Voici le corrigé du brevet de maths 2022 en Polynésie, épreuve du 23 juin 2022 (durée 2 heures, 100 points). Le sujet comporte cinq exercices indépendants. Le premier est un vrai/faux qui mêle calcul sur les fractions, réciproque du théorème de Thalès, décomposition en facteurs premiers et ratio. Le deuxième compare deux tarifs de salle de sport à l’aide de fonctions linéaire et affine lues sur un graphique. Le troisième porte sur des briques de jus de fruit : médiane, étendue, probabilité, pourcentage, puis aire et volume d’un pavé droit. Le quatrième étudie un programme de calcul et l’identité remarquable \((a+b)(a-b)\). Le dernier, sur la « chenille » du centre Pompidou, fait appel au théorème de Pythagore, à la trigonométrie et à un script Scratch. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
L’énoncé de cette épreuve est sur la page Polynésie Française : brevet de maths 2022 avec sujet et corrigé : cherchez d’abord chaque exercice, puis comparez avec la correction.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Vrai ou faux, 20 points
1. Adriana calcule \(-\dfrac{7}{5}+\dfrac{6}{5}\times \dfrac{4}{7}\). L’affirmation 1 dit que le résultat irréductible est \(-\dfrac{4}{35}\).
La multiplication est prioritaire sur l’addition :
\[-\frac{7}{5}+\frac{6}{5}\times \frac{4}{7}=-\frac{7}{5}+\frac{24}{35}=-\frac{49}{35}+\frac{24}{35}=-\frac{25}{35}=-\frac{5}{7}.\]
Le résultat est \(-\dfrac{5}{7}\), et non \(-\dfrac{4}{35}\) (on obtiendrait \(-\dfrac{4}{35}\) en effectuant à tort l’addition en premier : \((-\dfrac{7}{5}+\dfrac{6}{5})\times \dfrac{4}{7}=-\dfrac{1}{5}\times \dfrac{4}{7}\)). L’affirmation 1 est fausse.
2. Les points G, A, R sont alignés, ainsi que E, A, M, avec \(AG=9{,}8\) cm, \(AR=7\) cm, \(AE=4{,}2\) cm et \(AM=3\) cm. L’affirmation 2 dit que les droites (GE) et (MR) sont parallèles.
Les points G, A, R d’une part et E, A, M d’autre part sont alignés dans le même ordre (A est entre les deux autres points sur chaque droite). On compare les rapports :
\[\frac{AG}{AR}=\frac{9{,}8}{7}=1{,}4\qquad\text{et}\qquad\frac{AE}{AM}=\frac{4{,}2}{3}=1{,}4.\]
Les rapports sont égaux : \(\dfrac{AG}{AR}=\dfrac{AE}{AM}\). D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (GE) et (MR) sont parallèles. L’affirmation 2 est vraie.
3. L’affirmation 3 dit que la décomposition en produit de facteurs premiers de 126 est \(2\times 7\times 9\).
Le produit vaut bien 126, mais 9 n’est pas un nombre premier (\(9=3\times 3\)). La décomposition correcte est :
\[126=2\times 3\times 3\times 7=2\times 3^2\times 7.\]
L’affirmation 3 est fausse.
4. Moutarde, vinaigre et huile sont dans le ratio \(1:3:7\). L’affirmation 4 dit que pour 330 mL de sauce il faut 210 mL d’huile.
La sauce se partage en \(1+3+7=11\) parts égales, dont 7 parts d’huile. Une part vaut \(330: 11=30\) mL, donc le volume d’huile est :
\[7\times 30=210\text{ mL}.\]
L’affirmation 4 est vraie.
Exercice 2 :
Fonctions linéaire et affine, 16 points
Le graphique donne le prix payé (en euros) selon le nombre d’heures effectuées pour deux tarifs : la droite \((d_1)\), tarif « liberté », est celle qui passe par l’origine ; la droite \((d_2)\), tarif « abonné », coupe l’axe des ordonnées en 7,5.
1. Le prix du tarif « liberté » est-il proportionnel au nombre d’heures ?
La droite \((d_1)\) est une droite qui passe par l’origine du repère. Le prix payé avec le tarif « liberté » est donc proportionnel au nombre d’heures effectuées.
2. \(f\) associe au nombre d’heures le prix au tarif « liberté », \(g\) le prix au tarif « abonné ». Lectures graphiques :
a. Le point de \((d_1)\) d’abscisse 5 a pour ordonnée 25 : \(f(5)=25\). L’image de 5 par \(f\) est 25.
b. Le point de \((d_2)\) d’ordonnée 10 a pour abscisse 1 : \(g(1)=10\). L’antécédent de 10 par \(g\) est 1.
3. Quel tarif est le plus avantageux selon le nombre d’heures ?
Les deux droites se coupent au point de coordonnées \((3\,;\,15)\) : pour 3 heures, les deux tarifs coûtent 15 €.
- Pour moins de 3 heures, \((d_1)\) est en dessous de \((d_2)\) : le tarif « liberté » est le plus avantageux.
- Pour exactement 3 heures, les deux tarifs sont équivalents.
- Pour plus de 3 heures, \((d_2)\) est en dessous de \((d_1)\) : le tarif « abonné » est le plus avantageux.
4. Prix au tarif « liberté » pour 15 heures.
La situation étant proportionnelle, \(f\) est une fonction linéaire : il existe un nombre \(a\) tel que \(f(x)=ax\) pour tout \(x\). Comme \(f(5)=25\), on a \(5a=25\), donc \(a=5\) : l’heure coûte 5 €. Ainsi \(f(x)=5x\) et :
\[f(15)=5\times 15=75.\]
Pour 15 heures, on paie 75 € avec le tarif « liberté ».
Exercice 3 :
Statistiques, probabilité, volume, 23 points
Partie A : briques de jus de pomme
Les briques doivent contenir 350 mL. Sur 24 briques contrôlées, on a relevé :
| Volume (mL) | 344 | 347 | 348 | 349 | 350 | 351 | 352 | 353 | 354 | 356 | 357 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 1 | 2 | 4 | 4 | 2 | 3 | 1 | 2 | 3 | 1 | 1 |
| Effectif cumulé | 1 | 3 | 7 | 11 | 13 | 16 | 17 | 19 | 22 | 23 | 24 |
1. Médiane de la série et interprétation.
L’effectif total est 24, nombre pair : \(24: 2=12\). La médiane est la moyenne de la 12e et de la 13e valeur de la série rangée dans l’ordre croissant. D’après les effectifs cumulés, les valeurs de rang 12 et 13 valent toutes les deux 350 mL.
La médiane est 350 mL : au moins la moitié des briques contrôlées contiennent au plus 350 mL de jus, et au moins la moitié en contiennent au moins 350 mL.
2. Étendue de la série.
\[357-344=13.\]
L’étendue est de 13 mL.
3. Probabilité qu’une brique prise au hasard contienne exactement 350 mL.
Les 24 briques ont la même chance d’être choisies, et 2 d’entre elles contiennent exactement 350 mL :
\[p=\frac{2}{24}=\frac{1}{12}.\]
La probabilité est \(\dfrac{1}{12}\), soit environ 0,083.
4. Une brique peut être vendue si son volume est compris entre 345 mL et 355 mL. Quel pourcentage des briques contrôlées peut être vendu ?
Seules les briques de 344 mL, 356 mL et 357 mL sont hors de l’intervalle, soit \(1+1+1=3\) briques. Il en reste \(24-3=21\), ce qu’on retrouve en additionnant les effectifs de 347 à 354 mL : \(2+4+4+2+3+1+2+3=21\).
\[\frac{21}{24}=0{,}875=87{,}5\,\%.\]
87,5 % des briques contrôlées peuvent être vendues.
Partie B : briques de jus de raisin
La nouvelle brique est un pavé droit dont la base est un rectangle de 6,4 cm sur 5 cm.
1. Aire de la base :
\[\mathcal{A}=6{,}4\times 5=32\text{ cm}^2.\]
L’aire de la base est 32 cm².
2. Hauteur pour que le volume soit de 400 cm³.
Le volume d’un pavé droit est \(V=\mathcal{A}_{\text{base}}\times h\). On veut \(32\times h=400\), donc :
\[h=\frac{400}{32}=12{,}5\text{ cm}.\]
La brique doit mesurer 12,5 cm de hauteur.
Exercice 4 :
Programme de calcul et calcul littéral, 20 points
Le programme : on choisit un nombre ; on lui ajoute 5 d’un côté et on lui soustrait 5 de l’autre ; on multiplie les deux résultats ; on ajoute 25.
1. a. Vérifier qu’avec 7 on obtient 49.
\(7+5=12\) et \(7-5=2\) ; \(12\times 2=24\) ; \(24+25=49\). On obtient bien 49.
b. Résultat avec \(-4\).
\(-4+5=1\) et \(-4-5=-9\) ; \(1\times (-9)=-9\) ; \(-9+25=16\). On obtient 16.
2. a. Résultat en fonction du nombre de départ \(x\) :
\[(x+5)(x-5)+25.\]
b. Développer et réduire \((x+5)(x-5)\). On reconnaît l’identité remarquable \((a+b)(a-b)=a^2-b^2\) :
\[(x+5)(x-5)=x^2-5^2=x^2-25.\]
c. Sarah affirme que le résultat est toujours le carré du nombre de départ.
D’après la question précédente, pour tout nombre \(x\) :
\[(x+5)(x-5)+25=x^2-25+25=x^2.\]
Le résultat est bien toujours le carré du nombre choisi (on le constate d’ailleurs avec \(7^2=49\) et \((-4)^2=16\)). Sarah a raison.
Exercice 5 :
Pythagore, trigonométrie et Scratch, 23 points
La « chenille » du centre Pompidou est formée de 5 escalators identiques et de 6 passerelles horizontales identiques de 12,5 m. Sa longueur horizontale totale est 135 m et sa hauteur totale 32 m. On note \(p\) la profondeur (déplacement horizontal) et \(h\) la hauteur d’un escalator.
1. a. Vérifier que \(p=12\) m.
Horizontalement, les 6 passerelles et les 5 profondeurs d’escalators couvrent les 135 m :
\[6\times 12{,}5+5p=135\quad\text{donc}\quad 5p=135-75=60\quad\text{et}\quad p=\frac{60}{5}=12.\]
La profondeur de chaque escalator est bien de 12 m.
b. Hauteur \(h\) d’un escalator.
Les passerelles sont horizontales : seuls les 5 escalators font monter, de 32 m au total.
\[h=\frac{32}{5}=6{,}4\text{ m}.\]
Chaque escalator a une hauteur de 6,4 m.
2. On modélise un escalator par le triangle RST rectangle en R, avec \(SR=12\) m et \(RT=6{,}4\) m.
a. Prouver que \(ST=13{,}6\) m.
Dans le triangle RST rectangle en R, d’après le théorème de Pythagore :
\[ST^2=SR^2+RT^2=12^2+6{,}4^2=144+40{,}96=184{,}96.\]
Donc \(ST=\sqrt{184{,}96}=13{,}6\) (en effet \(13{,}6^2=184{,}96\)). Un escalator mesure 13,6 m de long.
b. Montrer que l’angle \(\widehat{RST}\) mesure environ 28°.
Dans le triangle RST rectangle en R, le côté opposé à l’angle \(\widehat{RST}\) est [RT] et le côté adjacent est [SR] :
\[\tan\widehat{RST}=\frac{RT}{SR}=\frac{6{,}4}{12}\approx0{,}533\quad\text{donc}\quad\widehat{RST}=\arctan(\frac{6{,}4}{12})\approx28{,}07^{\circ}.\]
Arrondi au degré, l’angle mesure 28°. (On peut aussi utiliser \(\cos\widehat{RST}=\dfrac{12}{13{,}6}\) ou \(\sin\widehat{RST}=\dfrac{6{,}4}{13{,}6}\), qui donnent le même arrondi.)
3. Sabine représente la chenille avec Scratch (1 pas = 1 m). Il faut compléter les lignes 6, 7, 9 et 10 du script.
Le lutin part vers la droite. Chaque motif répété doit tracer une passerelle (12,5 pas), tourner de 28° vers la gauche pour monter, tracer un escalator (13,6 pas), puis tourner de 28° vers la droite pour revenir à l’horizontale (et non de 90°, sinon le lutin partirait vers le bas). Ce motif est répété 5 fois, une fois par escalator ; la ligne 11 trace ensuite la 6e et dernière passerelle.
1 quand le drapeau vert est cliqué 2 effacer tout 3 s'orienter à 90 4 aller à x: -120 y: -60 5 stylo en position d'écriture 6 répéter 5 fois 7 avancer de 12.5 8 tourner ↺ de 28 degrés 9 avancer de 13.6 10 tourner ↻ de 28 degrés 11 avancer de 12.5 12 relever le stylo
Réponses : ligne 6 : 5 ; ligne 7 : 12,5 ; ligne 9 : 13,6 ; ligne 10 : 28. Le tracé obtenu mesure bien \(6\times 12{,}5+5\times 12=135\) pas de large et \(5\times 6{,}4=32\) pas de haut.
