 4 tours d’un circuit formé de segments de 234 m, 155 m, 90 m, 25 m et 194 m. Longueur totale de la course :
\[ 4 \times (234 + 155 + 90 + 25 + 194) = 4 \times 698 = 2\,792 \text{ m} \]
La course mesure 2 792 m.
2. Tery a couru cette distance en 10 min 42 s. Sa vitesse moyenne :
On convertit la durée en secondes : \( 10 \text{ min } 42 \text{ s} = 10 \times 60 + 42 = 642 \) s. Donc :
\[ v = \frac{d}{t} = \frac{2\,792}{642} \approx 4{,}35 \text{ m/s} \]
Tery court à environ 4,35 m/s.
3. Le champion Georges Richmond a couru 15 000 m en 55 min 11 s. Tery pourrait-il le battre en gardant sa vitesse ?
\( 55 \text{ min } 11 \text{ s} = 55 \times 60 + 11 = 3\,311 \) s, d’où la vitesse du champion :
\[ v = \frac{15\,000}{3\,311} \approx 4{,}53 \text{ m/s} \]
Comme \( 4{,}35 \lt 4{,}53 \), Tery est plus lent. À sa vitesse, il mettrait \( 15\,000 : 4{,}35 \approx 3\,449 \) s, soit environ 57 min 29 s, plus que les 55 min 11 s du champion.
En gardant sa vitesse, Tery ne pourrait pas battre Georges Richmond.
