Ce brevet blanc de maths n° 5 est un sujet d’entraînement de deux heures composé de cinq exercices, idéal pour se préparer au DNB. Le premier mobilise la réciproque du théorème de Pythagore, la trigonométrie et les triangles semblables avec un coefficient d’agrandissement. Le deuxième étudie l’aire d’un polygone découpé dans un rectangle : on construit une fonction du second degré, on la traduit en formule de tableur puis on résout graphiquement et par le calcul une équation. Le troisième réunit quatre affirmations vrai ou faux (proportionnalité, nombres décimaux, engrenages et développement). Le quatrième porte sur le volume d’un cylindre, les pourcentages d’un diagramme circulaire et une moyenne. Le dernier exercice traite de probabilités sur des nombres à deux chiffres, avec un programme de simulation. Chaque réponse est justifiée pas à pas.
Corrigé du sujet
Exercice 1 :
Pythagore, trigonométrie et triangles semblables (20 points)
Les points F, G et H sont alignés ; on connaît EF = 18 cm, FG = 24 cm, EG = 30 cm et GH = 38,4 cm. Les angles \(\widehat{EGF}\) et \(\widehat{LGH}\) sont égaux et le triangle LGH est rectangle en H.
1. Le triangle EFG est-il rectangle ?
Le plus long côté est [EG]. On calcule séparément :
\[ EG^2 = 30^2 = 900 \qquad EF^2 + FG^2 = 18^2 + 24^2 = 324 + 576 = 900. \]
On a donc \(EG^2 = EF^2 + FG^2\). D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle EFG est rectangle en F.
2. Mesure de l’angle \(\widehat{EGF}\) au degré près.
Dans le triangle EFG rectangle en F, le côté [EF] est opposé à l’angle \(\widehat{EGF}\) et [FG] lui est adjacent :
\[ \tan \widehat{EGF} = \frac{EF}{FG} = \frac{18}{24} = \frac{3}{4} = 0{,}75. \]
La calculatrice donne \(\widehat{EGF} = \arctan(0{,}75) \approx 36{,}87^\circ\), soit \(\widehat{EGF} \approx 37^\circ\) au degré près.
3. Pourquoi les triangles EGF et LGH sont-ils semblables ?
Les deux triangles ont un angle droit (en F et en H) et les angles \(\widehat{EGF}\) et \(\widehat{LGH}\) sont égaux. Comme la somme des angles d’un triangle vaut 180°, leurs troisièmes angles sont aussi égaux. Deux triangles dont les angles sont deux à deux égaux sont semblables : EGF et LGH sont semblables.
4. Coefficient d’agrandissement.
Les côtés [FG] et [GH] se correspondent : ce sont les côtés adjacents aux angles égaux \(\widehat{EGF}\) et \(\widehat{LGH}\), dans des triangles rectangles. Comme GH est plus grand que FG, LGH est un agrandissement de EGF de coefficient :
\[ k = \frac{GH}{FG} = \frac{38{,}4}{24} = 1{,}6. \]
Le coefficient d’agrandissement est 1,6.
5. Périmètre du triangle LGH.
Le périmètre de EGF vaut \(EF + FG + GE = 18 + 24 + 30 = 72\) cm. Dans un agrandissement de coefficient 1,6, toutes les longueurs sont multipliées par 1,6, donc le périmètre aussi :
\[ 72 \times 1{,}6 = 115{,}2. \]
Le périmètre de LGH est 115,2 cm (on peut vérifier : \(LH = 1{,}6 \times 18 = 28{,}8\), \(LG = 1{,}6 \times 30 = 48\), et \(28{,}8 + 38{,}4 + 48 = 115{,}2\)).
Exercice 2 :
Aire d’un polygone, fonction et tableur (21 points)
Dans un rectangle ABCD de 10 cm sur 8 cm, on retire aux quatre coins un triangle rectangle isocèle dont les côtés de l’angle droit mesurent AE = AF. On obtient le polygone FELKJIHG.
Première partie : AE = 3 cm
1. Aire du triangle AEF.
Le triangle AEF est rectangle en A, donc son aire est :
\[ \mathcal{A}_{AEF} = \frac{AE \times AF}{2} = \frac{3 \times 3}{2} = \frac{9}{2} = 4{,}5 \text{ cm}^2. \]
2. Aire du polygone FELKJIHG.
L’aire du rectangle est \(10 \times 8 = 80\) cm². On lui retire les quatre triangles identiques :
\[ 80 – 4 \times 4{,}5 = 80 – 18 = 62. \]
L’aire du polygone est 62 cm².
Deuxième partie : AE = x cm
3. a) Aire du triangle AEF en fonction de x.
\[ \mathcal{A}_{AEF} = \frac{x \times x}{2} = \frac{x^2}{2}. \]
b) Aire du polygone en fonction de x.
\[ f(x) = 80 – 4 \times \frac{x^2}{2} = 80 – 2x^2. \]
L’aire du polygone est donc \(f(x) = 80 – 2x^2\) (avec \(0 \leq\, x \leq\, 4\), puisque deux coins se partagent un côté de 8 cm).
4. Formule à saisir dans la cellule B2 du tableur (la valeur de x est en B1).
On traduit \(80 – 2x^2\) en remplaçant x par B1 et en écrivant chaque multiplication avec l’étoile :
=80-2*B1*B1
La formule =80-2*B1^2 convient aussi. Attention : l’écriture « 2B1 » sans signe de multiplication n’est pas comprise par le tableur.
5. Représentation graphique de f.
a) La fonction f est-elle affine ?
La représentation graphique d’une fonction affine est une droite. Ici la courbe n’est pas une droite (elle s’incurve de plus en plus vers le bas), donc f n’est pas une fonction affine. On le voit aussi sur l’expression : elle contient un terme en \(x^2\).
b) Valeur de AE pour laquelle l’aire vaut 60 cm², par lecture graphique.
On part de 60 sur l’axe des ordonnées, on rejoint la courbe puis on descend sur l’axe des abscisses (tracé en pointillés) : AE ≈ 3,2 cm.
c) Valeur exacte par le calcul.
On résout \(f(x) = 60\) :
\[ 80 – 2x^2 = 60 \iff 2x^2 = 20 \iff x^2 = 10. \]
Comme x est une longueur, il est positif : \(x = \sqrt{10} \approx 3{,}16\) cm, ce qui confirme la lecture graphique.
Exercice 3 :
Quatre affirmations : vrai ou faux (20 points)
1. Affirmation 1 : « Le prix est proportionnel au nombre de baguettes. »
Le tableau des prix donne 1,10 € pour une baguette, 2,20 € pour deux, 3,30 € pour trois, mais 4 € pour quatre. Or :
\[ 2{,}20 = 2 \times 1{,}10, \qquad 3{,}30 = 3 \times 1{,}10, \qquad \text{mais } 4 \times 1{,}10 = 4{,}40 \neq 4. \]
Le prix unitaire n’est pas le même pour quatre baguettes : l’affirmation 1 est fausse.
2. Affirmation 2 : « L’abscisse du point A est un nombre décimal. »
Sur la droite graduée, l’unité est partagée en 8 parts égales, donc chaque graduation vaut \(1 : 8 = 0{,}125\). Le point A est situé deux graduations après 2 :
\[ 2 + 2 \times 0{,}125 = 2 + 0{,}25 = 2{,}25. \]
Cette abscisse s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule : l’affirmation 2 est vraie.
3. Affirmation 3 : « L’engrenage sera dans la même position au bout de 6 tours pour la roue A et de 4 tours pour la roue B. »
La roue A a 8 dents et la roue B en a 12. Les roues retrouvent leur position de départ lorsque le même nombre de dents est passé sur chacune. En 6 tours de A et 4 tours de B :
\[ 6 \times 8 = 48 \qquad \text{et} \qquad 4 \times 12 = 48. \]
Le même nombre de dents a défilé et chaque roue a fait un nombre entier de tours : l’affirmation 3 est vraie. (Remarque : cela se produit déjà au bout de 3 tours de A et 2 tours de B, car le PPCM de 8 et 12 est 24.)
4. Affirmation 4 : « Pour tout nombre x, \((x+8)(2x-1) = 2x^2 – (8 – 15x)\). »
On développe le membre de gauche avec la double distributivité :
\[ (x+8)(2x-1) = 2x^2 – x + 16x – 8 = 2x^2 + 15x – 8. \]
On supprime les parenthèses du membre de droite (précédées d’un signe moins, on change les signes) :
\[ 2x^2 – (8 – 15x) = 2x^2 – 8 + 15x = 2x^2 + 15x – 8. \]
Les deux expressions sont égales pour tout x : l’affirmation 4 est vraie.
Exercice 4 :
Fabrication de bougies : volume, pourcentages et moyenne (16 points)
1. a) Volume d’une bougie cylindrique de rayon 3 cm et de hauteur 12 cm.
Le volume d’un cylindre est \(V = \pi r^2 h\) :
\[ V = \pi \times 3^2 \times 12 = 108\pi \approx 339{,}3 \text{ cm}^3. \]
Le volume est d’environ 339 cm³ (arrondi à l’unité).
b) Masse de cire nécessaire (la cire occupe les \(\frac{9}{10}\) du volume, 1 cm³ de cire pèse 0,7 g).
Volume de cire : \(\frac{9}{10} \times 108\pi = 97{,}2\pi \approx 305{,}4\) cm³.
Masse de cire : \(97{,}2\pi \times 0{,}7 = 68{,}04\pi \approx 213{,}8\) g.
Il faut donc environ 214 g de cire pour fabriquer une bougie.
2. Pourcentage de bougies à la lavande.
Dans le diagramme circulaire, le secteur des bougies à la vanille a un angle de 90°. Comme \(\frac{90}{360} = \frac{1}{4}\), ces bougies représentent 25 % de la production.
L’autre parfum connu représente 22 % de la production, et il y a autant de bougies à la lavande que de bougies au jasmin. Ces deux parfums se partagent donc équitablement le reste :
\[ \frac{100 – (22 + 25)}{2} = \frac{53}{2} = 26{,}5. \]
Les bougies à la lavande représentent 26,5 % de la production (tout comme celles au jasmin).
3. Nombre de bougies à produire en mars.
On a produit 6 500 bougies en janvier et 8 000 en février, et l’on veut une moyenne de 7 900 bougies par mois sur les trois mois. Si m est la production de mars :
\[ \frac{6\,500 + 8\,000 + m}{3} = 7\,900 \iff 14\,500 + m = 23\,700 \iff m = 9\,200. \]
Il faut produire 9 200 bougies en mars.
Exercice 5 :
Probabilités et simulation (23 points)
On forme un nombre à deux chiffres : le chiffre des dizaines est tiré parmi 1, 2, 3, 4 et le chiffre des unités parmi 2, 3, 4.
1. Liste des issues possibles.
Il y a 4 choix pour les dizaines et 3 pour les unités, soit \(4 \times 3 = 12\) issues équiprobables :
| Dizaines \ Unités | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|
| 1 | 12 | 13 | 14 |
| 2 | 22 | 23 | 24 |
| 3 | 32 | 33 | 34 |
| 4 | 42 | 43 | 44 |
2. Probabilité d’obtenir un nombre impair.
Un nombre est impair si son chiffre des unités est impair, ici 3 : ce sont 13, 23, 33 et 43, soit 4 issues sur 12.
\[ p = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}. \]
La probabilité d’obtenir un nombre impair est \(\frac{1}{3}\).
3. Événement A : « le nombre obtenu est premier et inférieur à 30 ».
a) Parmi les issues inférieures à 30 (12, 13, 14, 22, 23, 24), les nombres pairs 12, 14, 22 et 24 ne sont pas premiers. Il reste 13 et 23, qui sont premiers (leurs seuls diviseurs sont 1 et eux-mêmes). Donc :
\[ p(A) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}. \]
b) L’événement « ne pas obtenir un nombre premier inférieur à 30 » est l’événement contraire de A :
\[ p(\overline{A}) = 1 – p(A) = 1 – \frac{1}{6} = \frac{5}{6}. \]
4. Probabilité d’obtenir un multiple de 11.
Les issues multiples de 11 sont \(22 = 2 \times 11\), \(33 = 3 \times 11\) et \(44 = 4 \times 11\), soit 3 issues sur 12 :
\[ p = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} = 0{,}25. \]
5. Simulation par un programme.
a) La ligne 5 tire au hasard le chiffre des unités : il faut la compléter par les nombres 2 et 4 (nombre entier aléatoire entre 2 et 4).
b) La ligne 6 doit tester si le nombre obtenu est un multiple de 11, c’est-à-dire si ses deux chiffres sont égaux : « si chiffre des dizaines = chiffre des unités ».
c) Le résultat affiché signifie que, sur 100 tirages simulés, 23 nombres obtenus sont des multiples de 11, soit une fréquence de 0,23. Cette fréquence est proche de la probabilité 0,25 sans lui être égale : c’est normal, car les résultats d’une simulation fluctuent. Plus le nombre de tirages augmente, plus la fréquence des multiples de 11 se rapproche de 0,25.
